Exercices: Positions relatives

Un satellite d'observation suit une trajectoire rectiligne dans l'espace définie par la droite $r : (x\,;\,y\,;\,z) = (1\,;\,2\,;\,0) + \lambda(2\,;\,-1\,;\,3)$. On veut vérifier si le satellite passera exactement par un point de contrôle situé en $P(5\,;\,0\,;\,6)$. Déterminer si le point $P$ appartient à la trajectoire du satellite.

Dans la conception d'un bâtiment intelligent, deux surfaces planes correspondant au plafond et au sol d'un étage technique ont été définies. Les équations des plans sont $\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0$ et $\pi_2: 4x - 2y + 6z + 8 = 0$. Analyser la position relative des deux plans pour confirmer s'ils sont parallèles.

Un rayon laser se propage le long de la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ et rencontre une lame de verre plane d'équation $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Déterminer la position relative du rayon laser et de la lame. Dans le cas où ils se coupent, calculer les coordonnées du point d'impact.

Soit les droites $r$ et $s$ données par leurs équations paramétriques :

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ et $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$

Étudier leur position relative en comparant leurs vecteurs directeurs. Sont-elles parallèles ou ont-elles des directions différentes ?

Vérifier si la droite $r$, définie comme l'intersection des plans $x + y = 2$ et $x - y = 0$, est parallèle au plan de coordonnées $XY$ (le plan $z = 0$). Justifier la réponse à l'aide du vecteur directeur de la droite.

Un architecte utilise un logiciel de conception pour placer une poutre structurelle représentée par la droite $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Déterminer si la poutre est perpendiculaire au plan de façade $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$. Justifier la réponse.

Soit les points $A(1 ; 0 ; -1)$, $B(2 ; 1 ; 0)$ et $C(3 ; 2 ; 1)$. Déterminer la position relative de la droite passant par $A$ et $B$ par rapport à la droite passant par $B$ et $C$. S'agit-il de la même droite (droites confondues) ou de droites sécantes au point $B$ ?

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que les plans $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ et $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ soient parallèles. Pour cette valeur de $k$, les plans pourraient-ils être confondus ? Justifier la réponse en observant les termes constants.

Étudier la position relative des droites $r$ et $s$ suivantes. Dans le cas où elles sont sécantes, calculer les coordonnées du point d'intersection :

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$

On considère le plan $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ et la droite $r$ passant par les points $A(1 ; 0 ; -1)$ et $B(2 ; 1 ; 0)$. Déterminer la valeur du paramètre $a \in \mathbb{R}$ pour que la droite soit parallèle au plan. Pour cette valeur de $a$, la droite est-elle contenue dans le plan ? Justifier la réponse.

Deux drones de surveillance aérienne suivent des trajectoires rectilignes définies par les droites $r$ et $s$. Le centre de contrôle doit savoir s'il existe un risque de collision (si les trajectoires se coupent). Les équations des trajectoires sont :

$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{3}$

$s: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Déterminer la position relative des deux trajectoires.

Discuter, en fonction du paramètre réel $m$, la position relative des trois plans suivants :

$\pi_1: mx + y + z = 1$

$\pi_2: x + my + z = m$

$\pi_3: x + y + mz = m^2$

Déterminer une équation cartésienne du plan contenant la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ et parallèle à la droite $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$. Quelle est la position relative des droites $r$ et $s$ ?

Un faisceau de plans a pour axe la droite $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Trouver lequel des plans du faisceau passe par le point $P(1 ; 1 ; 1)$. Une fois ce plan obtenu, déterminer sa position relative par rapport à l'axe $OY$.

Un rayon laser est projeté depuis le point $A(2 ; 3 ; 5)$ dans la direction du vecteur $\vec{v} = (1 ; -1 ; -2)$. Le rayon frappe un mur métallique représenté par le plan $\pi: x + 2y + z = 12$.

1. a) Déterminer les coordonnées du point d'impact.
2. b) Étudier la position relative de la trajectoire du laser et de la droite $s: \begin{cases} x = 3 + \mu \\ y = 2 \\ z = 3 - 2\mu \end{cases}$.

Soit les droites $r$ et $s$. Démontrer qu'elles sont non coplanaires et déterminer une équation du plan contenant $s$ et parallèle à $r$ :

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$

$s: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$

Dans un projet de conception industrielle, trois surfaces sont définies par les plans suivants de l'espace :

$\pi_1: x + ay + z = a$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$

$\pi_3: x + y + z = 1$

Discuter la position relative des trois plans selon les différentes valeurs du paramètre réel $a$. Dans les cas où les trois plans se coupent selon une droite (formant un faisceau de plans), déterminer une représentation paramétrique de cette droite.

On considère la trajectoire d'un drone représentée par la droite $r$ passant par le point $A(1 ; 2 ; -1)$ et de vecteur directeur $\vec{v} = (k ; 1 ; 2)$. Par ailleurs, un panneau solaire est contenu dans le plan $\pi$ défini par les points $P(1 ; 0 ; 1)$, $Q(0 ; 2 ; 3)$ et $R(2 ; 1 ; 0)$.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la trajectoire du drone soit parallèle au panneau solaire. Pour cette valeur de $k$, existe-t-il une droite $s$ contenue dans le plan $\pi$ et perpendiculaire à $r$ ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la position relative des éléments.

Soit les droites $r$ et $s$ définies par :

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-4}{2} = \frac{y+1}{m} = z$

1. a) Étudier la position relative de $r$ et $s$ en fonction du paramètre $m$.
2. b) Pour la valeur de $m$ pour laquelle les droites sont sécantes, déterminer une équation du plan $\pi$ qui les contient.
3. c) Si $m=0$, les droites sont non coplanaires. Déterminer une équation de la droite $t$ passant par l'origine du repère et coupant simultanément $r$ et $s$.

Un architecte conçoit une structure où trois poutres de soutien doivent converger en un point. Les faces des piliers principaux reposent sur les plans :

$\pi_1: x + 2y - z = 3$

$\pi_2: 2x - y + z = 1$

$\pi_3: 5x + ay + bz = 5$

Calculer les valeurs de $a$ et $b$ pour que :

1. a) Les trois plans se coupent selon une unique droite (la poutre de soutien commune).
2. b) Les trois plans n'aient aucun point commun et se coupent deux à deux (formant un prisme infini). Expliquer quelle relation doivent vérifier les rangs de la matrice des coefficients et de la matrice augmentée dans ce cas.

Soit la droite $r$ définie par l'intersection des plans $\sigma_1: x + y = 2$ et $\sigma_2: x - z = 1$. On considère également le plan $\pi: 2x + y - z = k$.

1. a) Déterminer la valeur de $k$ pour que la droite $r$ soit contenue dans le plan $\pi$.
2. b) Pour une valeur de $k$ différente de celle trouvée à la question précédente, la droite $r$ et le plan $\pi$ sont parallèles. Dans cette situation, déterminer une équation d'une nouvelle droite $s$ qui soit la projection orthogonale de $r$ sur le plan $\pi$.
3. c) Étudier la position relative de cette nouvelle droite $s$ avec l'axe $OY$.

On donne les droites $r$ et $s$ d'équations :

$r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

$s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$

1. a) Démontrer analytiquement que les droites $r$ et $s$ sont non coplanaires.
2. b) Déterminer une équation de la perpendiculaire commune à ces deux droites.
3. c) Déterminer la position relative de cette perpendiculaire commune avec le plan de coordonnées $XZ$.

On considère une famille de plans dépendant d'un paramètre $\alpha \in \mathbb{R}$ :

$\pi_\alpha: \alpha x + y + z = \alpha$

et la droite $r$ passant par les points $M(1\,;\,1\,;\,1)$ et $N(2\,;\,3\,;\,0)$.

1. a) Étudier la position relative de la droite $r$ et du plan $\pi_\alpha$ selon les valeurs de $\alpha$.
2. b) Existe-t-il une valeur de $\alpha$ pour laquelle le plan $\pi_\alpha$ contient la droite $r$ ?
3. c) Pour $\alpha = 0$, déterminer le symétrique du point $M$ par rapport au plan $\pi_0$ et vérifier si la droite passant par $M$ et son symétrique est sécante, parallèle ou confondue avec la droite $r$.

Dans un système de coordonnées stellaire, on détecte deux signaux radio linéaires :

$L_1: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, -1, 1)$

$L_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-m}{2}$

1. a) Déterminer la valeur de $m$ pour que les trajectoires des signaux soient sécantes.
2. b) Pour la valeur de $m$ trouvée, calculer le point d'impact $I$.
3. c) Considérer un satellite situé dans le plan $\pi: x + y + z = 10$. Déterminer la position relative de la droite $L_1$ par rapport à ce plan et calculer, s'il existe, la distance minimale entre le signal $L_1$ et le satellite (représenté par le plan).