Succession d'épreuves indépendantes

Modéliser par un arbre et multiplier

Une épreuve est une expérience aléatoire. Quand on en effectue plusieurs à la suite, une issue de la succession est un $n$-uplet $(x_1\,;\,x_2\,;\,\dots\,;\,x_n)$ : $x_1$ est l'issue de la première épreuve, $x_2$ celle de la deuxième, etc.

Les épreuves sont indépendantes quand le résultat de l'une ne change pas les probabilités des autres (lancers successifs, tirages avec remise…).

Pourquoi ? Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'un chemin. Si les épreuves sont indépendantes, les probabilités des branches de la 2e épreuve ne dépendent pas de la branche choisie à la 1re : ce sont toujours les mêmes.

Plusieurs issues favorables et événement contraire

Un événement contient souvent plusieurs issues. On additionne alors les probabilités des issues (elles sont deux à deux incompatibles).

Pour « au moins un », on passe à l'événement contraire : « au moins un succès » a pour contraire « aucun succès ».

Arbres, probabilités totales et conditionnelles

Quand la deuxième épreuve dépend de la première (choix d'une urne, état d'une personne…), l'arbre sert encore : on multiplie le long d'un chemin, mais les probabilités de la 2e génération sont des probabilités conditionnelles.

Test de dépistage

Une maladie touche 2 % d'une population. Un test est positif pour 95 % des malades et pour 4 % des personnes saines.

Même avec un bon test, un test positif n'implique « que » 33 % de risque d'être malade : la maladie est rare.

Si l'on répète deux tests, supposés indépendants sachant l'état de la personne : $P(M\cap T_1\cap T_2)=P(M)\times P_M(T)^2$, et on conclut par le même raisonnement.

Répétitions : seuil et sommes géométriques

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux issues : le succès (probabilité $p$) et l'échec (probabilité $1-p$). Un schéma de Bernoulli consiste à répéter $n$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal B(n\,;\,p)$.

Démonstration. Une issue du schéma est un $n$-uplet de succès et d'échecs. Celles qui comptent exactement $k$ succès correspondent au choix des $k$ positions des succès parmi $n$ : il y en a $\binom nk$. Par indépendance, chacune a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$. Ces issues étant incompatibles, on additionne : $P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$.

Pour $P(X\le k)$, on additionne $P(X=0)+\dots+P(X=k)$ (ou on utilise la calculatrice ou un algorithme). De même, pour $P(k\le X\le k')$, on additionne $P(X=k)+\dots+P(X=k')$, ou on utilise la calculatrice (BinomialCD, binomFRép). Par exemple, pour $X\sim\mathcal B(4\,;\,0{,}5)$ : $P(1\le X\le 2)=4\times0{,}5^4+6\times0{,}5^4=\dfrac{10}{16}=0{,}625$. En particulier, la probabilité d'avoir au moins un succès est :

Autre situation : un jeu à tour de rôle. Amel et Bastien lancent un dé à tour de rôle, Amel commence, le premier qui obtient 6 gagne. Amel gagne à son $k$-ième lancer si les $k-1$ premiers lancers d'Amel et les $k-1$ lancers de Bastien ont échoué, puis Amel fait 6 :

La somme est celle d'une suite géométrique de raison $\frac{25}{36}$ : $P(\text{Amel})=\dfrac{1/6}{1-25/36}=\dfrac{1/6}{11/36}=\dfrac6{11}$.

Pour $n=5$ et $p=0{,}2$, $X$ suit $\mathcal B(5\,;\,0{,}2)$ et $P(X=2)=\binom52\times0{,}2^2\times0{,}8^3=10\times0{,}04\times0{,}512=0{,}2048$. Pour « au plus un » : $0{,}8^5+5\times0{,}2\times0{,}8^4=0{,}32768+0{,}4096=0{,}73728$.

Retour au début : pour le jeu de grattage, avec une probabilité de gain $p$, on a $P(\text{deux gains})=p^2$ et $P(\text{au moins un gain})=1-(1-p)^2$.

L'essentiel