Géométrie dans l'espace
Un exercice de géométrie dans l'espace au bac, c'est presque toujours le même scénario : un solide (cube, pyramide, tétraèdre), un repère orthonormé, puis une série de questions guidées. Montrer qu'un vecteur est normal à un plan, en déduire une équation, trouver un projeté orthogonal, calculer une distance ou un volume. Léa se demande : « Comment ne pas me perdre dans ces dix questions qui s'enchaînent ? » Réponse : chaque question utilise l'une des cinq ou six méthodes de cette page. Il suffit de les connaître et de savoir laquelle appeler.
Les outils de base : coordonnées, produit scalaire, angles
Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$, un point s'écrit $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$. Pour un cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$, on prend en général le repère $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ : alors $B(1\,;0\,;0)$, $D(0\,;1\,;0)$, $E(0\,;0\,;1)$ et $G(1\,;1\,;1)$.
Pourquoi ces formules marchent-elles ? Parce que la base est orthonormée : $\vec\imath\cdot\vec\jmath=0$ et $\vec\imath\cdot\vec\imath=1$. Dans un repère qui n'est pas orthonormé, ces formules sont fausses.
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. 1.…
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$.
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Donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$ et $G$.
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Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{AG}$.
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Montrer que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.
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En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(BDE)$ est $x+y+z-1=0$.
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Soit $K$ le point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BDE)$. Déterminer les coordonnées de $K$ et calculer la distance $AK$.
Plans : vecteur normal et équation cartésienne
Un plan $\mathcal P$ est entièrement déterminé par un point $A$ et un vecteur normal $\vec n$, c'est-à-dire un vecteur non nul orthogonal à toutes les directions du plan.
Pour montrer qu'un vecteur $\vec n$ est normal au plan $(ABC)$, on prouve qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Deux produits scalaires nuls suffisent. Avant cela, il faut vérifier que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, donc que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(1\,;0\,;2)$, $B(3\,;-1\,;2)$, $C(2\,;0\,;3)$ et $D(2\,;3\,;1)$.…
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(1\,;0\,;2)$, $B(3\,;-1\,;2)$, $C(2\,;0\,;3)$ et $D(2\,;3\,;1)$.
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Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
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Montrer que le vecteur $\vec n(1\,;2\,;-1)$ est normal au plan $(ABC)$.
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En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+2y-z+1=0$.
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Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
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Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $D$ sur le plan $(ABC)$, puis calculer la distance de $D$ au plan $(ABC)$.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(2\,;0\,;0)$, $B(0\,;3\,;0)$ et $C(0\,;0\,;6)$. Partie A 1.…
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(2\,;0\,;0)$, $B(0\,;3\,;0)$ et $C(0\,;0\,;6)$.
Partie A
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Montrer que le vecteur $\vec n(3\,;2\,;1)$ est normal au plan $(ABC)$.
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En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
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Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, puis une valeur approchée au dixième de degré de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
Partie B
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Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $O$ sur le plan $(ABC)$.
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Calculer la distance $OH$. On donnera la valeur exacte.
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Calculer le volume du tétraèdre $OABC$, sachant que $OAB$ est un triangle rectangle en $O$ et que $(OC)$ est orthogonale au plan $(OAB)$.
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En déduire l'aire du triangle $ABC$.
Droites : représentation paramétrique et positions relatives
La droite passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec u\,(a\,;b\,;c)$ a pour représentation paramétrique
$$\begin{cases}x=x_A+ta\\y=y_A+tb\\z=z_A+tc\end{cases},\qquad t\in\mathbb R.$$À chaque valeur de $t$ correspond un point de la droite. On lit directement un point (pour $t=0$) et un vecteur directeur (les coefficients de $t$).
Pour étudier la position relative de deux droites $d$ et $d'$ de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ :
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Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, les droites sont parallèles. Elles sont confondues si un point de l'une appartient à l'autre, sinon strictement parallèles.
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Sinon, on résout le système obtenu en égalant les coordonnées (avec deux paramètres différents $t$ et $s$). S'il a une solution, les droites sont sécantes en un point. S'il n'en a pas, elles sont non coplanaires.
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les droites suivantes, de représentations paramétriques où $t$, $s$ et $k$ sont des réels : $$d1\ :\…
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les droites suivantes, de représentations paramétriques où $t$, $s$ et $k$ sont des réels :
$$d_1\ :\ \begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=3t\end{cases}\qquad d_2\ :\ \begin{cases}x=2+2s\\y=1+s\\z=3-s\end{cases}\qquad d_3\ :\ \begin{cases}x=4+2k\\y=1-2k\\z=6k\end{cases}\qquad d_4\ :\ \begin{cases}x=1+s\\y=1\\z=2s\end{cases}$$-
Donner un vecteur directeur de chacune des droites $d_1$, $d_2$, $d_3$ et $d_4$.
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Montrer que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
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Montrer que $d_1$ et $d_3$ sont parallèles et non confondues.
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Montrer que $d_1$ et $d_4$ ne sont pas coplanaires.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les droites $d_1$ et $d_2$ de représentations paramétriques respectives…
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les droites $d_1$ et $d_2$ de représentations paramétriques respectives
$$d_1\ :\ \begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=0\end{cases},\ t\in\mathbb R\qquad\text{et}\qquad d_2\ :\ \begin{cases}x=0\\y=1+s\\z=1+s\end{cases},\ s\in\mathbb R.$$-
Donner un vecteur directeur $\vec u$ de $d_1$ et un vecteur directeur $\vec v$ de $d_2$. Montrer que $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
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Montrer que $d_1$ et $d_2$ n'ont aucun point commun. Que peut-on en déduire sur leur position relative ?
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Pour $t$ et $s$ réels, on note $P(t)$ le point de $d_1$ de paramètre $t$ et $Q(s)$ le point de $d_2$ de paramètre $s$.
a) Exprimer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{P(t)Q(s)}$.
b) Déterminer les valeurs de $t$ et $s$ pour lesquelles $\overrightarrow{PQ}$ est orthogonal à la fois à $\vec u$ et à $\vec v$. On note $P_0$ et $Q_0$ les points correspondants.
c) Calculer la distance $P_0Q_0$.
- Soient $P$ un point quelconque de $d_1$ et $Q$ un point quelconque de $d_2$. Montrer que $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{P_0Q_0}+\vec w$ où $\vec w$ est une combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$. En déduire que $PQ\ge P_0Q_0$.
Projeté orthogonal et distances
Le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur un plan $\mathcal P$ (ou sur une droite) est le point de $\mathcal P$ tel que $(MH)$ soit orthogonale à $\mathcal P$. C'est aussi le point de $\mathcal P$ le plus proche de $M$, donc $d(M\,,\mathcal P)=MH$.
Démonstration. Soit $N$ un point quelconque de $\mathcal P$. Le vecteur $\overrightarrow{HN}$ est un vecteur du plan et $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal au plan, donc $\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{HN}=0$. Alors $MN^2=\|\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HN}\|^2=MH^2+2\,\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{HN}+HN^2=MH^2+HN^2\geqslant MH^2$. Donc $MN\geqslant MH$, avec égalité si et seulement si $N=H$.
Pour un plan $\mathcal P$ d'équation cartésienne connue, la méthode est toujours la même :
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Écrire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $M$ de vecteur directeur $\vec n$ (normal à $\mathcal P$).
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Remplacer $x$, $y$, $z$ dans l'équation de $\mathcal P$ pour trouver $t$.
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Reporter $t$ pour obtenir $H$, puis calculer $MH$.
Pour le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur une droite $\mathcal D$ (point $A$, vecteur directeur $\vec u$), on écrit $H$ avec son paramètre $t$ et on impose $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$. On résout cette équation d'inconnue $t$, puis on calcule $MH$.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère la droite $\mathcal D$ de représentation paramétrique…
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère la droite $\mathcal D$ de représentation paramétrique
$$\begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=2+t\end{cases},\qquad t\in\mathbb R,$$et le point $M(4\,;1\,;3)$.
Partie A
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Donner un point de $\mathcal D$ et un vecteur directeur $\vec u$ de $\mathcal D$.
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Le point $M$ appartient-il à $\mathcal D$ ?
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Soit $H$ le point de $\mathcal D$ de paramètre $t$. Exprimer $\overrightarrow{MH}$ en fonction de $t$, puis déterminer $t$ pour que $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$.
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En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal D$, puis la distance de $M$ à $\mathcal D$.
Partie B
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Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal P$ passant par $M$ et orthogonal à $\mathcal D$.
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Vérifier que le projeté orthogonal $H$ de la partie A est le point d'intersection de $\mathcal D$ et $\mathcal P$.
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Soit $N$ un point de $\mathcal D$. Montrer que $MN^2=MH^2+HN^2$. En déduire les points $N$ de $\mathcal D$ tels que $MN=3$, en donnant leurs paramètres.
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. On note $I$ le…
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. On note $I$ le milieu de $[CD]$ et $J$ le milieu de $[BF]$.
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Donner les coordonnées des points $E$, $G$, $I$ et $J$.
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Calculer $\overrightarrow{EI}\cdot\overrightarrow{EJ}$, $EI$ et $EJ$. En déduire une valeur approchée au dixième de degré de l'angle $\widehat{IEJ}$.
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a) Montrer que le vecteur $\vec n(2\,;3\,;4)$ est normal au plan $(EIJ)$.
b) En déduire une équation cartésienne du plan $(EIJ)$.
- a) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $P$ du point $G$ sur le plan $(EIJ)$.
b) Calculer la distance du point $G$ au plan $(EIJ)$.
- Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(EIJ)$.
Problèmes du bac : paramètre, minimum, volume
Les dernières questions d'un exercice demandent souvent de combiner plusieurs outils.
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Un point mobile $M(t)$. Les coordonnées de $M$ dépendent de $t$. Pour une distance minimale, on écrit $MN^2$ comme un trinôme en $t$ et on étudie ses variations, ou on utilise la forme canonique. Pour une orthogonalité, on écrit un produit scalaire qui s'annule.
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Volume d'un tétraèdre ou d'une pyramide. $\mathcal V=\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$. La hauteur est la distance du sommet au plan de la base : c'est $SH$, où $H$ est le projeté orthogonal. Pour un triangle rectangle, $\text{aire}=\dfrac12\times\text{côté}\times\text{côté}$.
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Quatre points coplanaires ? On cherche une équation du plan défini par trois points, puis on teste le quatrième.
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Droites non coplanaires. Un système sans solution (voir plus haut) prouve qu'elles ne sont pas dans un même plan.
Retour au début : face à une longue suite de questions, tu identifies à chaque fois l'outil (produit scalaire, vecteur normal, représentation paramétrique, projeté), et l'exercice se déroule étape par étape. Les résultats trouvés aux premières questions servent presque toujours aux suivantes : relis-les avant de te lancer.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(1\,;2\,;3)$, $B(3\,;0\,;1)$, $C(-1\,;1\,;2)$ et $S(2\,;5\,;1)$.…
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(1\,;2\,;3)$, $B(3\,;0\,;1)$, $C(-1\,;1\,;2)$ et $S(2\,;5\,;1)$.
Partie A
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Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et calculer son aire.
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Montrer que le vecteur $\vec n(0\,;1\,;-1)$ est normal au plan $(ABC)$, puis déterminer une équation cartésienne de ce plan.
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Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $S$ sur le plan $(ABC)$ et calculer la distance $SH$.
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Calculer le volume du tétraèdre $SABC$.
Partie B
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Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme. Montrer que $ABDC$ est un rectangle et calculer son aire.
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Calculer le volume de la pyramide $SABDC$ de base $ABDC$ et de sommet $S$.
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Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur du segment $[AS]$.
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. Pour tout réel…
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. Pour tout réel $t\in[0\,;1]$, on note $M$ le point de $[AB]$ tel que $AM=t$ et $N$ le point de $[CG]$ tel que $CN=t$.
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Donner les coordonnées de $M$ et de $N$ en fonction de $t$.
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a) Montrer que $MN^2=2t^2-2t+2$.
b) En déduire la valeur de $t$ pour laquelle la longueur $MN$ est minimale, ainsi que cette longueur minimale.
- a) Existe-t-il une valeur de $t$ pour laquelle les droites $(MN)$ et $(AG)$ sont orthogonales ?
b) Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles les droites $(MN)$ et $(BD)$ sont orthogonales. Interpréter géométriquement.
- On suppose dans cette question que $t=\dfrac12$.
a) Montrer que le vecteur $\vec n(4\,;-3\,;2)$ est normal au plan $(EMN)$.
b) En déduire une équation cartésienne du plan $(EMN)$.
c) Calculer la distance du point $A$ au plan $(EMN)$.