Intégration par parties
Une fonction comme $x\,\mathrm{e}^{x}$ ou $\ln x$ n'a pas de primitive qui se lise dans le tableau des primitives usuelles. Pourtant, on les rencontre partout : croissance d'abonnés, coût marginal, aire sous une courbe. L'intégration par parties (IPP) lit « à l'envers » la dérivée d'un produit : elle transforme une intégrale difficile en une intégrale plus simple.
La formule et le choix de u et v'
Pour chercher une primitive (sans bornes), on utilise la même idée : une primitive de $uv'$ est $uv-G$, où $G$ est une primitive de $u'v$. On note parfois $\mathrm{d}v=v'(x)\,\mathrm{d}x$ : on « choisit $u$ et $\mathrm{d}v$ ». Toutes les primitives s'en déduisent en ajoutant une constante $C$.
Méthode. On cherche à écrire la fonction comme produit $u(x)\,v'(x)$ en choisissant :
-
pour $u$ la partie qui se simplifie quand on la dérive : $\ln x$, puis un polynôme ;
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pour $v'$ (c'est-à-dire $\mathrm{d}v$) la partie dont on connaît facilement une primitive : $\mathrm{e}^{ax}$, $\sin$, $\cos$.
Les sujets du bac guident souvent ce choix ; il faut surtout vérifier que la nouvelle intégrale est plus simple que l'ancienne.
Changement de variable
Parfois, on pose d'abord $t=\varphi(x)$ pour simplifier la fonction : on exprime alors $x$ en fonction de $t$, puis $\mathrm{d}x=\varphi^{-1\prime}(t)\,\mathrm{d}t$, et on intègre en $t$ (souvent par parties).
Pour s'initier à la méthode d'intégration par parties, il est essentiel de savoir choisir quelle fonction sera $u$ (celle que l'on dérive) et laquelle sera $dv$ (celle…
Pour s'initier à la méthode d'intégration par parties, il est essentiel de savoir choisir quelle fonction sera $u$ (celle que l'on dérive) et laquelle sera $dv$ (celle que l'on intègre). En utilisant la règle mnémotechnique ALPES (Arcs, Logarithmes, Polynômes, Exponentielles, Sinus/Cosinus), identifier $u$ et $dv$ pour résoudre l'intégrale indéfinie suivante, en appliquant la formule $\int u\,dv = u\cdot v - \int v\,du$ :
$$\int x \cdot e^{2x} \, dx$$Déterminer une primitive de la fonction $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Rappelez-vous qu'en appliquant la méthode d'intégration par parties, l'intégrale obtenue doit être plus…
Déterminer une primitive de la fonction $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Rappelez-vous qu'en appliquant la méthode d'intégration par parties, l'intégrale obtenue doit être plus simple que l'intégrale initiale.
Résoudre l'intégrale suivante en utilisant d'abord un changement de variable, puis la méthode d'intégration par parties : $$\int e^{\sqrt{x}} \, dx$$ Suggestion :…
Résoudre l'intégrale suivante en utilisant d'abord un changement de variable, puis la méthode d'intégration par parties :
$$\int e^{\sqrt{x}} \, dx$$Suggestion : effectuer le changement $t = \sqrt{x}$. Ne pas oublier de calculer le nouveau différentiel $dx$ en fonction de $dt$.
Le logarithme : primitive de ln
La fonction $\ln$ n'a pas de primitive usuelle. Astuce : on écrit $\ln x=1\times\ln x$ et on prend $u(x)=\ln x$, $v'(x)=1$.
Un classique de l'intégration par parties est la fonction logarithme, car elle n'a pas de primitive immédiate. Dans ce cas, on considère que la fonction est multipliée…
Un classique de l'intégration par parties est la fonction logarithme, car elle n'a pas de primitive immédiate. Dans ce cas, on considère que la fonction est multipliée par $1$ (c'est-à-dire $dv = dx$).
Calculer l'intégrale indéfinie suivante :
$$\int \ln(x) \, dx$$Le rythme de croissance d'une population de bactéries en laboratoire suit la fonction marginale $B'(t) = \ln(2t)$, où $t$ est le temps en heures. Déterminer la fonction…
Le rythme de croissance d'une population de bactéries en laboratoire suit la fonction marginale $B'(t) = \ln(2t)$, où $t$ est le temps en heures. Déterminer la fonction générale de la population $B(t)$ par intégration par parties.
Déterminer les primitives de la fonction $f(x) = \ln(3x + 2)$ en utilisant la méthode d'intégration par parties. Indice : on peut considérer que la fonction est…
Déterminer les primitives de la fonction $f(x) = \ln(3x + 2)$ en utilisant la méthode d'intégration par parties. Indice : on peut considérer que la fonction est multipliée par 1 pour choisir $u$ et $dv$.
Intégrer deux fois par parties
Quand le polynôme est de degré $2$ ou plus, chaque IPP baisse son degré d'une unité : on recommence.
Intégrales « cycliques »
Pour $I=\int \mathrm{e}^{x}\cos x\,\mathrm{d}x$, deux IPP (avec $v'=\mathrm{e}^x$ à chaque fois) font réapparaître $I$ dans l'égalité, par exemple $I=\mathrm{e}^x\cos x+\mathrm{e}^x\sin x-I$. On traite alors l'égalité comme une équation d'inconnue $I$ : $2I=\mathrm{e}^x(\cos x+\sin x)$.
Le bénéfice marginal d'une boutique de vêtements vintage* (en centaines d'euros par mois) est défini par la fonction $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, où $x$ représente le…
Le bénéfice marginal d'une boutique de vêtements vintage (en centaines d'euros par mois) est défini par la fonction $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, où $x$ représente le nombre de mois depuis son ouverture. En appliquant la méthode d'intégration par parties autant de fois que nécessaire, déterminer l'expression du bénéfice total $B(x)$, sachant qu'à la fin du premier mois ($x = 1$) le bénéfice était nul.
Calculer l'intégrale indéfinie suivante, qui combine fonctions trigonométriques et polynomiales : $$\int (3x - 4) \cdot \sin(2x) \, dx$$ Veiller à simplifier au maximum…
Calculer l'intégrale indéfinie suivante, qui combine fonctions trigonométriques et polynomiales :
$$\int (3x - 4) \cdot \sin(2x) \, dx$$Veiller à simplifier au maximum le résultat final.
Un ingénieur modélise la vitesse de vibration d'une structure soumise à des oscillations forcées par la fonction (en mètres par seconde) : $$v(t) = e^{t} \cdot \cos(t)$$…
Un ingénieur modélise la vitesse de vibration d'une structure soumise à des oscillations forcées par la fonction (en mètres par seconde) :
$$v(t) = e^{t} \cdot \cos(t)$$Déterminer les primitives de cette fonction. Remarquer que ce type d'intégrales est dit « cyclique » : en appliquant deux fois la méthode d'intégration par parties, l'intégrale initiale réapparaît dans le membre de droite de l'égalité.
Applications : intégrales définies et aires
Avec les bornes, on peut soit utiliser directement la formule avec crochets, soit calculer d'abord une primitive puis $F(b)-F(a)$.
Déterminer l'intégrale de la fonction $f(x) = 5 \ln(x)$ sur l'intervalle $[1 ; e]$.
Déterminer l'intégrale de la fonction $f(x) = 5 \ln(x)$ sur l'intervalle $[1 ; e]$.
Calculer l'aire du domaine plan délimité par la courbe $y = x \cdot e^{-x}$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 1$.
Calculer l'aire du domaine plan délimité par la courbe $y = x \cdot e^{-x}$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 1$.
Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = (x - 1) \cdot e^x$, l'axe $OX$ et les droites $x = 0$ et $x = 1$. Réaliser un…
Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = (x - 1) \cdot e^x$, l'axe $OX$ et les droites $x = 0$ et $x = 1$. Réaliser un petit schéma du domaine avant de calculer l'intégrale.
Déterminer l'aire du domaine plan délimité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = (x-1) \cdot e^x$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales…
Déterminer l'aire du domaine plan délimité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = (x-1) \cdot e^x$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 2$. Représenter la région colorée sur votre cahier avant d'effectuer le calcul.
Suites d'intégrales
L'IPP fournit une relation de récurrence entre intégrales consécutives.
Le bénéfice marginal d'une boutique de vêtements vintage* (en centaines d'euros par mois) est défini par la fonction $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, où $x$ représente le…
Le bénéfice marginal d'une boutique de vêtements vintage (en centaines d'euros par mois) est défini par la fonction $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, où $x$ représente le nombre de mois depuis son ouverture. En appliquant la méthode d'intégration par parties autant de fois que nécessaire, déterminer l'expression du bénéfice total $B(x)$, sachant qu'à la fin du premier mois ($x = 1$) le bénéfice était nul.