Calcul de limites

Lever l'indétermination de type $\frac{0}{0}$ en simplifiant la fraction par factorisation des polynômes (on pourra utiliser les identités remarquables ou la division par (x − a)) :

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$$

L'altitude d'un drone de reconnaissance (en mètres) en fonction de la distance horizontale $x$ parcourue est donnée par la fonction $h(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Bien que le drone ne puisse pas physiquement se trouver à la position $x = 3$ en raison d'une restriction logicielle, calculer la limite de l'altitude lorsqu'il s'approche de ce point :

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Un capteur de précision dans un laboratoire de nanotechnologie mesure la force d'attraction entre deux particules. L'intensité du signal $S$ en fonction de la distance $x$ (en nanomètres) est donnée par la fonction suivante :

$$S(x) = \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4}$$

La figure montre la courbe représentative de $S(x)$ : pour $x=4$, la fonction n'est pas définie (point avec le cercle vide).

Calculer la valeur vers laquelle tend le signal lorsque la distance $x$ se rapproche de $4$ nanomètres. Expliquer quelle technique mathématique a été utilisée pour lever l'indétermination.

Calculer la limite en l'infini de la fonction polynôme suivante, qui représente l'évolution des bénéfices d'une start-up technologique (en milliers d'euros) au cours du temps $x$ :

$$\lim_{x \to +\infty} ( -2x^3 + 50x^2 - 100 )$$

Indiquer quel est le terme dominant et justifier pourquoi le signe du coefficient du terme de plus haut degré détermine le comportement de la fonction en l'infini.

Dans un laboratoire de chimie, la concentration d'un réactif dans un mélange (en mg/l) suit la fonction $C(t) = \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$, où $t$ est le temps en minutes. Déterminer vers quelle valeur tend la concentration à long terme en calculant :

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$$

Dans l'étude de la propagation d'une information sur les réseaux sociaux, on estime que le nombre d'utilisateurs touchés $U$ (en milliers) après $t$ heures suit l'expression :

$$U(t) = \frac{5t^2 - 3t + 2}{2t^2 + \sqrt{t^4 + 1}}$$

Calculer la limite du nombre d'utilisateurs touchés lorsque le temps croît indéfiniment ($t \to +\infty$). La fonction admet-elle une asymptote horizontale ? Justifier la réponse en comparant les degrés des termes dominants.

Un satellite décrit une trajectoire dont la distance radiale au centre d'une planète, en milliers de kilomètres, est donnée par $d(x) = \sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - 1}$, où $x$ représente le temps de mission. Sachant qu'au bout d'un long moment ($x \to +\infty$) la distance se stabilise à $4$ mille kilomètres, déterminer la valeur de la constante orbitale $a$.

À partir de la courbe représentative de la fonction $f(x)$ ci-dessous, déterminer graphiquement la valeur des limites suivantes :

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calculer les limites à gauche et à droite de la fonction $f(x) = \frac{3}{x - 5}$ au point où le dénominateur s'annule. Pour cela, étudier la tendance de $f(x)$ en s'approchant par la gauche et par la droite, en observant le signe du numérateur et du dénominateur :

1. a) $\lim_{x \to 5^-} \frac{3}{x - 5}$

1. b) $\lim_{x \to 5^+} \frac{3}{x - 5}$

Le schéma montre les axes, l'asymptote verticale $x=5$ et le sens dans lequel on s'en approche de chaque côté :

En vous appuyant sur la comparaison des croissances, déterminer la valeur des limites suivantes sans effectuer de calculs compliqués :

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x}{3^x}$

On se propose d'analyser le comportement asymptotique du quotient suivant en l'infini :

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500 \cdot x^2}{1,02^x}$$

1. a) Estimer : avant d'appliquer toute règle algébrique, réfléchir au numérateur et au dénominateur. Le numérateur contient une puissance de degré élevé ($x^{10}$), tandis que le dénominateur a une base exponentielle très proche de $1$ ($1,02$). Raisonner intuitivement : la fraction tendra-t-elle vers $0$, vers un réel positif ou vers $+\infty$ lorsque $x$ atteint des valeurs de l'ordre de $x = 10\,000$ ?
2. b) Vérifier : appliquer formellement la hiérarchie des infinis ($\ln x \ll x^k \ll a^x$ avec $a > 1$) pour en déduire la valeur exacte de $L$. Évaluer si l'estimation préalable était correcte et justifier pourquoi le rythme multiplicatif constant d'une exponentielle l'emporte toujours sur n'importe quel polynôme, quel que soit son degré.

Calculer la valeur des limites suivantes en comparant les croissances des fonctions concernées (exponentielles, puissances et logarithmes) :

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^{10} + 5)}{x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^2 + 100x}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{2e^x - \sqrt{x}}$

Calculer la valeur de la limite suivante en utilisant la comparaison des infinis ou la règle de L'Hôpital, en analysant en détail l'ordre de grandeur de chaque terme :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^{10}}{2e^x - \ln(x^5 + 1)}$$

Quel terme domine la croissance de la fonction au numérateur et lequel au dénominateur ?

Calculer la limite en $x = 0$ de l'expression trigonométrique suivante, en utilisant des équivalents ou des identités trigonométriques connues :

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \tan(3x)}{\cos(x) - 1}$$

Pour calculer la limite indéterminée $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 6x} - 1}{\tan(2x)}$, on envisage deux méthodes théoriques :

• Voie A (expression conjuguée cubique et équivalents) : utiliser l'identité $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ pour rendre rationnel le numérateur et appliquer l'équivalent trigonométrique adapté au dénominateur.

• Voie B (règle de L'Hôpital) : vérifier que les conditions de dérivabilité et d'indétermination sont remplies, puis dériver le numérateur et le dénominateur.

1. a) Développer entièrement la résolution par la Voie A. Expliquer pourquoi il est valide de remplacer $\tan(2x)$ par son équivalent dans ce cas précis et pourquoi cela ne le serait pas s'il figurait dans une différence.
2. b) Développer la résolution par la Voie B, en calculant en détail la dérivée de la racine cubique et en évaluant la limite obtenue.
3. c) Comparer les deux méthodes : laquelle présente le moins de risque d'erreur dans les calculs d'un examen ? Expliquer aussi pourquoi un changement de variable du type $t = \sqrt[3]{1 + 6x}$ serait nettement plus lourd en raison de la présence de la fonction trigonométrique.

Lors d'une évaluation, Irène doit calculer la limite :

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \sin x - 2(1 - \cos x)}{x^4}$$

Irène rédige la réponse suivante :

« Comme $x \to 0$, j'applique les équivalents connus : $\sin x \sim x$ et $(1 - \cos x) \sim \frac{x^2}{2}$. En remplaçant dans le numérateur, j'obtiens :

$$x \cdot (x) - 2 \cdot \left(\frac{x^2}{2}\right) = x^2 - x^2 = 0$$

Puisque le numérateur s'annule, la limite est égale à $0$ ».

1. a) Expliquer rigoureusement l'erreur de raisonnement d'Irène. Pourquoi le remplacement par des équivalents dans une somme ou une différence peut-il conduire à une simplification trompeuse des termes principaux ?
2. b) Démontrer que la limite n'est pas nulle en calculant sa valeur exacte par applications successives de la règle de L'Hôpital (en justifiant à chaque étape pourquoi les hypothèses du théorème sont vérifiées).
3. c) À partir du résultat obtenu, expliquer quel était réellement le premier terme non nul du numérateur et pourquoi l'approximation d'Irène a fait disparaître l'information pertinente pour la limite.

Mathis résout au tableau la limite suivante, qui présente une indétermination du type $1^\infty$ :

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x + 1} \right)^{3x}$$

Pour la résoudre, il suit la procédure suivante :

1. Il vérifie que $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 5}{2x + 1} = 1$ et que l'exposant tend vers $+\infty$.

2. Il applique la formule de l'exposant auxiliaire :

$$L = \lim_{x \to +\infty} 3x \cdot \left( \frac{2x + 5}{2x + 1} - 1 \right) = \lim_{x \to +\infty} 3x \cdot \left( \frac{4}{2x + 1} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{12x}{2x + 1} = 6$$

1. Il conclut : « Comme le calcul donne $6$, la limite initiale vaut $6$ ».

1. a) Repérer et expliquer en détail l'erreur de raisonnement commise par Mathis dans sa conclusion finale. Justifier ce que représente réellement la valeur $L = 6$ en s'appuyant sur la définition et la construction du nombre $e$.
2. b) Donner la valeur correcte de la limite.

La croissance d'une population d'oiseaux dans une réserve naturelle protégée est régie par la loi de capitalisation composée continue idéalisée suivante :

$$P(t) = \left( \frac{3t + 5}{3t - 2} \right)^{2t}$$

Calculer la limite de la population lorsque le temps $t$ tend vers l'infini. Exprimer le résultat en fonction du nombre $e$.

Un serveur de jeux vidéo multijoueur a constaté que le nombre d'utilisateurs actifs, $N(t)$, en milliers, suit un modèle de croissance exponentielle en fonction du temps $t$ (en mois) défini par l'expression :

$$N(t) = \left( \frac{3t^2 + 5t + 1}{3t^2 + 2t} \right)^{2t}$$

Calculer la limite du nombre d'utilisateurs actifs lorsque le temps tend vers l'infini ($t \to +\infty$). Le nombre de joueurs se stabilise-t-il autour d'une valeur finie ou croît-il indéfiniment ?

Étudier le comportement de la fonction $f(x) = \left( \cos x \right)^{1/x^2}$ lorsque $x$ tend vers zéro. Pour cela, calculer :

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$$

Expliquer pourquoi cette limite conduit à une forme indéterminée du type $1^\infty$ et la calculer en utilisant le logarithme népérien ou la formule spécifique pour ce type de limites.

Calculer la limite de la suite suivante, qui apparaît fréquemment dans les problèmes d'intérêts composés continus et de probabilités :

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + n} - n \right)^n$$

Remarque : cet exercice demande de traiter soigneusement la forme indéterminée interne avant d'évaluer la puissance globale.

Soit la fonction rationnelle dépendant d'un paramètre $k \in \mathbb{R}$ :

$$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 4}{x-2}$$

Déterminer la valeur de $k$ pour que la limite $\lim_{x \to 2} f(x)$ soit finie. Une fois cette valeur trouvée, calculer la valeur de la limite.

On considère la fonction $f(x)$ définie par morceaux :

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{2x + a} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

Déterminer la valeur du paramètre $a$ pour que la fonction admette une limite au point $x = 3$. Quelle est la valeur de cette limite ?

On sait que la limite suivante existe et est un nombre réel fini non nul :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + ax} - (1 + 2x)}{b \cdot x^2} = -\frac{3}{2}$$

où $a$ et $b$ sont des paramètres réels constants avec $b \neq 0$.

1. a) Multiplier et diviser le quotient par l'expression conjuguée $\sqrt{1 + ax} + (1 + 2x)$ et développer le numérateur en regroupant les termes selon les puissances décroissantes de $x$.
2. b) Sachant que le dénominateur possède un facteur quadratique $x^2$, justifier pourquoi il est indispensable que le terme linéaire en $x$ du numérateur s'annule pour que la limite ne diverge pas vers l'infini. En déduire la valeur nécessaire de $a$.
3. c) La valeur de $a$ étant fixée, simplifier la fraction en levant l'indétermination $\frac{0}{0}$ et déterminer la valeur de $b$ nécessaire pour que la limite vaille exactement $-\frac{3}{2}$.

Dans la conception d'une nouvelle rampe de skatepark, les ingénieurs doivent s'assurer que la transition entre deux tronçons de la piste est lisse (continue). La hauteur de la rampe $h(x)$ en mètres est donnée par la fonction suivante :

$$h(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1 + kx)}{x} & \text{si } x > 0 \\ \cos(x) + a & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$

Déterminer les valeurs des paramètres $k$ et $a$ pour que $\displaystyle \lim_{x \to 0} h(x)$ existe et soit égale à la hauteur initiale de la rampe, qui est $2$ mètres.

Déterminer en justifiant les valeurs des paramètres $a$ et $b$ (avec $a, b \in \mathbb{R}$) pour que l'égalité de limites suivante soit vérifiée :

$$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - e^x}{x^2} = 3$$

Soit la fonction $g(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + k}{x^2 - 4}$.

1. a) Déterminer la valeur de $k$ pour que la limite de la fonction lorsque $x \to 2$ soit finie.

1. b) Une fois $k$ déterminé, calculer cette limite.

1. c) Préciser le type de discontinuité que présente la fonction en $x = 2$ et en $x = -2$.