Calcul intégral et équations différentielles
Au bac, un exercice sur quatre porte souvent sur l'analyse, et l'intégrale ou une équation différentielle y apparaît régulièrement : un café qui refroidit dans la cuisine, la température d'une journée de printemps à Lyon, l'aire d'un jardin. Quelle boîte à outils faut-il avoir sous la main pour ne perdre aucun point ? Cette page rassemble les méthodes essentielles, avec le style de rédaction attendu.
Primitives et calcul d'une intégrale
Calculer une intégrale, c'est presque toujours trouver une primitive.
Pour trouver $F$, on lit le tableau des dérivées à l'envers.
| $f(x)$ | une primitive $F(x)$ |
|---|---|
| $x^n$ ($n\in\mathbb Z$, $n\neq-1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\dfrac1x$ sur $]0\,;+\infty[$ | $\ln x$ |
| $\mathrm e^x$ | $\mathrm e^x$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ |
| $u'\,\mathrm e^u$ | $\mathrm e^u$ |
| $u'u^n$ ($n\neq-1$) | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ |
| $\dfrac{u'}{u}$ ($u>0$) | $\ln u$ |
| $\cos(ax+b)$ ($a\neq0$) | $\dfrac1a\sin(ax+b)$ |
| $\sin(ax+b)$ ($a\neq0$) | $-\dfrac1a\cos(ax+b)$ |
Les deux dernières lignes découlent de $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'$ avec $u(x)=ax+b$ et $u'=a$ : il faut compenser le facteur $a$ obtenu en dérivant, d'où le coefficient $\dfrac1a$.
1. Calculer les intégrales suivantes. a) $A=\displaystyle\int_0^1(3x^2+2x)\,\mathrm dx$ b) $B=\displaystyle\int_0^{\ln2}\mathrm e^x\,\mathrm dx$ c)…
- Calculer les intégrales suivantes.
a) $A=\displaystyle\int_0^1(3x^2+2x)\,\mathrm dx$
b) $B=\displaystyle\int_0^{\ln2}\mathrm e^x\,\mathrm dx$
c) $C=\displaystyle\int_1^{\mathrm e}\frac1x\,\mathrm dx$
d) $D=\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm dx$
- a) Vérifier que la fonction $F:x\mapsto\mathrm e^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb R$ de la fonction $f:x\mapsto2x\,\mathrm e^{x^2}$.
b) En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^1 2x\,\mathrm e^{x^2}\,\mathrm dx$.
- Calculer la valeur moyenne de la fonction $x\mapsto x^2$ sur l'intervalle $[0\,;3]$.
Aire, valeur moyenne et encadrement
Aire entre deux courbes. Si $f\ge g$ sur $[a\,;b]$, l'aire du domaine entre $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ vaut $\displaystyle\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,\mathrm dx$. Il faut donc d'abord déterminer quelle courbe est au-dessus : on étudie le signe de $f-g$. Si les courbes se croisent, on découpe avec la relation de Chasles.
Valeur moyenne. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ ($a Encadrement. Si $f\le g$ sur $[a\,;b]$ (avec $a\le b$), alors $\displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g$ (intégration des inégalités). On s'en sert pour majorer ou minorer une intégrale : par exemple, comme $0\le\mathrm e^{-x^2}\le1$ sur $[0\,;1]$, on a $0\le\displaystyle\int_0^1\mathrm e^{-x^2}\mathrm dx\le1$. Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité graphique $1$ cm. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+2$, de courbes représentatives respectives $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$. En déduire les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$. Étudier le signe de $g(x)-f(x)$ sur $\mathbb R$. Calculer, en unité d'aire puis en $\text{cm}^2$, l'aire du domaine délimité par $\mathcal C_f$, $\mathcal C_g$ et situé entre leurs deux points d'intersection. Partie A Dans une ville française, la température, en degré Celsius, au cours d'une journée de printemps est modélisée, pour $t\in[0\,;24]$ où $t$ désigne le nombre d'heures écoulées depuis minuit, par $\theta(t)=12-6\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$. Déterminer une primitive de $\theta$ sur $[0\,;24]$. Calculer la valeur moyenne de $\theta$ sur $[0\,;24]$. Calculer la valeur moyenne de $\theta$ sur $[0\,;6]$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $0{,}01\ ^\circ\text{C}$ près. Partie B On souhaite encadrer $I=\displaystyle\int_0^1\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx$. On note $f$ la fonction $x\mapsto\mathrm e^{-x^2}$. Justifier que $f$ est décroissante sur $[0\,;1]$. On partage $[0\,;1]$ en quatre intervalles de même longueur $0{,}25$. Par la méthode des rectangles, montrer que $0{,}66\le I\le0{,}83$. On utilisera la calculatrice pour calculer les valeurs de $f$ aux points de la subdivision.Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité graphique $1$ cm. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+2$, de courbes…
Partie A Dans une ville française, la température, en degré Celsius, au cours d'une journée de printemps est modélisée, pour $t\in[0\,;24]$ où $t$ désigne le nombre…
Intégration par parties et suites d'intégrales
Pourquoi ? On intègre la formule $(uv)'=u'v+uv'$ entre $a$ et $b$. L'IPP est utile quand $v'$ est plus simple que $v$ (on dérive $x$ ou $\ln x$, on intègre $\mathrm e^x$).
Pour $\displaystyle\int_1^{\mathrm e}x\ln x\,\mathrm dx$, on prend $u'(x)=x$ et $v(x)=\ln x$ : on dérive le logarithme, on intègre la puissance. Pour une primitive de $\ln$, on prend $u'=1$ et $v=\ln x$.
Suites d'intégrales. Une IPP donne souvent une relation de récurrence. Pour $I_n=\displaystyle\int_0^1x^n\mathrm e^x\,\mathrm dx$, en posant $u'=\mathrm e^x$ et $v=x^{n+1}$ :
$$I_{n+1}=\left[x^{n+1}\mathrm e^x\right]_0^1-(n+1)\int_0^1x^n\mathrm e^x\,\mathrm dx=\mathrm e-(n+1)I_n.$$Pour étudier la limite, on encadre : sur $[0\,;1]$, $0\le x^n\mathrm e^x\le\mathrm e\,x^n$, donc $0\le I_n\le\dfrac{\mathrm e}{n+1}$, et le théorème des gendarmes donne $\lim I_n=0$. La monotonie s'obtient en comparant les fonctions intégrées : si $0\le f_{n+1}\le f_n$ alors $0\le u_{n+1}\le u_n$.
Partie A 1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^1x\,\mathrm e^x\,\mathrm dx$. 2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer…
Partie A
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À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^1x\,\mathrm e^x\,\mathrm dx$.
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À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_1^{\mathrm e}x\ln x\,\mathrm dx$. Donner le résultat sous la forme d'une fraction de $\mathrm e^2$.
Partie B
Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1x^n\mathrm e^x\,\mathrm dx$.
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Calculer $I_0$. Vérifier que $I_1=1$ d'après la partie A.
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Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=\mathrm e-(n+1)I_n$. En déduire $I_2$.
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Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0\le I_n\le\dfrac{\mathrm e}{n+1}$.
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En déduire la limite de la suite $(I_n)$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\displaystyle\int_1^{\mathrm e}(\ln x)^n\,\mathrm dx$. 1. Calculer $u_0$ et $u_1$. 2. Montrer que, pour tout entier naturel…
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\displaystyle\int_1^{\mathrm e}(\ln x)^n\,\mathrm dx$.
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Calculer $u_0$ et $u_1$.
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Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\mathrm e-(n+1)u_n$. En déduire $u_2$.
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a) Montrer que, pour tout $x\in[1\,;\mathrm e]$ et tout entier naturel $n$, $0\le(\ln x)^{n+1}\le(\ln x)^n$.
b) En déduire que la suite $(u_n)$ est positive et décroissante.
- a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\le\dfrac{\mathrm e}{n+1}$.
b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\ge\dfrac{\mathrm e}{n+2}$.
- Déterminer la limite de $(u_n)$, puis la limite de $(n\,u_n)$.
Équations différentielles
Démonstration pour $y'=ay$ : la fonction $\mathrm e^{ax}$ est solution. Réciproquement, si $y'=ay$, on pose $h(x)=\mathrm e^{-ax}y(x)$ ; alors $h'(x)=-a\mathrm e^{-ax}y(x)+\mathrm e^{-ax}y'(x)=\mathrm e^{-ax}\bigl(y'(x)-ay(x)\bigr)=0$, donc $h$ est constante, égale à $k$, et $y(x)=k\,\mathrm e^{ax}$.
Pourquoi pour $y'=ay+b$ ? La fonction constante $-\dfrac ba$ est une solution particulière de $y'=ay+b$. Une fonction $y$ est solution si et seulement si $y+\dfrac ba$ est solution de $y'=ay$. Il suffit de les additionner.
Lorsque l'équation est $y'=ay+f$ avec une fonction $f$ non constante, l'énoncé fournit une solution particulière $p$. On montre alors que $y$ est solution $\iff y-p$ est solution de $y'=ay$, et on conclut : $y(x)=k\,\mathrm e^{ax}+p(x)$.
Fonction définie par une intégrale. Si $f(x)=2+\displaystyle\int_0^x g(t)\,\mathrm dt$ avec $g$ continue, alors $f$ est dérivable, $f'=g$ et $f(0)=2$ : on retrouve une équation différentielle avec condition initiale.
Un café est servi à la température de $90\ ^\circ\text{C}$ dans une pièce dont la température est constante, égale à $20\ ^\circ\text{C}$. On note $\theta(t)$ la…
Un café est servi à la température de $90\ ^\circ\text{C}$ dans une pièce dont la température est constante, égale à $20\ ^\circ\text{C}$. On note $\theta(t)$ la température du café, en degré Celsius, à l'instant $t$ exprimé en minute. On admet que la fonction $\theta$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ et vérifie l'équation différentielle $(E)$ : $y'=-0{,}1\,y+2$.
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Vérifier que la fonction constante égale à $20$ est solution de $(E)$.
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Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
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Déterminer l'expression de $\theta(t)$ sachant que $\theta(0)=90$.
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Déterminer la limite de $\theta$ en $+\infty$ et interpréter.
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Résoudre l'équation $\theta(t)=40$. Donner la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée à $0{,}1$ minute près.
Partie A On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=2y+4x$. 1. Vérifier que la fonction $p$ définie sur $\mathbb R$ par $p(x)=-2x-1$ est solution de $(E)$. 2.…
Partie A
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=2y+4x$.
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Vérifier que la fonction $p$ définie sur $\mathbb R$ par $p(x)=-2x-1$ est solution de $(E)$.
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Montrer qu'une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb R$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y-p$ est solution de l'équation $y'=2y$.
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En déduire toutes les solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$.
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Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=1$.
Partie B
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=2\mathrm e^{2x}-2x-1$.
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Étudier les variations de $f$ et montrer que $f$ admet un minimum égal à $\ln2$.
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En déduire que $f(x)>0$ pour tout réel $x$.
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Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=x\,\mathrm e^{-x}$. Pour tout réel $a>0$, on note $\mathcal A(a)$ l'aire, en unité d'aire, du domaine…
On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=x\,\mathrm e^{-x}$. Pour tout réel $a>0$, on note $\mathcal A(a)$ l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=a$.
Partie A
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Étudier les variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$.
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Montrer que la fonction $F:x\mapsto-(x+1)\mathrm e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.
Partie B
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Montrer que, pour tout réel $a>0$, $\mathcal A(a)=1-(a+1)\mathrm e^{-a}$.
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Déterminer la limite de $\mathcal A(a)$ quand $a$ tend vers $+\infty$.
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Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;a]$ en fonction de $a$.
Partie C
On souhaite déterminer la valeur de $a$ pour laquelle $\mathcal A(a)=\dfrac12$.
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On pose $h(a)=(a+1)\mathrm e^{-a}$. Montrer que $h$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$.
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Montrer que l'équation $h(a)=\dfrac12$ admet une unique solution $a_0$ dans $[0\,;+\infty[$.
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À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $a_0$ d'amplitude $0{,}1$.
On cherche les fonctions $f$ continues sur $\mathbb R$ vérifiant la condition $(1)$ : pour tout réel $x$, $$f(x)=2+\int_0^x\bigl(3-f(t)\bigr)\,\mathrm dt.$$ Partie A On…
On cherche les fonctions $f$ continues sur $\mathbb R$ vérifiant la condition $(1)$ : pour tout réel $x$,
$$f(x)=2+\int_0^x\bigl(3-f(t)\bigr)\,\mathrm dt.$$Partie A
On suppose qu'une fonction $f$ continue sur $\mathbb R$ vérifie $(1)$.
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Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et que, pour tout réel $x$, $f'(x)=3-f(x)$.
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Calculer $f(0)$.
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Résoudre l'équation différentielle $y'=-y+3$ et en déduire l'expression de $f(x)$.
Partie B
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Réciproquement, vérifier que la fonction $f:x\mapsto3-\mathrm e^{-x}$ vérifie la condition $(1)$.
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Calculer $\displaystyle\int_0^2f(x)\,\mathrm dx$.
Partie C
On souhaite approcher $f(1)$ par la méthode d'Euler appliquée à $y'=3-y$ avec $y(0)=2$ et un pas $h=0{,}5$.
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Calculer les deux premières valeurs $y_1$ et $y_2$ fournies par la méthode et préciser les abscisses correspondantes.
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Calculer l'écart, arrondi au centième, entre $y_2$ et $f(1)$.
Pour revenir au café : sa température tend vers $20\ ^\circ\text{C}$, celle de la pièce, valeur de la solution constante de l'équation. Une seule méthode, trois exercices de bac.