Réussir un QCM au baccalauréat

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Question 1. La limite en $0$ par valeurs supérieures de la fonction $x\mapsto\dfrac{\ln x}{x}$ est :

• A. $0$

• B. $1$

• C. $-\infty$

• D. $+\infty$

Question 2. Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par $5$. Alors :

• A. $(u_n)$ converge vers $5$

• B. $(u_n)$ converge vers une limite inférieure ou égale à $5$

• C. $(u_n)$ diverge

• D. $(u_n)$ tend vers $+\infty$

Question 3. La courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(x-1)\mathrm e^x$ admet un point d'inflexion d'abscisse :

• A. $0$

• B. $-1$

• C. $1$

• D. aucune de ces valeurs : il n'y a pas de point d'inflexion

Question 4. Dans un repère orthonormé de l'espace, la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=-1+t\end{cases}$, $t\in\mathbb R$, et le plan $\mathcal P$ d'équation $x+y-z=4$ ont pour intersection :

• A. le point $(2\,;2\,;0)$

• B. le point $(1\,;0\,;-1)$

• C. le point $(3\,;4\,;1)$

• D. l'ensemble vide

Question 5. Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}2$. Alors :

• A. $A$ et $B$ sont incompatibles

• B. $P(A\cup B)=0{,}9$

• C. $A$ et $B$ sont indépendants

• D. $P_B(A)=0{,}8$

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Question 1. La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=0{,}5u_n+1$ pour tout entier naturel $n$. Elle converge vers :

• A. $1$

• B. $2$

• C. $0$

• D. $+\infty$

Question 2. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal B(10\,;0{,}3)$. La variance de $X$ est :

• A. $3$

• B. $2{,}1$

• C. $0{,}21$

• D. $0{,}9$

Question 3. L'ensemble des solutions réelles de l'équation $\mathrm e^{2x}-3\mathrm e^x+2=0$ est :

• A. $\{1\,;2\}$

• B. $\{0\,;\ln2\}$

• C. $\{0\,;2\}$

• D. $\{\ln2\}$

Question 4. La valeur de $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\sin x+\cos x)\,\mathrm dx$ est :

• A. $0$

• B. $1$

• C. $2$

• D. $\pi$

Question 5. On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$. Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AG}$ est égal à :

• A. $0$

• B. $1$

• C. $\sqrt3$

• D. $3$

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Question 1. La limite de la suite de terme général $\dfrac{2n^2+3}{n^2-1}$ (pour $n\ge2$) est :

• A. $0$

• B. $2$

• C. $3$

• D. $+\infty$

Question 2. La suite $(u_n)$ définie par $u_n=5\times0{,}6^n$ pour tout entier naturel $n$ :

• A. converge vers $5$

• B. converge vers $0$

• C. converge vers $3$

• D. tend vers $+\infty$

Question 3. La fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\mathrm e^{2x}$ a pour dérivée la fonction $f'$ définie par :

• A. $f'(x)=\mathrm e^{2x}$

• B. $f'(x)=2\mathrm e^{2x}$

• C. $f'(x)=2x\,\mathrm e^{2x}$

• D. $f'(x)=\dfrac{\mathrm e^{2x}}2$

Question 4. La valeur de $\displaystyle\int_0^1(2x+1)\,\mathrm dx$ est :

• A. $1$

• B. $2$

• C. $3$

• D. $\dfrac32$

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Question 1. La fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=x\ln x-x$ a pour dérivée :

• A. $f'(x)=\ln x$

• B. $f'(x)=\ln x-1$

• C. $f'(x)=\dfrac1x-1$

• D. $f'(x)=x\ln x$

Question 2. La limite en $+\infty$ de la fonction $x\mapsto(x^2-3x)\mathrm e^{-x}$ est :

• A. $+\infty$

• B. $-\infty$

• C. $1$

• D. $0$

Question 3. Parmi les fonctions suivantes, la seule qui soit convexe sur $\mathbb R$ est :

• A. $x\mapsto x^3$

• B. $x\mapsto-\mathrm e^{x}$

• C. $x\mapsto\mathrm e^{-x}$

• D. $x\mapsto\ln(1+x^2)$

Question 4. Une primitive sur $\mathbb R$ de la fonction $x\mapsto\dfrac{2x}{x^2+1}$ est la fonction :

• A. $x\mapsto\ln(x^2+1)$

• B. $x\mapsto\dfrac1{x^2+1}$

• C. $x\mapsto(x^2+1)^2$

• D. $x\mapsto2\ln x$

Question 5. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, le plan $\mathcal P$ a pour équation $x-2y+z=3$. Le point qui appartient à $\mathcal P$ est :

• A. $A(1\,;-1\,;0)$

• B. $B(1\,;1\,;0)$

• C. $C(3\,;0\,;1)$

• D. $D(0\,;1\,;-1)$

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Question 1. La fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\ln(1+\mathrm e^x)$ a pour dérivée :

• A. $f'(x)=\dfrac1{1+\mathrm e^x}$

• B. $f'(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{1+\mathrm e^x}$

• C. $f'(x)=\mathrm e^x$

• D. $f'(x)=\dfrac{1}{\mathrm e^x}$

Question 2. La valeur de $\displaystyle\int_1^{\mathrm e}x\ln x\,\mathrm dx$ est :

• A. $\dfrac{\mathrm e^2+1}4$

• B. $\dfrac{\mathrm e^2-1}4$

• C. $\dfrac{\mathrm e^2}2$

• D. $1$

Question 3. La solution de l'équation différentielle $y'=-2y+4$ vérifiant $y(0)=1$ est la fonction :

• A. $x\mapsto2-\mathrm e^{-2x}$

• B. $x\mapsto\mathrm e^{-2x}$

• C. $x\mapsto2+\mathrm e^{-2x}$

• D. $x\mapsto1+2x$

Question 4. Dans un repère orthonormé de l'espace, la distance de l'origine $O$ au plan d'équation $x+y+z=3$ est :

• A. $3$

• B. $1$

• C. $\sqrt3$

• D. $\dfrac{\sqrt3}3$

Question 5. Le plus petit entier naturel $n$ tel que $1-0{,}9^n\ge0{,}95$ est :

• A. $27$

• B. $28$

• C. $29$

• D. $30$

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Question 1. Les solutions de l'équation différentielle $y'=3y$ sur $\mathbb R$ sont les fonctions $x\mapsto$ :

• A. $C\,\mathrm e^{3x}$ où $C$ est un réel

• B. $3\,\mathrm e^{Cx}$ où $C$ est un réel

• C. $C\,\mathrm e^{x/3}$ où $C$ est un réel

• D. $3x+C$ où $C$ est un réel

Question 2. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal B(4\,;0{,}5)$. La probabilité $P(X=2)$ vaut :

• A. $0{,}25$

• B. $0{,}375$

• C. $0{,}5$

• D. $0{,}125$

Question 3. Dans l'espace muni d'un repère, la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=1+2t\\y=3-t\\z=t\end{cases}$, $t\in\mathbb R$, admet pour vecteur directeur :

• A. $\vec u(1\,;3\,;0)$

• B. $\vec u(2\,;3\,;1)$

• C. $\vec u(2\,;-1\,;1)$

• D. $\vec u(2\,;1\,;1)$

Question 4. L'ensemble des solutions de l'équation $\ln x=2$ est :

• A. $\{2\}$

• B. $\{\mathrm e^2\}$

• C. $\{2\mathrm e\}$

• D. $\{\sqrt{\mathrm e}\}$

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Question 1. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, le plan d'équation $2x-y+3z=5$ admet pour vecteur normal :

• A. $\vec n(2\,;1\,;3)$

• B. $\vec n(2\,;-1\,;3)$

• C. $\vec n(5\,;-1\,;3)$

• D. $\vec n(-2\,;-1\,;3)$

Question 2. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les vecteurs $\vec u(1\,;2\,;-1)$ et $\vec v(3\,;-1\,;1)$. Ces vecteurs sont :

• A. colinéaires

• B. orthogonaux

• C. de même norme

• D. opposés

Question 3. Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E(X)=3$ et $V(X)=2$. Alors $V(2X+1)$ est égale à :

• A. $5$

• B. $8$

• C. $9$

• D. $4$

Question 4. La suite $(u_n)$ définie par $u_n=(-1)^n$ pour tout entier naturel $n$ :

• A. converge vers $1$

• B. converge vers $-1$

• C. n'admet pas de limite

• D. tend vers $+\infty$

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Question 1. La limite de la suite de terme général $\sqrt{n^2+n}-n$ est :

• A. $0$

• B. $\dfrac12$

• C. $1$

• D. $+\infty$

Question 2. La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ pour tout entier naturel $n$. Elle converge vers :

• A. $1$

• B. $2$

• C. $\sqrt2$

• D. $+\infty$

Question 3. Le nombre de solutions de l'équation $x\,\mathrm e^{-x}=0{,}2$ sur $[0\,;+\infty[$ est :

• A. $0$

• B. $1$

• C. $2$

• D. $3$

Question 4. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les droites $d_1$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=2-t\end{cases}$ et $d_2$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=s\\y=1-s\\z=s\end{cases}$, où $t$ et $s$ sont réels. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont :

• A. parallèles et non confondues

• B. sécantes

• C. confondues

• D. non coplanaires

Question 5. Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $10$ et de variance $4$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que :

• A. $P(|X-10|\ge5)\le0{,}16$

• B. $P(|X-10|\ge5)=0{,}16$

• C. $P(|X-10|\ge5)\ge0{,}16$

• D. $P(|X-10|\ge5)\le0{,}04$

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Question 1. La suite $(u_n)$ définie pour $n\ge1$ par $u_n=\dfrac{n+(-1)^n}{n}$ :

• A. converge vers $0$

• B. converge vers $1$

• C. n'admet pas de limite

• D. tend vers $+\infty$

Question 2. Soit $f$ une fonction continue sur $[0\,;2]$ telle que $f(0)=-1$ et $f(2)=3$. On peut affirmer que :

• A. l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution dans $]0\,;2[$

• B. l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]0\,;2[$

• C. $f$ est croissante sur $[0\,;2]$

• D. $f(1)>0$

Question 3. Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb R$, dont la dérivée seconde est positive sur $\mathbb R$, telle que $f(0)=1$ et $f'(0)=2$. Alors, pour tout réel $x$ :

• A. $f(x)\ge2x+1$

• B. $f(x)\le2x+1$

• C. $f(1)=3$

• D. $f(-1)=-1$

Question 4. On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$. Le cosinus de l'angle géométrique formé par les droites $(AB)$ et $(AG)$ est :

• A. $\dfrac1{\sqrt3}$

• B. $\dfrac1{\sqrt2}$

• C. $\dfrac13$

• D. $\dfrac{\sqrt3}2$

Question 5. Soit $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $4$, et $M_n=\dfrac{X_1+\dots+X_n}n$. Pour $n=400$, l'inégalité de concentration fournit une majoration de $P(|M_{400}-\mu|\ge0{,}5)$. Cette majoration est égale à :

• A. $0{,}04$

• B. $0{,}02$

• C. $0{,}16$

• D. $0{,}4$