Valeur moyenne et encadrement d'intégrales
La température dans une serre de Perpignan varie toute la journée. Si on voulait la remplacer par une température constante qui « donne le même résultat » sur 24 h, laquelle choisirait-on ? Pour répondre, il faut savoir calculer la valeur moyenne d'une fonction, et pour les intégrales qu'on ne sait pas calculer, savoir les encadrer.
Valeur moyenne d'une fonction
Pour des nombres, la moyenne est la somme divisée par l'effectif. Pour une fonction, on « additionne » toutes les valeurs avec l'intégrale, et on divise par la longueur de l'intervalle.
Interprétation géométrique : si $f$ est positive, $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\,b]$ qui a la même aire que la zone sous la courbe. On a donc $\mu\,(b-a)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
Avec des fonctions trigonométriques, on utilise les primitives de $\sin$ et $\cos$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x) = 2x + 1$ sur $[0;3]$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x) = 2x + 1$ sur $[0;3]$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0;2]$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0;2]$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x) = \sin x$ sur $[0;\pi]$ et sur $[0;2\pi]$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x) = \sin x$ sur $[0;\pi]$ et sur $[0;2\pi]$.
La température dans une serre de Perpignan, en $°\text{C}$, est modélisée entre $0$ h et $24$ h par $T(t) = 18 - 6\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$. a) Calculer la…
La température dans une serre de Perpignan, en $°\text{C}$, est modélisée entre $0$ h et $24$ h par $T(t) = 18 - 6\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$.
- a) Calculer la température moyenne sur une journée.
- b) Calculer la température moyenne entre $6$ h et $18$ h.
Positivité et intégration des inégalités
Pourquoi ? Si $f\ge0$, l'intégrale est une aire, donc positive. Pour la seconde propriété, on applique la première à $g-f\ge0$ et on utilise la linéarité.
Cela se lit sur un dessin : l'aire sous la courbe est comprise entre celle du petit rectangle de hauteur $m$ et celle du grand rectangle de hauteur $M$.
Sachant que $1 \leq f(x) \leq 3$ sur $[2;6]$, encadrer $\displaystyle\int_2^6 f(x)\,dx$.
Sachant que $1 \leq f(x) \leq 3$ sur $[2;6]$, encadrer $\displaystyle\int_2^6 f(x)\,dx$.
Encadrer une intégrale difficile à calculer
Certaines fonctions, comme $x\mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$, n'ont pas de primitive qu'on sache écrire avec les fonctions usuelles. On ne calcule pas l'intégrale : on l'encadre.
Montrer que, pour tout $x \in [0;1]$, $0 \leq \dfrac{x^2}{1+x} \leq x^2$, puis encadrer $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^2}{1+x}\,dx$.
Montrer que, pour tout $x \in [0;1]$, $0 \leq \dfrac{x^2}{1+x} \leq x^2$, puis encadrer $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^2}{1+x}\,dx$.
Soit $f(x) = e^{-x^2}$. a) Montrer que, pour tout $x \in [0;1]$, $1 - x^2 \leq e^{-x^2} \leq 1$. b) En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$. c)…
Soit $f(x) = e^{-x^2}$.
- a) Montrer que, pour tout $x \in [0;1]$, $1 - x^2 \leq e^{-x^2} \leq 1$.
- b) En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$.
- c) En déduire un encadrement de la valeur moyenne de $f$ sur $[0;1]$.
Suites d'intégrales
On étudie parfois une suite $(I_n)$ définie par une intégrale dépendant de $n$. Deux outils reviennent : une relation de récurrence obtenue en regroupant deux intégrales, et un encadrement qui permet d'appliquer le théorème des gendarmes.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\,dx$. a) Calculer $I_0$. b) Montrer que $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$. c) Montrer…
Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\,dx$.
- a) Calculer $I_0$.
- b) Montrer que $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$.
- c) Montrer que $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ et déterminer $\lim I_n$.
La valeur moyenne est atteinte
La valeur moyenne $\mu$ est comprise entre le minimum et le maximum de $f$. Comme $f$ est continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet d'en dire plus.
Démonstration. $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ admet un minimum $m$ et un maximum $M$, donc $m\le\mu\le M$. Le TVI donne alors un $c$ tel que $f(c)=\mu$. Par ailleurs, par linéarité, $\displaystyle\int_a^b(f-\mu)=\int_a^b f-\mu(b-a)=0$.
Soit $a<b$, $f$ continue sur $[a;b]$ et $\mu$ sa valeur moyenne. a) Montrer, à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe $c \in [a;b]$ tel que…
Soit $a
- a) Montrer, à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe $c \in [a;b]$ tel que $f(c) = \mu$.
- b) Montrer que $\displaystyle\int_a^b (f(x) - \mu)\,dx = 0$.
- c) Application : $f(x) = x^2$ sur $[0;3]$. Déterminer $\mu$ puis le réel $c$ de la question a).
Retour au début : la température moyenne de la serre est de $18\ °\text{C}$ sur la journée. Une serre maintenue à $18\ °\text{C}$ constants aurait la même « chaleur cumulée ».
L'essentiel
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Valeur moyenne de $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ : $\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$, soit $\displaystyle\int_a^b f=\mu\,(b-a)$.
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Positivité : si $f\ge0$ sur $[a\,;\,b]$ ($a\le b$), alors $\displaystyle\int_a^b f\ge0$. Si $f\le g$, alors $\displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g$.
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Si $m\le f\le M$, alors $m(b-a)\le\displaystyle\int_a^b f\le M(b-a)$ et $m\le\mu\le M$.
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Pour encadrer une intégrale : encadrer la fonction, intégrer, calculer. Pour une suite d'intégrales : relation de récurrence, encadrement, théorème des gendarmes.
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Il existe $c\in[a\,;\,b]$ avec $f(c)=\mu$ (TVI), et $\displaystyle\int_a^b(f-\mu)=0$.