Convexité : concavité et convexité. Point d'inflexion

Observer la courbe suivante d'une fonction $f(x)$ et identifier, visuellement, sur quels intervalles la fonction est convexe (courbe tournée vers le haut, $\cup$) et sur lesquels elle est concave (courbe tournée vers le bas, $\cap$). Indiquer approximativement l'abscisse $x$ où vous pensez que se situe le point d'inflexion.

Associer chacune des conditions suivantes sur la dérivée seconde à l'allure de la courbe de la fonction $f(x)$ sur un intervalle donné :

1. $f''(x) > 0$ pour tout $x \in ]a ; b[$

2. $f''(x) < 0$ pour tout $x \in ]a ; b[$

3. $f''(c) = 0$ et $f''(x)$ change de signe en $x = c$.

Utiliser les termes : Concave (courbe tournée vers le bas, $\cap$), Convexe (courbe tournée vers le haut, $\cup$) et Point d'inflexion.

Soit la fonction polynôme $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Réaliser les étapes suivantes pour étudier sa convexité (on dit qu'elle est concave ($\cap$) dans la zone où $f''(x)<0$ et convexe ($\cup$) dans la zone où $f''(x)>0$) :

1. a) Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.

1. b) Déterminer les intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$).

1. c) Déterminer les coordonnées du point d'inflexion.

Soit la fonction $f(x) = x^4 - 2x^3$. Étudier sa convexité. Cette fonction présente-t-elle un point où la dérivée seconde s'annule sans que ce soit un point d'inflexion ? Justifier la réponse en analysant le signe de $f''(x)$ de part et d'autre des points singuliers de la dérivée seconde.

Marc doit étudier la convexité de la fonction polynôme $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 2$. Dans sa copie, il écrit le raisonnement suivant :

« Dérivée première : $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.

Dérivée seconde : $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2$.

Je résous $12(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.

Donc la courbe de la fonction change de convexité en $x = 1$ et présente un point d'inflexion en $(1 ; 5)$. »

1. a) Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Marc. La condition $f''(x_0) = 0$ est-elle suffisante à elle seule pour garantir l'existence d'un point d'inflexion ?
2. b) Corriger l'exercice en déterminant les véritables intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$) de $f(x)$, et conclure en justifiant si la courbe possède ou non des points d'inflexion.

Pour étudier la convexité et classer les éventuels points d'inflexion de la fonction $f(x) = x^5 - 5x^4 + 7$, vous calculez ses deux premières dérivées et obtenez $f'(x) = 5x^4 - 20x^3$ et $f''(x) = 20x^2(x - 3)$. Les candidats à être point d'inflexion sont $x = 0$ et $x = 3$.

Deux camarades de classe proposent des méthodes de résolution différentes :

• Méthode 1 (dérivées successives) : Calculer $f'''(x)$, $f^{(4)}(x)$, etc., et évaluer en chaque candidat jusqu'à trouver une dérivée d'ordre supérieur qui ne s'annule pas.

• Méthode 2 (étude du signe de $f''$) : Analyser directement le signe de $f''(x) = 20x^2(x - 3)$ sur les intervalles déterminés par les zéros de la dérivée seconde.

1. a) Appliquer la méthode 1 pour classer $x = 0$ et $x = 3$.
2. b) Appliquer la méthode 2 pour déterminer les intervalles de concavité et de convexité et classer les deux points.
3. c) Comparer de façon critique les deux méthodes pour ce cas : laquelle est la plus efficace et pourquoi la présence du facteur $x^2$ rend-elle la méthode 2 particulièrement avantageuse par rapport à la méthode 1 ? Quelle limite conceptuelle présenterait la méthode 1 si la fonction n'admettait pas de dérivées d'ordre supérieur au point étudié ?

Soit la fonction $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Bien qu'il s'agisse d'une fonction rationnelle, l'étude de sa convexité sur son ensemble de définition est simple. La figure montre sa courbe et ses asymptotes.

1. Déterminer $f''(x)$.

2. Étudier son signe sur les intervalles correspondants (en tenant compte du fait que $x=1$ n'appartient pas à l'ensemble de définition) et le relier à la convexité que l'on observe sur chaque branche de la courbe.

3. Y a-t-il des points d'inflexion ? Justifier si le changement de convexité au niveau de l'asymptote verticale est considéré comme un point d'inflexion.

Soit la fonction $f(x) = \ln(x^2 + 9)$. Déterminer :

1. Les intervalles où la fonction est concave ($\cap$) et où elle est convexe ($\cup$).

2. Les coordonnées des points d'inflexion.

3. L'équation de la tangente à la courbe de $f(x)$ en son point d'inflexion d'abscisse positive.

Soit la fonction $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

1. a) Étudier l'ensemble de définition et les asymptotes de la fonction.
2. b) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance, et les extremums locaux.
3. c) Analyser la convexité et démontrer qu'il n'existe aucun point d'inflexion.
4. d) Vers quelle valeur tend le coefficient directeur de la tangente à la courbe lorsque $x \to \infty$ ? Cela change-t-il la convexité en l'infini ?

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la fonction $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ admette un point d'inflexion en $x = 2$. Une fois $k$ trouvé, indiquer si la fonction est concave ou convexe au point $x = 0$.

Déterminer l'expression d'une fonction cubique $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ vérifiant simultanément les quatre conditions suivantes :

1. Sa courbe coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; -5)$.

2. Elle présente un point d'inflexion au point de coordonnées $(2 ; 3)$.

3. La tangente à la courbe en ce point d'inflexion a pour coefficient directeur $-4$.

4. La fonction est concave ($\cap$) sur $]-\infty ; 2[$ et convexe ($\cup$) sur $]2 ; +\infty[$.

Calculer en justifiant les coefficients $a, b, c$ et $d$, et vérifier explicitement, grâce au signe de $f''(x)$, que la condition de convexité 4 est bien vérifiée de façon stricte avec les valeurs trouvées.

Soit la fonction définie par morceaux :

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la fonction soit dérivable en $x = 0$ et que sa courbe passe par le point $(\pi ; \pi)$. Une fois ces valeurs calculées, vérifier s'il existe un point d'inflexion à l'origine.

On considère la famille de fonctions de la forme $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, où $a$ et $b$ sont des paramètres réels. On sait que la courbe de la fonction passe par le point $(0\,;\,1)$ et qu'elle admet un point d'inflexion au point d'abscisse $x = 1$.

1. a) Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
2. b) Pour les valeurs trouvées, étudier les intervalles de concavité et de convexité de la fonction et vérifier s'il existe d'autres points d'inflexion.

On souhaite raccorder en douceur deux tronçons de route. Le premier tronçon est donné par la fonction $g(x) = x^2$ pour $x \le 1$, et le second par une fonction polynôme de degré trois $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ pour $x > 1$.

Pour que la transition soit « parfaitement lisse », les ingénieurs exigent qu'au point de raccordement $x = 1$ :

1. Les fonctions coïncident ($f$ soit continue).

2. Les coefficients directeurs des tangentes coïncident ($f$ soit dérivable).

3. La convexité soit la même (les dérivées secondes coïncident).

Sachant que le second tronçon doit avoir un point d'inflexion en $x = 2$, calculer les valeurs de $a, b, c$ et $d$.

Un concepteur de skateparks modélise le profil d'une rampe au moyen de la fonction $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, où $x$ représente la distance horizontale en mètres. Le concepteur a besoin de savoir où la rampe passe de « type montagne » (concave) à « type vallée » (convexe) afin d'assurer la transition. Déterminer le point d'inflexion de cette trajectoire.

Le nombre d'utilisateurs actifs d'un nouveau réseau social pendant les 6 premiers mois suit approximativement la fonction $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, où $t$ est le temps en mois et $N(t)$ est le nombre d'utilisateurs en milliers.

1. Déterminer l'instant exact (valeur de $t$) à partir duquel la croissance du nombre d'utilisateurs commence à ralentir (point d'inflexion).

2. Expliquer la signification de la convexité de la fonction avant et après cet instant en termes de « rythme de croissance ».

Une équipe d'ingénieurs conçoit une rampe de transition pour un nouveau modèle de skateboard. La hauteur de la rampe suit la fonction $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ sur l'intervalle $x \in [-2\,;\,2]$.

1. a) Calculer la valeur de $k$ pour que la rampe change de convexité (admette un point d'inflexion) exactement en $x = 0$.
2. b) Est-il possible de trouver une valeur de $k$ telle que la fonction soit toujours convexe ($\cup$) sur tout son ensemble de définition ? Justifier la réponse analytiquement.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{12}{x^2 + 3}$ :

1. a) Estimer avant de calculer : Observer que la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (paire), strictement positive sur tout $\mathbb{R}$, admet un maximum local en $(0 ; 4)$ et possède une asymptote horizontale en $y = 0$ lorsque $x \to \pm\infty$. À partir de ces seules données qualitatives, déduire en justifiant si la courbe doit avoir des points d'inflexion, combien on s'attend à en trouver au minimum, dans quels quadrants ils se situeront et quelle convexité la courbe devrait présenter près de l'origine par rapport aux zones très éloignées de celle-ci ($|x| \to \infty$).
2. b) Vérifier par le calcul : Calculer $f''(x)$, déterminer les intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$), et déterminer les coordonnées exactes des points d'inflexion. Vérifier si les résultats obtenus par le calcul confirment précisément les déductions de votre estimation préalable.

Le graphique suivant correspond à la fonction dérivée première, $f'(x)$, d'une fonction continue $f(x)$ définie sur $\mathbb{R}$. À partir de l'information visuelle fournie et en se limitant à la portion représentée, $-2 < x < 2$ :

1. a) Déterminer les intervalles de concavité et de convexité de la fonction initiale $f(x)$.
2. b) Indiquer les abscisses des points d'inflexion de $f(x)$.
3. c) Sachant que $f(0) = 0$, esquisser la courbe de la fonction initiale $f(x)$ en se basant sur sa convexité.