Optimisation de fonctions

Déterminer deux nombres réels positifs dont la somme est exactement $60$ et dont le produit est le plus grand possible.

Sur la figure, le segment de longueur $60$ est partagé en deux parties, $x$ et $y$. Le point de partage est placé n'importe où : il n'indique pas la solution.

Un jeune éleveur dispose de $120$ mètres de clôture pour enclore un enclos rectangulaire destiné au pâturage. Comme l'un des côtés de l'enclos sera un mur en pierre déjà existant, il n'a besoin de clôturer que les trois autres côtés. Calculer les dimensions de l'enclos pour que l'aire enfermée soit maximale.

Marc doit résoudre le problème d'optimisation suivant : « On souhaite construire une boîte ouverte sans couvercle à partir d'une pièce carrée de carton de $30\text{ cm}$ de côté, en découpant quatre carrés identiques de côté $x$ à chacun des coins et en repliant les rabats vers le haut. Déterminer la valeur de $x$ qui maximise le volume de la boîte ».\nMarc écrit dans sa copie :\n1. Volume : $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.\n2. Dérivée : $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 0 \implies x^2 - 20x + 75 = 0$, dont les solutions sont $x = 15$ et $x = 5$.\n3. Conclusion de Marc : « Le volume maximal est obtenu pour $x = 15\text{ cm}$ car $15 > 5$ ».\n\na) Identifier et expliquer les deux erreurs conceptuelles commises par Marc : l'une relative à l'ensemble de définition physique de la variable $x$ et l'autre relative au critère permettant de classer maximums et minimums avec la dérivée.\nb) Corriger l'exercice en suivant les cinq étapes : définir l'ensemble de définition physique admissible, classer correctement les points critiques à l'aide du signe de $V''(x)$ ou de $V'(x)$, puis calculer les dimensions de la boîte et son volume maximal.

On souhaite construire une boîte ouverte (sans couvercle) à partir d'une feuille de carton carrée de $30 \text{ cm}$ de côté. Pour cela, on découpe un carré de côté $x$ à chacun des coins et on replie les bords vers le haut. Exprimer le volume de la boîte en fonction de $x$ et déterminer la valeur de $x$ pour que le volume de la boîte soit maximal.

Une entreprise chimique doit fabriquer des réservoirs cylindriques fermés d'une capacité de $16 \pi$ mètres cubes. Le matériau utilisé pour les bases (supérieure et inférieure) coûte $5$ € le mètre carré, tandis que le matériau de la surface latérale, plus léger, coûte $2$ € le mètre carré. Déterminer le rayon de la base et la hauteur du cylindre qui minimisent le coût total de fabrication de chaque réservoir.

On souhaite concevoir une gélule pour un nouveau médicament, ayant la forme d'un cylindre droit prolongé à ses extrémités par deux demi-boules de même rayon que le cylindre. Pour des raisons de stabilité chimique, le volume total de la gélule doit être exactement de $36\pi \text{ mm}^3$. Le matériau utilisé pour les extrémités hémisphériques est 50 % plus cher par unité de surface que celui utilisé pour la partie cylindrique. Déterminer les dimensions de la gélule (rayon $r$ et longueur de la partie cylindrique $h$) qui minimisent le coût total de fabrication.

Une entreprise technologique a déterminé que le bénéfice mensuel $B$ (en milliers d'euros) réalisé grâce à la vente d'un nouveau modèle d'écouteurs sans fil dépend du nombre d'unités fabriquées $x$ (en centaines) selon la fonction $B(x) = -2x^2 + 32x - 40$.

Déterminer le nombre d'unités à fabriquer chaque mois pour maximiser le bénéfice et calculer la valeur de ce bénéfice maximal.

Une plateforme de streaming analyse sa politique tarifaire pour une nouvelle offre premium. Actuellement, elle compte $10\,000$ abonnés qui paient $12$ € par mois. Une étude de marché indique que pour chaque euro de baisse du prix de l'abonnement, $1\,000$ nouveaux utilisateurs s'abonneront. À l'inverse, pour chaque euro d'augmentation du prix, $1\,000$ utilisateurs seront perdus. Sachant que les coûts fixes de maintenance sont de $20\,000$ € par mois et que chaque abonné génère un coût de gestion de $2$ €, quel prix d'abonnement mensuel maximisera le bénéfice net de la plateforme ?

Une entreprise de logistique construit un entrepôt d'une superficie de $400 \text{ m}^2$. L'entrepôt doit avoir une forme rectangulaire et être divisé en deux secteurs par un mur intérieur parallèle à l'un de ses côtés. Le coût des murs extérieurs est de $120 \text{ €}$ le mètre linéaire, tandis que le mur intérieur, moins résistant, coûte $80 \text{ €}$ le mètre linéaire. Déterminer les dimensions de l'entrepôt pour lesquelles le coût des murs est le plus bas possible.

On lance verticalement vers le haut une petite sonde météorologique. La hauteur $h$ (en mètres) atteinte par la sonde en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par l'expression $h(t) = -5t^2 + 40t + 1,5$.

À quel instant la sonde atteindra-t-elle sa hauteur maximale ? Quelle sera cette hauteur ?

Dans un jeu vidéo de stratégie, une unité d'exploration se trouve au point $A(0 ; 5)$ d'une carte munie d'un repère. Il existe un chemin dont la trajectoire a la forme de la parabole $y = x^2$. Les programmeurs doivent calculer les points exacts du chemin qui se trouvent à la distance minimale de l'unité afin de déclencher un événement de proximité. Déterminer les coordonnées de ces points.

Un drone de surveillance doit se déplacer d'une base située au point $A(0 ; 4)$ jusqu'à un objectif au point $B(10 ; 0)$, les coordonnées étant exprimées en kilomètres. Le terrain est divisé en deux zones par la droite $y = 2$. Dans la zone supérieure ($y > 2$), en raison des conditions de vent, le drone peut voler à une vitesse de $60 \text{ km/h}$. Dans la zone inférieure ($y \leq 2$), le drone peut atteindre $100 \text{ km/h}$. Écrire la fonction qui modélise le temps total du trajet et l'équation qui détermine le point de la droite de séparation par lequel le drone doit passer pour que ce temps soit minimal (il n'est pas nécessaire de la résoudre).