Exercices: Convergence monotone et comparaison

Soit $(u_n)$ une suite croissante telle que, pour tout $n$, $u_n \leq 7$. Que peut-on affirmer sur la convergence de $(u_n)$ ? Que peut-on dire de sa limite $\ell$ ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_n \geq n^2 - 3n$ pour tout $n$. Déterminer $\lim u_n$ en justifiant.

La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $-2$. Peut-elle tendre vers $-3$ ? Justifier.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 6}{2}$ pour tout entier naturel $n$.

1. a) Montrer par récurrence que $0 \leq u_n \leq 6$ pour tout $n$.

1. b) Montrer que $(u_n)$ est croissante.

1. c) En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Soit $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$.

1. a) Montrer que $(u_n)$ est croissante.

1. b) Montrer que, pour $k \geq 2$, $\dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}$, puis que $u_n \leq 2$.

1. c) Conclure sur la convergence de $(u_n)$.

Soit $(u_n)$ définie par $u_n = n + (-1)^n$.

1. a) Montrer que $u_n \geq n - 1$ pour tout $n$.

1. b) En déduire $\lim u_n$.

Démontrer le théorème : si $(u_n)$ est croissante et non majorée, alors $\lim u_n = +\infty$. Puis démontrer que toute suite $(u_n)$ vérifiant $u_n \geq v_n$ à partir d'un certain rang avec $\lim v_n = +\infty$ a pour limite $+\infty$.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$.

1. a) Montrer que $0 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n$ et que $(u_n)$ est croissante.

1. b) Justifier que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ vérifiant $\ell = \sqrt{\ell + 6}$.

1. c) Déterminer $\ell$.

Soit $H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$.

1. a) Montrer que $H_{2n} - H_n \geq \dfrac{1}{2}$ pour tout $n \geq 1$.

1. b) En déduire que $(H_n)$ n'est pas majorée.

1. c) Conclure sur $\lim H_n$.