Exercices: Valeur moyenne et encadrement d'intégrales

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = 2x + 1$ sur $[0;3]$.

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0;2]$.

Sachant que $1 \leq f(x) \leq 3$ sur $[2;6]$, encadrer $\displaystyle\int_2^6 f(x)\,dx$.

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = \sin x$ sur $[0;\pi]$ et sur $[0;2\pi]$.

La température dans une serre de Perpignan, en $°\text{C}$, est modélisée entre $0$ h et $24$ h par $T(t) = 18 - 6\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$.

1. a) Calculer la température moyenne sur une journée.

1. b) Calculer la température moyenne entre $6$ h et $18$ h.

Montrer que, pour tout $x \in [0;1]$, $0 \leq \dfrac{x^2}{1+x} \leq x^2$, puis encadrer $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^2}{1+x}\,dx$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\,dx$.

1. a) Calculer $I_0$.

1. b) Montrer que $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$.

1. c) Montrer que $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ et déterminer $\lim I_n$.

Soit $f(x) = e^{-x^2}$.

1. a) Montrer que, pour tout $x \in [0;1]$, $1 - x^2 \leq e^{-x^2} \leq 1$.

1. b) En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$.

1. c) En déduire un encadrement de la valeur moyenne de $f$ sur $[0;1]$.

Soit $a

1. a) Montrer, à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe $c \in [a;b]$ tel que $f(c) = \mu$.

1. b) Montrer que $\displaystyle\int_a^b (f(x) - \mu)\,dx = 0$.

1. c) Application : $f(x) = x^2$ sur $[0;3]$. Déterminer $\mu$ puis le réel $c$ de la question a).