Exercices: Équations et inéquations trigonométriques

Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$.

Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'inéquation $\cos x \geq 0$.

Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'inéquation $\cos x \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Résoudre dans $[0;2\pi]$ l'équation $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.

Résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l'équation $\sin x = \cos x$ puis l'inéquation $\sin x \geq \cos x$.

Soit $f(x) = 2\cos x - \cos 2x$ sur $[0;2\pi]$.

1. a) Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = -2\sin x\,(1 - 2\cos x)$.

1. b) Dresser le tableau de variations de $f$.

1. c) Déterminer le maximum et le minimum de $f$.

Une échelle de $4$ m de long est posée contre un mur vertical et forme un angle $x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ avec le sol horizontal. L'échelle, le mur et le sol délimitent un triangle rectangle d'hypoténuse $4$ m dont on note $A(x)$ l'aire (en m²).

1. a) Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$ et montrer que $A(x) = 4\sin 2x$.

1. b) Déterminer la valeur de $x$ qui maximise l'aire et la valeur maximale correspondante.

Soit $f(x) = \cos x + \dfrac{1}{2}\cos 2x$ sur $[-\pi;\pi]$.

1. a) Montrer que $f$ est paire et que $f'(x) = -\sin x\,(1 + 2\cos x)$.

1. b) Étudier le signe de $f'$ sur $[0;\pi]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.

1. c) Résoudre $f(x) \geq 0$ sur $[0;\pi]$ (on pourra remarquer que $f(x) = \cos^2 x + \cos x - \dfrac{1}{2}$).