Exercices: Somme de variables aléatoires

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X) = 3$ et $E(Y) = 5$. Calculer $E(X+Y)$ et $E(2X - Y)$.

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 9$. Calculer $V(X+Y)$ et l'écart type de $X+Y$.

On lance $10$ fois un dé équilibré à six faces. Soit $S$ la somme des résultats. Sachant que l'espérance d'un lancer est $3{,}5$, calculer $E(S)$.

Un lancer d'un dé équilibré à six faces a pour variance $\dfrac{35}{12}$. On lance ce dé $12$ fois de façon indépendante et on note $S_{12}$ la somme des résultats et $M_{12}$ leur moyenne.

Calculer $E(S_{12})$, $V(S_{12})$, $E(M_{12})$, $V(M_{12})$.

Une boulangerie de Lyon vend chaque jour un nombre de baguettes d'espérance $240$ et d'écart type $20$, les jours étant supposés indépendants. Soit $S$ le nombre total de baguettes vendues en $7$ jours.

1. a) Calculer $E(S)$ et $V(S)$.

1. b) Calculer l'écart type de $S$ et celui de la moyenne quotidienne $M = S/7$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

1. a) Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

1. b) En écrivant une variable $Y$ de loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ comme somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, déterminer $E(Y)$ et $V(Y)$.

Soit $X$ une variable aléatoire et $a, b$ deux réels. Montrer que $V(aX+b) = a^2V(X)$. En déduire, pour $X_1,\dots,X_n$ indépendantes de même loi d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2$, l'espérance et la variance de $M_n = \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$.

Un ascenseur d'un immeuble de Lille supporte une charge maximale de $600$ kg. Le poids d'un passager est modélisé par une variable aléatoire d'espérance $75$ kg et d'écart type $10$ kg, les passagers étant indépendants. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $S_n$ le poids total de $n$ passagers et $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ leur poids moyen. On pose $S = S_8$.

1. a) Calculer $E(S)$ et $\sigma(S)$.

1. b) Comparer avec le poids moyen de $8$ passagers en calculant l'écart type de $M_8$. Interpréter.

1. c) Calculer la valeur de $n$ pour laquelle $E(S_n) = 600$ et la comparer à $8$.

Soit $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ et $Y = n - X$.

1. a) Quelle est la loi de $Y$ ?

1. b) Montrer que $V(X) = V(Y)$ à l'aide des formules de la loi binomiale.

1. c) Montrer que $V(X) \leq \dfrac{n}{4}$ pour tout $p \in [0;1]$.