Exercices: Succession d'épreuves indépendantes

On lance une pièce équilibrée puis on lance un dé équilibré à six faces. Calculer la probabilité d'obtenir « pile » puis un « 6 ».

Un joueur de basket marque un lancer franc avec la probabilité $0{,}8$. Il tire deux lancers francs indépendants. Calculer la probabilité qu'il réussisse les deux.

On tire successivement avec remise deux boules dans une urne contenant $3$ boules rouges et $7$ boules vertes. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.

Un élève répond à trois questions de QCM indépendantes. Les probabilités de réussite sont respectivement $0{,}9$, $0{,}7$ et $0{,}5$.

1. a) Calculer la probabilité de réussir les trois questions.

1. b) Calculer la probabilité de réussir exactement une question.

Une urne $U_1$ contient $2$ boules blanches et $3$ noires, une urne $U_2$ contient $4$ blanches et $1$ noire. On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule dans cette urne.

1. a) Représenter la situation par un arbre pondéré.

1. b) Calculer la probabilité de tirer une boule blanche.

1. c) Sachant que la boule est blanche, calculer la probabilité qu'elle provienne de $U_1$.

Une machine d'un atelier de Nantes fabrique des pièces. Un contrôle comporte deux tests indépendants : le premier est réussi avec la probabilité $0{,}95$, le second avec $0{,}9$. Une pièce est acceptée si elle réussit au moins un test.

Calculer la probabilité qu'une pièce soit acceptée.

Deux joueurs, Amel et Bastien, lancent chacun à tour de rôle un dé équilibré, Amel commençant. Le premier qui obtient un « 6 » gagne.

1. a) Calculer la probabilité qu'Amel gagne au $k$-ième de ses lancers.

1. b) En déduire la probabilité qu'Amel gagne la partie.

Un test de dépistage est effectué sur une population où $1\ \%$ des personnes sont malades. Le test est positif pour $98\ \%$ des malades et pour $3\ \%$ des personnes saines.

1. a) Calculer la probabilité qu'un test soit positif.

1. b) Calculer la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif.

1. c) On répète indépendamment deux tests sur la même personne, de façon indépendante conditionnellement à son état. Calculer la probabilité qu'elle soit malade sachant que les deux tests sont positifs.

On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont la probabilité de succès est $p = 0{,}2$.

1. a) Exprimer en fonction de $n$ la probabilité d'obtenir au moins un succès.

1. b) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que cette probabilité soit supérieure ou égale à $0{,}99$.

1. c) Pour $n = 5$, calculer la probabilité d'avoir exactement deux succès, puis comparer avec la probabilité d'en avoir au plus un.