Exercices: Vocabulaire ensembliste et logique

Soit $A = \{1,2,3\}$ et $B = \{a, b\}$. Écrire $A \times B$ et donner son cardinal.

Énoncer la réciproque et la contraposée de l'implication : « si un entier est divisible par $6$, alors il est pair ». Préciser lesquelles sont vraies.

Donner un contre-exemple à l'affirmation : « pour tout réel $x$, $x^2 \geq x$ ».

Soit $A = \{1,2,3,4,5,6\}$, $B = \{2,4,6,8\}$ et $C = \{3,6,9\}$.

1. a) Déterminer $A \cap B$, $A \cup C$ et $B \setminus C$.

1. b) Déterminer $(A\cap B)\cap C$ et le cardinal de $A \cup B \cup C$.

Pour un entier $n$, on considère les propositions $P$ : « $n$ est divisible par $4$ » et $Q$ : « $n$ est pair ».

1. a) $P$ est-elle condition nécessaire, suffisante, ou nécessaire et suffisante pour $Q$ ?

1. b) Écrire la contraposée de $P \Rightarrow Q$.

1. c) Donner un contre-exemple à la réciproque.

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Soit $n$ un entier naturel.

1. a) Montrer par contraposée que, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

1. b) Montrer que, si $n^2$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un multiple de $3$.

1. c) En déduire que $\sqrt{3}$ est irrationnel.

Montrer par l'absurde qu'il existe une infinité de nombres premiers. On supposera qu'il n'en existe qu'un nombre fini $p_1,\dots,p_k$ et on considérera $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant par une démonstration ou un contre-exemple, puis écrire sa négation. Pour l'implication a), écrire également sa réciproque et sa contraposée.

1. a) « Pour tous réels $a$ et $b$, si $a < b$ alors $a^2 < b^2$ ».

1. b) « Il existe un réel $x$ tel que $x^2 + x + 1 = 0$ ».

1. c) « Pour tout entier $n$, $n^2 + n + 41$ est premier ».