Exercices: Équations $y'=ay+b$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$.

Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $y' = -2y$ vérifiant $f(0) = 5$.

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 2y + 6$.

1. a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = -0{,}5y + 3$.

1. b) Déterminer la solution $f$ vérifiant $f(0) = 1$ et calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.

À l'instant $t = 0$, un café à $90\ °\text{C}$ est posé dans une pièce de $20\ °\text{C}$. Sa température $T(t)$, en $°\text{C}$, à l'instant $t$ (en minutes) vérifie $T'(t) = -0{,}08\,(T(t) - 20)$.

1. a) Déterminer $T(t)$.

1. b) Au bout de combien de minutes, arrondi à la minute, le café atteint-il $50\ °\text{C}$ ?

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = y + 2x$ en cherchant une solution particulière de la forme $x \mapsto \alpha x + \beta$, puis déterminer la solution vérifiant $y(0) = 0$.

Soit $a$ un réel non nul. Montrer que les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = ay$ sont exactement les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$. On pourra considérer, pour une solution $f$, la fonction $g : x \mapsto f(x)e^{-ax}$.

Une cuve de $1\,000$ L contient de l'eau salée à $10$ g/L. On y introduit de l'eau salée à $2$ g/L au débit de $20$ L/min, et on évacue le mélange (supposé homogène) au même débit. La masse de sel $m(t)$, en g, vérifie $m'(t) = 40 - 0{,}02\,m(t)$.

1. a) Résoudre cette équation avec la condition initiale adaptée.

1. b) Déterminer la limite de la concentration en sel quand $t \to +\infty$.

1. c) Au bout de combien de minutes la concentration est-elle inférieure à $3$ g/L ?

On considère l'équation $(E) : y' = -y + e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.

1. a) Vérifier que $x \mapsto xe^{-x}$ est solution de $(E)$.

1. b) Résoudre l'équation homogène $y' = -y$ puis en déduire toutes les solutions de $(E)$.

1. c) Déterminer la solution $f$ telle que $f(0) = 2$, étudier ses variations et sa limite en $+\infty$.