Exercices: Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'intégrales par les primitives

Un panneau solaire thermique a une conception dont la section transversale supérieure est délimitée par la fonction $f(x) = 3x^2 + 2$, où $x$ est mesuré en mètres. Calculer la valeur de l'intégrale sur l'intervalle $[0\,;\,2]$ en utilisant une primitive.

Soit une fonction $f(x)$ continue sur l'intervalle $[1\,;\,8]$. On connaît les valeurs des intégrales suivantes :

• $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$

• $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$

Utiliser les propriétés de l'intégrale pour calculer la valeur de $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.

Un programmeur de jeux vidéo conçoit la trajectoire d'un projectile. La vitesse de l'objet en fonction du temps $t$ est donnée par l'expression $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$.

Appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour déterminer l'expression de l'accélération instantanée $a(t)$, sachant que l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps ($a(t) = v'(t)$).

Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = \sin(x)$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = \pi$. Esquisser le domaine avant d'appliquer la formule fondamentale du calcul intégral.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Déterminer la valeur de la dérivée de la fonction définie par l'intégrale suivante au point $x = 2$ :

$$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$

Expliquer quel théorème vous utilisez pour résoudre le problème sans calculer de primitive.

La consommation électrique d'un logement durant la première heure de la matinée est modélisée par la fonction $f(x) = e^x + x$, où $x$ est le temps en heures. Calculer la consommation totale accumulée, représentée par l'intégrale :

$$\int_{0}^{1} (e^x + x) \, dx$$

Sans effectuer de calcul d'intégrale complexe, justifier que la valeur de l'intégrale suivante est égale à $0$, en s'appuyant sur les propriétés des fonctions impaires et la symétrie de l'intervalle :

$$\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^3 - x) \, dx$$

La figure montre la courbe représentative de $f(x)=x^5+3x^3-x$ sur l'intervalle $[-2\,;\,2]$, avec les régions comprises entre la courbe et l'axe $X$ colorées.

Déterminer l'aire de la région délimitée par la courbe $f(x) = x^2 - 4$ et l'axe $OX$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$. Rappel : si la fonction est négative sur l'intervalle, l'aire correspond à la valeur absolue de l'intégrale.

Lors d'un devoir de terminale, on demande de calculer la dérivée de la fonction $F(x) = \int_2^{x^3} \sqrt{t^2 + 5}\,dt$ au point $x = 1$. Irène présente la résolution suivante :

« D'après le théorème fondamental de l'analyse, la dérivée d'une intégrale est la fonction qui est à l'intérieur évaluée à la borne supérieure, donc $F'(x) = \sqrt{(x^3)^2 + 5} = \sqrt{x^6 + 5}$. En remplaçant $x$ par $1$, on obtient $F'(1) = \sqrt{1^6 + 5} = \sqrt{6}$ ».

1. a) Relever l'erreur conceptuelle commise par Irène et expliquer quelle règle ou quel théorème elle a omis d'appliquer.
2. b) Énoncer la version du théorème fondamental de l'analyse qu'il faut appliquer lorsque la borne supérieure d'intégration est une fonction dérivable $g(x)$.
3. c) Corriger l'exercice en calculant la valeur exacte et simplifiée de $F'(1)$.

On considère la fonction $f(x) = 4 - x^2$ définie sur l'intervalle $[0 ; 2]$. On souhaite calculer la valeur de l'intégrale $I = \int_0^2 (4 - x^2)\,dx$.

1. a) Avant de calculer une primitive, encadrer en justifiant la valeur de l'intégrale : justifier géométriquement pourquoi $I$ doit être strictement inférieure à l'aire du rectangle de sommets $(0 ; 0)$, $(2 ; 0)$, $(2 ; 4)$ et $(0 ; 4)$ (aire 8) et strictement supérieure à l'aire du triangle de sommets $(0 ; 0)$, $(2 ; 0)$ et $(0 ; 4)$ (aire 4). À partir de cela, formuler une estimation numérique raisonnable de la valeur de $I$.
2. b) Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$ à l'aide d'une primitive, en précisant le choix de la primitive employée.
3. c) Vérifier si le résultat exact obtenu est cohérent avec votre estimation et expliquer pourquoi, dans ce cas, la valeur de l'intégrale coïncide exactement avec l'aire géométrique délimitée par la courbe de $f$ et l'axe des abscisses.

Soit la fonction $f(x) = |x^2 - 2x|$. Calculer la valeur de l'intégrale sur l'intervalle $[0, 3]$ à l'aide des primitives :

$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$

Expliquer brièvement pourquoi il est nécessaire de découper l'intervalle d'intégration pour résoudre cet exercice.

Calculer la fonction dérivée $F'(x)$ de la fonction définie par l'intégrale suivante à l'aide du théorème fondamental de l'analyse et de la dérivée d'une fonction composée :

$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$

Indiquer l'ensemble de définition de la fonction $F(x)$ pour que l'intégrale soit bien définie.

Déterminer la valeur du paramètre réel positif $a$ sachant que l'aire délimitée par la courbe $f(x) = 3x^2$, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = a$ est exactement égale à 27 unités d'aire. Utiliser pour cela les primitives.

Soit la fonction $G(x)$ définie par :

$$G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{t} \, dt$$

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $G(x)$ au point d'abscisse $x = 0$.

Remarque : n'oubliez pas que, pour trouver l'ordonnée du point de tangence, il faut calculer $G(0)$ et que, pour le coefficient directeur, il faut appliquer le théorème fondamental de l'analyse.

La vitesse d'un prototype de véhicule électrique pendant les 4 premières secondes d'un essai est donnée par la fonction $v(t) = t^2 - 3t + 4$ (en m/s).

1. a) Calculer la distance totale parcourue par le véhicule entre les instants $t = 1$ s et $t = 3$ s en appliquant la formule fondamentale du calcul intégral (avec une primitive).
2. b) Justifier si le véhicule s'arrête à un moment donné durant cet intervalle.

Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f(x) = \sqrt{x+1}$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$ et déterminer le point $c \in \,]0 ; 3[$ dont l'existence est garantie par le théorème de la moyenne. Interpréter géométriquement le résultat.

Soit la fonction définie par une intégrale $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$ :

1. a) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de $H(x)$.
2. b) Déterminer les coordonnées des extremums locaux (maximums ou minimums) de $H(x)$ et les classer.

Calculer la valeur de l'intégrale de la fonction définie par morceaux suivante sur l'intervalle $[0\,;\,2]$ :

$$f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ \frac{e^2}{x} & \text{si } 1 < x \le 2 \end{cases}$$

Vérifier au préalable que la fonction est continue en $x = 1$ pour s'assurer qu'elle est intégrable.

Soit la fonction $F(x) = \int_1^x (t^2 - 2t)\cdot e^t\,dt$, définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. On demande d'étudier ses intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que de classer ses extremums locaux.

Pour aborder l'exercice, deux élèves proposent des démarches différentes :

• Xavier propose de déterminer d'abord une primitive explicite de $(t^2 - 2t)e^t$ en appliquant deux fois l'intégration par parties, d'utiliser la formule fondamentale du calcul intégral pour obtenir une expression algébrique de $F(x)$ sans intégrale, puis de dériver la fonction obtenue.

• Sophie propose d'appliquer directement le théorème fondamental de l'analyse pour obtenir $F'(x)$ sans calculer aucune primitive au préalable.

1. a) Évaluer les deux démarches : sont-elles toutes deux mathématiquement valides ? Justifier laquelle est nettement plus efficace dans ce contexte.
2. b) En suivant la méthode la plus avantageuse, déterminer la fonction dérivée $F'(x)$ et identifier tous ses points critiques.
3. c) Étudier le signe de $F'(x)$ pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de $F$, et classer, en justifiant, chaque point critique en maximum ou minimum local.

Météo-France enregistre l'intensité des précipitations nettes qui alimentent une retenue d'eau lors d'une dépression de 6 heures au moyen de la fonction de débit net $c(t) = 6t - t^2$ (exprimée en hectomètres cubes par heure, $\text{hm}^3/\text{h}$), où $t \in [0\,;\,6]$ est le temps en heures écoulé depuis le début de la tempête. Le volume net accumulé dans la retenue est modélisé par $V(t) = \int_0^t c(u)\,du$.

1. a) Interpréter la signification physique et mathématique de $V'(t)$ à partir du théorème fondamental de l'analyse. À quel instant l'eau entre-t-elle dans la retenue le plus rapidement ?
2. b) À partir du signe de $V'(t)$, justifier sur quel intervalle de temps le volume d'eau ajouté $V(t)$ est croissant et à quel instant il atteint sa valeur maximale sur l'intervalle $[0\,;\,6]$.
3. c) Utiliser la formule fondamentale du calcul intégral pour calculer le volume total d'eau (en $\text{hm}^3$) apporté à la retenue par la dépression au bout des 6 heures.

Soit la fonction $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ définie pour $t > 0$. On définit une nouvelle fonction $G(x)$ par :

$$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$

1. a) En appliquant le théorème fondamental de l'analyse et la dérivée d'une fonction composée, déterminer l'expression de la dérivée $G'(x)$.
2. b) Déterminer les intervalles sur lesquels $G(x)$ est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante sur son ensemble de définition.
3. c) Déterminer la valeur de $x > 1$ pour laquelle la fonction $G(x)$ admet un maximum local.

Calculer la valeur de la limite suivante à l'aide de la règle de L'Hôpital et du théorème fondamental de l'analyse :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \left( e^{t^2} - 1 \right) \, dt}{x^6}$$

Expliquer chaque étape en justifiant la dérivation de la fonction définie par l'intégrale.

Une équipe d'ingénieurs conçoit la trajectoire d'un drone de course. La vitesse verticale du drone sur l'intervalle de temps $[0, 4]$ secondes est donnée par la fonction $v(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + z^4} \, dz$.

1. a) Sans calculer explicitement l'intégrale, justifier pourquoi le drone est toujours en train de monter ou reste à la même altitude.
2. b) Calculer l'accélération verticale du drone à l'instant $t = 1$ seconde.
3. c) À quel instant l'accélération verticale est-elle maximale ? Justifier en étudiant la dérivée seconde de la position.

Soit la fonction $f(x) = x^2 - 4$. On considère la fonction définie par l'intégrale $H(x) = \int_{0}^{x} |f(t)| \, dt$.

1. a) Exprimer $H(x)$ comme une fonction définie par morceaux pour les valeurs de $x \in [0, 5]$.
2. b) Étudier la dérivabilité de $H(x)$ au point $x = 2$. Le théorème fondamental de l'analyse est-il directement applicable en ce point ?
3. c) Utiliser les primitives pour calculer la valeur exacte de $H(3)$.

Soit $f(x)$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$. Déterminer la valeur de la constante $k$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée, sachant que l'aire sous la courbe de gauche a été translatée et dilatée :

$$\int_{0}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2 - 1) \, dx = k$$

Utiliser le changement de variable dans les intégrales pour les relier à la donnée initiale.

Le logo d'une nouvelle marque de vêtements urbains est délimité par les courbes des fonctions $f(x) = \sin(\pi x)$ et $g(x) = ax$, avec $a > 0$, dans le premier quadrant.

1. a) Déterminer la valeur de $a$ pour que la droite $y = ax$ passe par le maximum local de la fonction $f(x)$ sur l'intervalle $[0, 1]$.
2. b) Pour la valeur de $a$ trouvée, calculer à l'aide des primitives l'aire de la région délimitée par les deux courbes.

Soit la fonction définie par l'intégrale $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t - 1}{e^t + 1} \, dt$.

1. a) Déterminer les points critiques de $F(x)$ et les classer à l'aide du signe de la dérivée première.
2. b) Étudier la convexité de $F(x)$ et déterminer si elle admet des points d'inflexion.
3. c) Existe-t-il une valeur de $x$ pour laquelle $F(x)$ soit négatif ? Justifier en se basant sur le signe de la fonction à intégrer et sur les bornes d'intégration.

Soit la fonction définie par l'intégrale $L(x) = \int_{1}^{x} \frac{\sqrt{1 + t^3}}{t} \, dt$ pour $x \geq 1$.

1. a) Démontrer que $L(x)$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.
2. b) On sait que la courbe de $L(x)$ admet une tangente au point d'abscisse $x = 2$ dont l'équation est $y = mx + n$. Calculer la valeur du coefficient directeur $m$.
3. c) Déterminer le taux de variation du coefficient directeur (dérivée seconde) en ce même point.

Une fonction continue $f: ]0 ; +\infty[ \to \mathbb{R}$ vérifie, pour tout nombre réel $x > 0$, l'équation intégrale suivante :

$$\int_1^{x^2} f(t)\,dt = 4x^3 - 4x$$

1. a) En appliquant le théorème fondamental de l'analyse et la dérivée d'une fonction composée, dériver les deux membres par rapport à $x$ et obtenir une relation algébrique entre $f(x^2)$ et la variable $x$.
2. b) À partir de cette relation, déduire l'expression explicite de $f(x)$ pour tout $x > 0$ et calculer en justifiant la valeur de $f(4)$.
3. c) À l'aide d'une primitive de votre expression de $f$, calculer $\int_1^4 f(t)\,dt$ et vérifier que le résultat coïncide avec la valeur prévue par l'équation intégrale initiale évaluée en $x = 2$.
4. d) Justifier rigoureusement, en s'appuyant sur le signe de $f(t)$ ou sur le sens de variation de la fonction définie par l'intégrale, s'il existe une autre valeur $c > 0$ avec $c \neq 1$ telle que $\int_1^c f(t)\,dt = 0$.

On souhaite calculer la limite indéterminée suivante :

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{x - \int_0^x \frac{1}{1 + t^4}\,dt}{x^5}$$

Deux élèves envisagent des stratégies de résolution différentes :

• David essaie d'abord de calculer la primitive $\int \frac{1}{1 + t^4}\,dt$ en décomposant le dénominateur en facteurs du second degré irréductibles dans ℝ pour appliquer ensuite le calcul d'intégrale par les primitives.

• Hélène affirme qu'il n'est pas nécessaire d'obtenir une primitive élémentaire et que la limite peut se calculer directement en combinant la règle de L'Hôpital avec le théorème fondamental de l'analyse.

1. a) Expliquer pourquoi la méthode de David est déconseillée et irréalisable dans le temps imparti d'une épreuve écrite, et justifier rigoureusement si la méthode d'Hélène est applicable en vérifiant les hypothèses du théorème fondamental de l'analyse et de la règle de L'Hôpital.
2. b) Calculer la limite $L$ en appliquant la méthode d'Hélène.
3. c) On considère la fonction $F(x) = \int_0^x \frac{1}{1 + t^4}\,dt$. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $F$ au point d'abscisse $x = 0$. À l'aide de la valeur de la limite obtenue à la question b), déterminer en justifiant la position relative de la courbe $y = F(x)$ par rapport à cette tangente au voisinage de $x = 0$ (en distinguant $x > 0$ et $x < 0$).