Exercices: Arrangements

Dans une course de $100\text{ m}$ plat, $8$ athlètes sont engagés. De combien de façons différentes peut-on attribuer les médailles d'or, d'argent et de bronze, sachant qu'il ne peut pas y avoir d'ex æquo ?

On lance un dé cubique classique à $6$ faces $4$ fois de suite et on note le résultat de chaque lancer dans l'ordre. Combien de résultats distincts peut-on obtenir au total ?

Cinq amis vont au cinéma et trouvent une rangée de $4$ fauteuils libres consécutifs. De combien de façons différentes peuvent-ils s'asseoir pour regarder le film ?

On lance une pièce de monnaie $6$ fois de suite et on note la séquence exacte de « pile » et « face » obtenue. Combien de séquences distinctes peut-on former ?

Dans une galerie d'art, on va exposer $2$ tableaux choisis parmi une collection privée de $7$ œuvres. L'un sera placé sur le mur de gauche de la salle et l'autre sur le mur de droite. De combien de façons différentes peut-on organiser cette exposition ?

On veut peindre $3$ boîtes aux lettres alignées dans une rue. On dispose de $4$ couleurs différentes (rouge, vert, bleu et jaune). Si l'on peut répéter les couleurs sur des boîtes différentes, de combien de façons différentes peut-on les peindre ?

Un club de lecture compte $9$ membres. Il doit élire un bureau composé d'un président, d'un vice-président et d'un secrétaire. Comme les postes sont différents et que chaque personne ne peut en occuper qu'un seul, de combien de façons peut-on former le bureau ?

Un QCM comporte $5$ questions. Chaque question propose $3$ réponses possibles (A, B et C), dont une seule peut être cochée. Si un élève répond à toutes les questions, de combien de façons différentes peut-il remplir le QCM ?

Pour accéder au casier de la salle de sport du lycée, Lucie doit configurer un code secret de $3$ chiffres distincts choisis exclusivement parmi les nombres premiers inférieurs à $10$, c'est-à-dire dans l'ensemble $\{2, 3, 5, 7\}$. Son camarade Mathis affirme : « Comme l'ordre des chiffres compte et que l'on dispose de $4$ éléments pour former des groupes de $3$, le nombre total de codes possibles est $4^3 = 64$ ».

1. a) Trouver l'erreur conceptuelle commise par Mathis et expliquer clairement quelle condition de l'énoncé il a ignorée.
2. b) Corriger son raisonnement en déterminant la formule adéquate et calculer le nombre réel de codes distincts que Lucie peut programmer.

Dans une classe de seconde de $25$ élèves, on va élire les délégués de la classe pour l'année, avec trois postes distincts : délégué, suppléant et secrétaire. Un même élève ne peut pas occuper plus d'un poste.

1. a) Sans effectuer le calcul détaillé avec la formule, estimer en justifiant si le nombre total de bureaux possibles sera plus proche de $1\,000$, de $15\,000$ ou de $100\,000$. Justifier brièvement l'arrondi ou l'approximation mentale utilisée.
2. b) Modéliser la situation en calculant la valeur exacte à l'aide de la formule de dénombrement adéquate. Vérifier si le résultat confirme votre estimation et expliquer pourquoi l'ordre du choix est déterminant dans cette répartition.

Le système d'immatriculation d'un pays est constitué d'un bloc de $4$ chiffres (de $0$ à $9$) suivi d'un bloc de $2$ lettres choisies dans un alphabet de $20$ consonnes. Dans les deux blocs, la répétition des caractères est autorisée. Combien de plaques d'immatriculation distinctes peut-on délivrer au total avec ce format ?

À l'aide des chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, combien de nombres pairs à $3$ chiffres peut-on former si l'on n'a pas le droit de répéter un chiffre dans un même nombre ?

En informatique, un octet est une séquence de $8$ bits (chaque bit pouvant valoir $0$ ou $1$). Combien d'octets différents commencent exactement par la séquence $10$ ?

Une entreprise compte $8$ employés et doit attribuer $5$ tâches différentes à $5$ employés distincts (une tâche par personne). Sachant que la première tâche doit obligatoirement être réalisée par l'employé le plus ancien, de combien de façons peut-on répartir les tâches ?

Combien de nombres de $4$ chiffres peut-on former avec les chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (les chiffres pouvant se répéter) qui soient strictement supérieurs à $3000$ ?

Dans un championnat de basket-ball, $14$ équipes sont engagées. Chaque équipe doit jouer deux fois contre toutes les autres au cours de l'année (un match à domicile et un match à l'extérieur). Combien de matchs seront joués au total pendant toute la saison ?

Un antivol de vélo possède $3$ molettes indépendantes, numérotées chacune de $0$ à $9$. Calculer la différence entre le nombre total de combinaisons possibles (avec répétition) et le nombre de combinaisons dans lesquelles les trois chiffres sont strictement distincts.

Dans le code Morse, les lettres sont représentées par des séquences de points et de traits. Combien de signaux distincts peut-on former en utilisant au plus $3$ symboles par signal ?

Météo-France utilise des codes d'identification pour répertorier ses stations automatiques en France. Chaque code est constitué d'une lettre initiale qui identifie le bassin hydrographique ($8$ lettres possibles : B, C, D, E, M, N, S ou V) suivie d'un bloc de $4$ chiffres.

1. a) Si les $4$ chiffres sont choisis de $0$ à $9$ et peuvent se répéter sans restriction, combien de codes de station différents peut-on générer pour un même bassin hydrographique ? Et pour l'ensemble des $8$ bassins ?
2. b) Pour un réseau spécial de haute montagne, on décide que les $4$ chiffres doivent être tous distincts et qu'aucun ne peut être le zéro. Justifier si ce nouveau bloc numérique se modélise avec des arrangements sans répétition ou avec répétition, et calculer combien de codes distincts restent disponibles par bassin selon ce critère.

Le service informatique d'un établissement scolaire crée des identifiants d'accès temporaires pour les élèves. Les codes sont générés en ordonnant $k$ chiffres distincts pris dans l'ensemble des nombres impairs $\{1, 3, 5, 7, 9\}$, sans répéter aucun chiffre au sein d'un même code.

1. a) Si le serveur a enregistré exactement $60$ identifiants possibles au total, poser une équation à l'aide de la définition de l'arrangement sans répétition, dans laquelle l'inconnue est la longueur $k$ du code, et déterminer sa valeur en justifiant.
2. b) Si les règles de sécurité changeaient et qu'on autorisait désormais la répétition des chiffres en conservant la même longueur $k$ trouvée à la question précédente, combien de codes pourrait-on créer au total ? Comparer les deux résultats en calculant combien d'identifiants supplémentaires on obtient et expliquer pourquoi la répétition augmente le nombre de possibilités.

Dans un tournoi d'échecs, on joue en match aller-retour (chaque joueur affronte tous les autres deux fois, en alternant la couleur des pièces). Sachant qu'au total $90$ parties ont été disputées, poser l'équation correspondante à l'aide de la formule des arrangements et déterminer combien de joueurs ont participé au tournoi.

Combien de nombres de $4$ chiffres distincts peut-on former en utilisant uniquement les chiffres $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ? On tiendra compte du fait que, par définition, un nombre valide ne peut pas commencer par le chiffre $0$.

Un nombre palindrome est un nombre qui se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche (par exemple $35853$). Combien de nombres palindromes de $5$ chiffres peut-on former en utilisant uniquement les chiffres de $1$ à $9$ ?

Pour accéder à une base de données sécurisée, un mot de passe de $5$ caractères est requis. Par sécurité, le système exige que les deux premiers caractères soient des voyelles (la répétition est permise) et que les trois derniers caractères soient des chiffres de $0$ à $9$ (sans qu'aucun ne se répète). Combien de mots de passe distincts respectent ce format ?

Une classe est composée de $6$ garçons et $5$ filles. On veut choisir un comité composé d'un président, d'un vice-président et d'un secrétaire. La présidence doit obligatoirement être occupée par une fille, la vice-présidence par un garçon, et le secrétariat peut être occupé par n'importe lequel des élèves restants. De combien de façons peut-on choisir le comité ?

On veut concevoir un drapeau à $4$ bandes verticales. On dispose de $5$ couleurs différentes. De combien de façons peut-on colorier le drapeau si la seule condition est que deux bandes adjacentes (côte à côte) ne peuvent pas avoir la même couleur ?

Sachant que le nombre d'arrangements avec répétition de $x$ éléments pris $2$ à $2$ dépasse de $12$ le nombre d'arrangements sans répétition des mêmes $x$ éléments pris $2$ à $2$, poser l'équation correspondante et déterminer la valeur de $x$.

Cinq personnes montent dans une voiture de train où il y a $8$ places libres. Deux de ces personnes forment un couple et veulent absolument s'asseoir sur deux sièges contigus précis, situés côté fenêtre. Sachant que, pour le couple, il importe de savoir qui s'assoit côté fenêtre et qui côté couloir, de combien de façons différentes les cinq personnes peuvent-elles occuper les places ?

On veut former des nombres de $4$ chiffres distincts en utilisant uniquement les chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, avec la condition indispensable que le nombre obtenu soit pair. Deux élèves débattent de la meilleure stratégie pour les dénombrer :

• Stratégie de Serge (méthode directe) : « On fixe d'abord le dernier chiffre, qui doit être pair ($\{2, 4, 6\}$), puis on complète les $3$ autres positions en choisissant et en ordonnant des chiffres parmi les $6$ restants ».

• Stratégie d'Alice (méthode complémentaire) : « On calcule tous les nombres possibles de $4$ chiffres distincts sans restriction et on retranche ceux qui se terminent par un chiffre impair ».

1. a) Développer entièrement les deux méthodes en appliquant les formules d'arrangements correspondantes et vérifier qu'on obtient exactement le même nombre total.
2. b) Si l'on ajoutait une seconde contrainte simultanée : « le nombre doit être pair et de plus supérieur à $5\,000$ », analyser en justifiant laquelle des deux méthodes serait la plus adaptée et décrire les difficultés supplémentaires que poserait la méthode écartée.

Dans la Ligue de débat d'une région, les établissements présentent des équipes formées initialement de $n$ orateurs. La compétition comporte deux phases avec une attribution des rôles différente :

• En phase locale, chaque établissement doit sélectionner $2$ de ses $n$ orateurs pour tenir des rôles spécifiques et distincts : « orateur d'ouverture » et « orateur de conclusion ».

• En phase régionale, l'organisation permet d'agrandir l'équipe de l'établissement en y ajoutant $2$ orateurs supplémentaires ($n+2$ orateurs au total), et il faut pourvoir $3$ rôles distincts : « ouverture », « réfutation » et « conclusion », sans qu'un élève puisse assumer plus d'un rôle.

L'organisation constate que le nombre de triplets possibles d'orateurs pour la phase régionale est exactement $12$ fois le nombre de couples possibles de la phase locale.

1. a) Modéliser la situation en posant une équation algébrique reliant les deux phases à l'aide de la formule des arrangements sans répétition.
2. b) Résoudre l'équation en simplifiant les expressions factorielles et obtenir les valeurs possibles de $n$.
3. c) Sachant que le règlement exige que, pour la phase locale, l'équipe compte au moins $3$ orateurs afin de garantir des remplacements ($n \ge 3$), déterminer en justifiant le nombre $n$ d'orateurs initiaux et vérifier que la solution satisfait la condition théorique $k \le n$ dans les deux phases.