Exercices: Permutations

Calculer la valeur numérique des expressions suivantes avec des factorielles : $\frac{8!}{5! \cdot 3!}$ et $\frac{12!}{10!}$.

Un groupe de $6$ amis va au théâtre et achète des places côte à côte dans la même rangée. De combien de façons différentes peuvent-ils s'asseoir pour profiter de la pièce ?

Combien de mots distincts, qu'ils aient un sens ou non dans le dictionnaire, peut-on former en ordonnant toutes les lettres du mot « MUNDO » ?

Dans une galerie d'art, on va exposer $5$ tableaux d'un artiste local en les accrochant en ligne droite sur un mur principal. De combien de façons différentes peut-on ordonner les œuvres ?

Lors d'une compétition d'athlétisme scolaire, $7$ coureurs franchissent la ligne d'arrivée sans qu'il y ait d'ex æquo. Combien de classements distincts peut-on obtenir à la fin de la course ?

Un festival de musique a programmé les concerts de $4$ groupes de rock pour la soirée du samedi. De combien de façons peut-on organiser l'ordre dans lequel ils monteront sur scène ?

Pour configurer un mot de passe sécurisé, une application exige d'utiliser exactement les caractères $A, B, C, 1, 2$, sans en répéter aucun. Combien de mots de passe distincts peut-on créer dans le système ?

Simplifier l'expression littérale suivante faisant intervenir des factorielles, en exprimant le résultat sous sa forme la plus réduite : $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Marc veut calculer combien de mots distincts, qu'ils aient un sens ou non, on peut former en ordonnant toutes les lettres du mot « PATATA ». Dans son devoir, il écrit :

« Comme le mot a 6 lettres, il y a $6! = 720$ ordonnances. Mais comme la lettre A se répète 3 fois et la lettre T se répète 2 fois, je les retranche du total : $6! - 3! - 2! = 720 - 6 - 2 = 712$ mots possibles ».

Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marc, expliquer avec vos propres mots pourquoi soustraire des factorielles n'a pas de sens dans ce contexte de dénombrement, et calculer la solution correcte en appliquant et en justifiant la formule adaptée.

Quatre amis vont goûter dans un café du centre-ville. Ils hésitent entre s'asseoir à un comptoir avec 4 tabourets alignés ou à une table ronde de 4 places où seule compte la position relative des uns par rapport aux autres (qui est à gauche ou à droite de qui).

1. a) Avant d'appliquer toute formule, estimer en justifiant laquelle des deux situations offrira le plus grand nombre de dispositions distinctes et prévoir quelle relation approximative existera entre les deux résultats.
2. b) Calculer de façon exacte le nombre de dispositions au comptoir ($P_4$) et à la table ronde ($PC_4$).
3. c) Vérifier si le calcul confirme votre estimation initiale et expliquer pourquoi le fait de fixer une personne comme référence à la table réduit le total de dispositions exactement de ce facteur.

Cinq amis vont au cinéma et s'assoient sur des fauteuils contigus. Deux d'entre eux, Amina et Hugo, veulent s'asseoir côte à côte pour partager le pop-corn. De combien de façons les cinq amis peuvent-ils s'installer en respectant toujours cette condition ?

Un bateau communique avec d'autres navires au moyen de pavillons de couleur hissés verticalement sur un mât. S'il dispose de $3$ pavillons rouges, $2$ pavillons bleus et $1$ pavillon jaune, tous de la même taille, combien de signaux distincts peut-il envoyer en utilisant tous les pavillons à la fois ?

Une famille de $6$ membres s'assoit pour dîner autour d'une table ronde dans un restaurant. De combien de façons distinctes peuvent-ils se placer si seule compte la position relative des uns par rapport aux autres et non la chaise exacte qu'ils occupent dans la salle ?

Combien de mots différents, qu'ils aient un sens ou non, peut-on former en utilisant toutes les lettres du mot « CAMPANA » ?

Dans la finale d'une course de natation des Jeux olympiques, $8$ nageurs participent. Si l'on sait avec certitude quel nageur a remporté la médaille d'or et lequel est arrivé dernier à cause d'une blessure, de combien de façons distinctes les autres participants ont-ils pu se classer aux positions intermédiaires ?

Sur le plan d'une ville dont les rues forment un quadrillage, un livreur à vélo doit aller du point $A$ au point $B$ en se déplaçant uniquement vers la droite et vers le haut. Combien de chemins différents de longueur minimale peut-il emprunter pour effectuer la livraison ?

Un ingénieur informaticien veut former des codes numériques à six chiffres en utilisant exactement les chiffres suivants dans chaque code : $2, 2, 3, 3, 3, 4$. Combien de codes distincts le système peut-il programmer ?

Un groupe formé de $3$ garçons et $3$ filles va s'asseoir sur une rangée de $6$ fauteuils pour assister à un concert. De combien de façons peuvent-ils le faire s'ils doivent s'asseoir de sorte que les sexes soient strictement alternés (garçon-fille-garçon… ou fille-garçon-fille…) ?

Une camionnette de livraison de La Poste doit circuler sur le plan en quadrillage d'un quartier de Lyon. Elle part d'un entrepôt et doit rejoindre un point de livraison situé à 4 pâtés de maisons vers l'est et 3 pâtés de maisons vers le nord. La camionnette suit toujours des trajets de longueur minimale, en se déplaçant exclusivement vers l'est ($E$) ou vers le nord ($N$) à chaque tronçon.

1. a) Modéliser cette situation à l'aide de permutations avec répétition en justifiant pourquoi chaque itinéraire possible équivaut à une séquence de lettres de longueur fixe, et calculer le nombre total de chemins minimaux distincts.
2. b) Si l'intersection située à 2 pâtés de maisons à l'est et 1 pâté de maisons au nord de l'origine est entièrement coupée pour travaux municipaux, calculer combien de chemins minimaux restent disponibles en évitant obligatoirement ce carrefour. Justifier la démarche suivie.

Un jeu de cartes d'entraînement au calcul mental contient 8 cartes au total. Deux d'entre elles sont rouges, et les autres sont des cartes bleues et des cartes vertes. En disposant toutes les cartes en ligne sur la table, on constate qu'on peut former exactement 420 arrangements distincts en ne considérant que la séquence des couleurs.

1. a) Établir une équation combinatoire reliant le nombre de cartes bleues ($a$) et le nombre de cartes vertes ($v$) au nombre total d'ordonnances possibles.
2. b) Déduire combien de cartes bleues et combien de cartes vertes composent le jeu. Justifier pourquoi deux solutions numériques symétriques apparaissent et expliquer leur signification concrète.

Trouver la valeur de l'entier naturel $x$ qui vérifie l'équation suivante, en justifiant mathématiquement votre réponse : $P_x = 30 \cdot P_{x-2}$.

Combien de mots différents, avec ou sans sens, peut-on former en réordonnant toutes les lettres du mot « ESTADISTICA » de façon qu'ils commencent obligatoirement par la lettre $E$ et se terminent par la lettre $A$ ?

Huit diplomates se réunissent lors d'un sommet international et doivent s'asseoir autour d'une grande table ronde. Deux des représentants sont fortement brouillés et le protocole exige qu'ils ne soient pas assis l'un à côté de l'autre. De combien de façons différentes peuvent-ils s'installer à la table en respectant cette contrainte ?

Sur l'étagère d'un CDI de lycée, on va ranger en ligne $4$ livres distincts de mathématiques, $3$ livres distincts de physique et $2$ livres distincts de chimie. Si la documentaliste exige que les livres de la même matière restent toujours ensemble en formant un bloc, de combien de façons distinctes peut-on les ordonner sur le rayonnage ?

Un robot autonome se déplace sur un quadrillage logistique du nœud $A$ au nœud $B$ en avançant exclusivement vers la droite et vers le bas. À cause de réparations au sol, le nœud $C$ est bloqué et le robot ne peut pas y passer. Combien de trajectoires valides existe-t-il pour effectuer le parcours ?

Calculer la somme totale de tous les nombres entiers à $4$ chiffres distincts que l'on peut former en utilisant exclusivement les chiffres $1, 2, 3$ et $4$.

Si l'on génère tous les mots possibles, avec ou sans sens, en permutant les lettres du mot « LIBRO », puis qu'on les range strictement dans l'ordre alphabétique (comme dans un dictionnaire), quelle position occupera exactement le mot « LIBRO » dans cette liste ?

Simplifier les fractions littérales et résoudre l'équation suivante contenant des factorielles, en trouvant la valeur de $x$ : $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - \frac{x!}{(x-2)!} = 14$.

Lors d'un colloque scientifique organisé au CNRS, 6 intervenants participent : 3 spécialistes de physique et 3 de mathématiques. Ils vont intervenir successivement dans une même salle et le comité d'organisation exige que deux physiciens ne passent pas à la suite. Pour déterminer combien de programmations valides existent, deux élèves proposent des démarches différentes :

• Lucie propose la méthode du complémentaire : « On calcule toutes les ordonnances possibles des 6 intervenants et on retranche celles où les physiciens apparaissent ensemble ».

• Serge propose la méthode des espaces : « On place d'abord les 3 mathématiciens en ligne, on repère les espaces disponibles entre eux et aux extrémités, et on y place les physiciens ».

1. a) Analyser les deux propositions et expliquer précisément pourquoi la stratégie de Lucie est extrêmement complexe et sujette à erreurs dans ce cas précis (indiquer quels cas qui se chevauchent ou qui diffèrent il faudrait distinguer en essayant de soustraire).
2. b) Développer entièrement la stratégie de Serge en décomposant les facteurs à l'aide de permutations, calculer le résultat final et conclure en justifiant pourquoi cette méthode est plus sûre et plus efficace.

Lors d'un sommet diplomatique organisé à Toulouse, un dîner réunit 8 dirigeants autour d'une table ronde de 8 places, où seule la position relative des convives les uns par rapport aux autres est prise en compte. Le service du protocole impose deux contraintes simultanées :

1. Les dirigeants de la France et du Portugal doivent obligatoirement être assis côte à côte.

2. Les dirigeants de l'Italie et de l'Allemagne doivent être placés à des positions diamétralement opposées (face à face de part et d'autre du centre de la table).

Concevoir une stratégie rigoureuse pour dénombrer les configurations possibles en fixant un convive comme référence afin de briser la symétrie circulaire, analyser en détail combien de positions compatibles il reste pour le bloc franco-portugais et pour les autres délégations, puis en déduire le nombre total de façons valides de placer les 8 dirigeants.