Exercices: Calcul intégral et équations différentielles

1. Calculer les intégrales suivantes.

a) $A=\displaystyle\int_0^1(3x^2+2x)\,\mathrm dx$

b) $B=\displaystyle\int_0^{\ln2}\mathrm e^x\,\mathrm dx$

c) $C=\displaystyle\int_1^{\mathrm e}\frac1x\,\mathrm dx$

d) $D=\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm dx$

1. a) Vérifier que la fonction $F:x\mapsto\mathrm e^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb R$ de la fonction $f:x\mapsto2x\,\mathrm e^{x^2}$.

b) En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^1 2x\,\mathrm e^{x^2}\,\mathrm dx$.

1. Calculer la valeur moyenne de la fonction $x\mapsto x^2$ sur l'intervalle $[0\,;3]$.

Un café est servi à la température de $90\ ^\circ\text{C}$ dans une pièce dont la température est constante, égale à $20\ ^\circ\text{C}$. On note $\theta(t)$ la température du café, en degré Celsius, à l'instant $t$ exprimé en minute. On admet que la fonction $\theta$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ et vérifie l'équation différentielle $(E)$ : $y'=-0{,}1\,y+2$.

1. Vérifier que la fonction constante égale à $20$ est solution de $(E)$.

2. Résoudre l'équation différentielle $(E)$.

3. Déterminer l'expression de $\theta(t)$ sachant que $\theta(0)=90$.

4. Déterminer la limite de $\theta$ en $+\infty$ et interpréter.

5. Résoudre l'équation $\theta(t)=40$. Donner la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée à $0{,}1$ minute près.

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité graphique $1$ cm. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+2$, de courbes représentatives respectives $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$.

1. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$. En déduire les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$.

2. Étudier le signe de $g(x)-f(x)$ sur $\mathbb R$.

3. Calculer, en unité d'aire puis en $\text{cm}^2$, l'aire du domaine délimité par $\mathcal C_f$, $\mathcal C_g$ et situé entre leurs deux points d'intersection.

Partie A

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^1x\,\mathrm e^x\,\mathrm dx$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_1^{\mathrm e}x\ln x\,\mathrm dx$. Donner le résultat sous la forme d'une fraction de $\mathrm e^2$.

Partie B

Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1x^n\mathrm e^x\,\mathrm dx$.

1. Calculer $I_0$. Vérifier que $I_1=1$ d'après la partie A.

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=\mathrm e-(n+1)I_n$. En déduire $I_2$.

3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0\le I_n\le\dfrac{\mathrm e}{n+1}$.

4. En déduire la limite de la suite $(I_n)$.

Partie A

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=2y+4x$.

1. Vérifier que la fonction $p$ définie sur $\mathbb R$ par $p(x)=-2x-1$ est solution de $(E)$.

2. Montrer qu'une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb R$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y-p$ est solution de l'équation $y'=2y$.

3. En déduire toutes les solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$.

4. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=1$.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=2\mathrm e^{2x}-2x-1$.

1. Étudier les variations de $f$ et montrer que $f$ admet un minimum égal à $\ln2$.

2. En déduire que $f(x)>0$ pour tout réel $x$.

3. Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

Partie A

Dans une ville française, la température, en degré Celsius, au cours d'une journée de printemps est modélisée, pour $t\in[0\,;24]$ où $t$ désigne le nombre d'heures écoulées depuis minuit, par $\theta(t)=12-6\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$.

1. Déterminer une primitive de $\theta$ sur $[0\,;24]$.

2. Calculer la valeur moyenne de $\theta$ sur $[0\,;24]$.

3. Calculer la valeur moyenne de $\theta$ sur $[0\,;6]$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $0{,}01\ ^\circ\text{C}$ près.

Partie B

On souhaite encadrer $I=\displaystyle\int_0^1\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx$. On note $f$ la fonction $x\mapsto\mathrm e^{-x^2}$.

1. Justifier que $f$ est décroissante sur $[0\,;1]$.

2. On partage $[0\,;1]$ en quatre intervalles de même longueur $0{,}25$. Par la méthode des rectangles, montrer que $0{,}66\le I\le0{,}83$. On utilisera la calculatrice pour calculer les valeurs de $f$ aux points de la subdivision.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\displaystyle\int_1^{\mathrm e}(\ln x)^n\,\mathrm dx$.

1. Calculer $u_0$ et $u_1$.

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\mathrm e-(n+1)u_n$. En déduire $u_2$.

3. a) Montrer que, pour tout $x\in[1\,;\mathrm e]$ et tout entier naturel $n$, $0\le(\ln x)^{n+1}\le(\ln x)^n$.

b) En déduire que la suite $(u_n)$ est positive et décroissante.

1. a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\le\dfrac{\mathrm e}{n+1}$.

b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\ge\dfrac{\mathrm e}{n+2}$.

1. Déterminer la limite de $(u_n)$, puis la limite de $(n\,u_n)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=x\,\mathrm e^{-x}$. Pour tout réel $a>0$, on note $\mathcal A(a)$ l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=a$.

Partie A

1. Étudier les variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$.

2. Montrer que la fonction $F:x\mapsto-(x+1)\mathrm e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.

Partie B

1. Montrer que, pour tout réel $a>0$, $\mathcal A(a)=1-(a+1)\mathrm e^{-a}$.

2. Déterminer la limite de $\mathcal A(a)$ quand $a$ tend vers $+\infty$.

3. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;a]$ en fonction de $a$.

Partie C

On souhaite déterminer la valeur de $a$ pour laquelle $\mathcal A(a)=\dfrac12$.

1. On pose $h(a)=(a+1)\mathrm e^{-a}$. Montrer que $h$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$.

2. Montrer que l'équation $h(a)=\dfrac12$ admet une unique solution $a_0$ dans $[0\,;+\infty[$.

3. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $a_0$ d'amplitude $0{,}1$.

On cherche les fonctions $f$ continues sur $\mathbb R$ vérifiant la condition $(1)$ : pour tout réel $x$,

$$f(x)=2+\int_0^x\bigl(3-f(t)\bigr)\,\mathrm dt.$$

Partie A

On suppose qu'une fonction $f$ continue sur $\mathbb R$ vérifie $(1)$.

1. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et que, pour tout réel $x$, $f'(x)=3-f(x)$.

2. Calculer $f(0)$.

3. Résoudre l'équation différentielle $y'=-y+3$ et en déduire l'expression de $f(x)$.

Partie B

1. Réciproquement, vérifier que la fonction $f:x\mapsto3-\mathrm e^{-x}$ vérifie la condition $(1)$.

2. Calculer $\displaystyle\int_0^2f(x)\,\mathrm dx$.

Partie C

On souhaite approcher $f(1)$ par la méthode d'Euler appliquée à $y'=3-y$ avec $y(0)=2$ et un pas $h=0{,}5$.

1. Calculer les deux premières valeurs $y_1$ et $y_2$ fournies par la méthode et préciser les abscisses correspondantes.

2. Calculer l'écart, arrondi au centième, entre $y_2$ et $f(1)$.