Exercices: Convexité : concavité et convexité. Point d'inflexion

Soit la fonction polynôme $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Réaliser les étapes suivantes pour étudier sa convexité (on dit qu'elle est concave ($\cap$) dans la zone où $f''(x)<0$ et convexe ($\cup$) dans la zone où $f''(x)>0$) :

1. a) Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.

1. b) Déterminer les intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$).

1. c) Déterminer les coordonnées du point d'inflexion.

Observer la courbe suivante d'une fonction $f(x)$ et identifier, visuellement, sur quels intervalles la fonction est convexe (courbe tournée vers le haut, $\cup$) et sur lesquels elle est concave (courbe tournée vers le bas, $\cap$). Indiquer approximativement l'abscisse $x$ où vous pensez que se situe le point d'inflexion.

Un concepteur de skateparks modélise le profil d'une rampe au moyen de la fonction $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, où $x$ représente la distance horizontale en mètres. Le concepteur a besoin de savoir où la rampe passe de « type montagne » (concave) à « type vallée » (convexe) afin d'assurer la transition. Déterminer le point d'inflexion de cette trajectoire.

Soit la fonction $f(x) = x^4 - 2x^3$. Étudier sa convexité. Cette fonction présente-t-elle un point où la dérivée seconde s'annule sans que ce soit un point d'inflexion ? Justifier la réponse en analysant le signe de $f''(x)$ de part et d'autre des points singuliers de la dérivée seconde.

Associer chacune des conditions suivantes sur la dérivée seconde à l'allure de la courbe de la fonction $f(x)$ sur un intervalle donné :

1. $f''(x) > 0$ pour tout $x \in ]a ; b[$

2. $f''(x) < 0$ pour tout $x \in ]a ; b[$

3. $f''(c) = 0$ et $f''(x)$ change de signe en $x = c$.

Utiliser les termes : Concave (courbe tournée vers le bas, $\cap$), Convexe (courbe tournée vers le haut, $\cup$) et Point d'inflexion.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la fonction $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ admette un point d'inflexion en $x = 2$. Une fois $k$ trouvé, indiquer si la fonction est concave ou convexe au point $x = 0$.

Déterminer les intervalles de convexité de la fonction exponentielle $f(x) = e^{2x} - 4x$. Cette fonction possède-t-elle un point d'inflexion ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la valeur de la dérivée seconde.

Soit la fonction $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Bien qu'il s'agisse d'une fonction rationnelle, l'étude de sa convexité sur son ensemble de définition est simple. La figure montre sa courbe et ses asymptotes.

1. Déterminer $f''(x)$.

2. Étudier son signe sur les intervalles correspondants (en tenant compte du fait que $x=1$ n'appartient pas à l'ensemble de définition) et le relier à la convexité que l'on observe sur chaque branche de la courbe.

3. Y a-t-il des points d'inflexion ? Justifier si le changement de convexité au niveau de l'asymptote verticale est considéré comme un point d'inflexion.

Marc doit étudier la convexité de la fonction polynôme $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 2$. Dans sa copie, il écrit le raisonnement suivant :

« Dérivée première : $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.

Dérivée seconde : $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2$.

Je résous $12(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.

Donc la courbe de la fonction change de convexité en $x = 1$ et présente un point d'inflexion en $(1 ; 5)$. »

1. a) Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Marc. La condition $f''(x_0) = 0$ est-elle suffisante à elle seule pour garantir l'existence d'un point d'inflexion ?
2. b) Corriger l'exercice en déterminant les véritables intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$) de $f(x)$, et conclure en justifiant si la courbe possède ou non des points d'inflexion.

Déterminer l'expression d'une fonction cubique $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ vérifiant simultanément les quatre conditions suivantes :

1. Sa courbe coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; -5)$.

2. Elle présente un point d'inflexion au point de coordonnées $(2 ; 3)$.

3. La tangente à la courbe en ce point d'inflexion a pour coefficient directeur $-4$.

4. La fonction est concave ($\cap$) sur $]-\infty ; 2[$ et convexe ($\cup$) sur $]2 ; +\infty[$.

Calculer en justifiant les coefficients $a, b, c$ et $d$, et vérifier explicitement, grâce au signe de $f''(x)$, que la condition de convexité 4 est bien vérifiée de façon stricte avec les valeurs trouvées.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$. Réaliser une étude détaillée de sa convexité (on considère la fonction concave $\cup$ là où $f''(x)>0$ et convexe $\cap$ là où $f''(x)<0$). Pour cela :

1. a) Déterminer les intervalles de concavité et de convexité.

1. b) Déterminer les coordonnées exactes de ses points d'inflexion, s'il en existe.

On sait que la fonction polynôme $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ admet un point d'inflexion au point $P(1\,;\,2)$ et que le coefficient directeur de la tangente en ce point est $m = -3$. Calculer les valeurs des paramètres $a, b$ et $c$.

Une équipe d'ingénieurs conçoit une rampe de saut pour un parc de sports extrêmes. Le profil de la section centrale de la rampe suit la fonction $f(x) = (x-2)e^x$ pour $x \in [-1 ; 3]$.

Calculer la valeur de l'abscisse $x$ où la rampe passe de concave à convexe (point d'inflexion). Justifier pourquoi, en ce point, la rampe atteint sa pente de descente maximale sur ce tronçon.

Soit la fonction $f(x) = \ln(x^2 + 9)$. Déterminer :

1. Les intervalles où la fonction est concave ($\cap$) et où elle est convexe ($\cup$).

2. Les coordonnées des points d'inflexion.

3. L'équation de la tangente à la courbe de $f(x)$ en son point d'inflexion d'abscisse positive.

Le nombre d'utilisateurs actifs d'un nouveau réseau social pendant les 6 premiers mois suit approximativement la fonction $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, où $t$ est le temps en mois et $N(t)$ est le nombre d'utilisateurs en milliers.

1. Déterminer l'instant exact (valeur de $t$) à partir duquel la croissance du nombre d'utilisateurs commence à ralentir (point d'inflexion).

2. Expliquer la signification de la convexité de la fonction avant et après cet instant en termes de « rythme de croissance ».

Soit la fonction définie par morceaux :

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la fonction soit dérivable en $x = 0$ et que sa courbe passe par le point $(\pi ; \pi)$. Une fois ces valeurs calculées, vérifier s'il existe un point d'inflexion à l'origine.

Soit la fonction $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$. On demande :

1. a) Déterminer les intervalles de concavité et de convexité en étudiant le signe de $f''(x)$ (la fonction est convexe, $\cup$, là où $f''(x) > 0$ et concave, $\cap$, là où $f''(x) < 0$).

1. b) Déterminer les points d'inflexion de la courbe.

1. c) Que se passe-t-il pour la convexité de la fonction lorsque $x \to +\infty$ et lorsque $x \to -\infty$ ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la limite de la dérivée seconde.

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la fonction $f(x) = \frac{ax+b}{x^2-4}$ admette un point d'inflexion en $x = 0$ et passe par le point $(1 ; -1)$. Une fois ces valeurs trouvées, étudier si la fonction possède d'autres points d'inflexion dans son ensemble de définition.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{12}{x^2 + 3}$ :

1. a) Estimer avant de calculer : Observer que la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (paire), strictement positive sur tout $\mathbb{R}$, admet un maximum local en $(0 ; 4)$ et possède une asymptote horizontale en $y = 0$ lorsque $x \to \pm\infty$. À partir de ces seules données qualitatives, déduire en justifiant si la courbe doit avoir des points d'inflexion, combien on s'attend à en trouver au minimum, dans quels quadrants ils se situeront et quelle convexité la courbe devrait présenter près de l'origine par rapport aux zones très éloignées de celle-ci ($|x| \to \infty$).
2. b) Vérifier par le calcul : Calculer $f''(x)$, déterminer les intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$), et déterminer les coordonnées exactes des points d'inflexion. Vérifier si les résultats obtenus par le calcul confirment précisément les déductions de votre estimation préalable.

Pour étudier la convexité et classer les éventuels points d'inflexion de la fonction $f(x) = x^5 - 5x^4 + 7$, vous calculez ses deux premières dérivées et obtenez $f'(x) = 5x^4 - 20x^3$ et $f''(x) = 20x^2(x - 3)$. Les candidats à être point d'inflexion sont $x = 0$ et $x = 3$.

Deux camarades de classe proposent des méthodes de résolution différentes :

• Méthode 1 (dérivées successives) : Calculer $f'''(x)$, $f^{(4)}(x)$, etc., et évaluer en chaque candidat jusqu'à trouver une dérivée d'ordre supérieur qui ne s'annule pas.

• Méthode 2 (étude du signe de $f''$) : Analyser directement le signe de $f''(x) = 20x^2(x - 3)$ sur les intervalles déterminés par les zéros de la dérivée seconde.

1. a) Appliquer la méthode 1 pour classer $x = 0$ et $x = 3$.
2. b) Appliquer la méthode 2 pour déterminer les intervalles de concavité et de convexité et classer les deux points.
3. c) Comparer de façon critique les deux méthodes pour ce cas : laquelle est la plus efficace et pourquoi la présence du facteur $x^2$ rend-elle la méthode 2 particulièrement avantageuse par rapport à la méthode 1 ? Quelle limite conceptuelle présenterait la méthode 1 si la fonction n'admettait pas de dérivées d'ordre supérieur au point étudié ?

On considère la famille de fonctions de la forme $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, où $a$ et $b$ sont des paramètres réels. On sait que la courbe de la fonction passe par le point $(0\,;\,1)$ et qu'elle admet un point d'inflexion au point d'abscisse $x = 1$.

1. a) Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
2. b) Pour les valeurs trouvées, étudier les intervalles de concavité et de convexité de la fonction et vérifier s'il existe d'autres points d'inflexion.

Une équipe d'ingénieurs conçoit une rampe de transition pour un nouveau modèle de skateboard. La hauteur de la rampe suit la fonction $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ sur l'intervalle $x \in [-2\,;\,2]$.

1. a) Calculer la valeur de $k$ pour que la rampe change de convexité (admette un point d'inflexion) exactement en $x = 0$.
2. b) Est-il possible de trouver une valeur de $k$ telle que la fonction soit toujours convexe ($\cup$) sur tout son ensemble de définition ? Justifier la réponse analytiquement.

Soit la fonction $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + a}$, où $a$ est une constante réelle non nulle :

1. a) Démontrer que si $a > 0$, la fonction admet toujours exactement trois points d'inflexion alignés.
2. b) Si $a = -3$, étudier la convexité de la fonction en détaillant ses intervalles et ses points d'inflexion, en tenant compte des discontinuités de la fonction.

Le graphique suivant correspond à la fonction dérivée première, $f'(x)$, d'une fonction continue $f(x)$ définie sur $\mathbb{R}$. À partir de l'information visuelle fournie et en se limitant à la portion représentée, $-2 < x < 2$ :

1. a) Déterminer les intervalles de concavité et de convexité de la fonction initiale $f(x)$.
2. b) Indiquer les abscisses des points d'inflexion de $f(x)$.
3. c) Sachant que $f(0) = 0$, esquisser la courbe de la fonction initiale $f(x)$ en se basant sur sa convexité.

Soit la fonction $f(x) = \arctan(x^2 - 1)$.

1. a) Déterminer l'expression de $f''(x)$ simplifiée au maximum.
2. b) Déterminer les points de la courbe où le coefficient directeur de la tangente atteint ses maximums ou minimums locaux. Indice : rappelez-vous que cela se produit là où la convexité change.
3. c) Étudier les intervalles de convexité de $f(x)$.

On souhaite raccorder en douceur deux tronçons de route. Le premier tronçon est donné par la fonction $g(x) = x^2$ pour $x \le 1$, et le second par une fonction polynôme de degré trois $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ pour $x > 1$.

Pour que la transition soit « parfaitement lisse », les ingénieurs exigent qu'au point de raccordement $x = 1$ :

1. Les fonctions coïncident ($f$ soit continue).

2. Les coefficients directeurs des tangentes coïncident ($f$ soit dérivable).

3. La convexité soit la même (les dérivées secondes coïncident).

Sachant que le second tronçon doit avoir un point d'inflexion en $x = 2$, calculer les valeurs de $a, b, c$ et $d$.

Soit la fonction $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

1. a) Étudier l'ensemble de définition et les asymptotes de la fonction.
2. b) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance, et les extremums locaux.
3. c) Analyser la convexité et démontrer qu'il n'existe aucun point d'inflexion.
4. d) Vers quelle valeur tend le coefficient directeur de la tangente à la courbe lorsque $x \to \infty$ ? Cela change-t-il la convexité en l'infini ?

Soit la fonction $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$ définie pour $x > 0$.

1. a) Calculer $f'(x)$, $f''(x)$ et $f'''(x)$.
2. b) Déterminer les intervalles de concavité et de convexité.
3. c) Existe-t-il un point de la courbe où la tangente est horizontale et où, simultanément, ce point est un point d'inflexion ? Justifier la réponse.
4. d) Étudier le comportement de la convexité lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures. Peut-on dire qu'il y a un point d'inflexion à la limite ?

Selon les projections du Plan national intégré énergie-climat (PNIEC) en Espagne, la puissance cumulée d'autoconsommation solaire photovoltaïque (en gigawatts, $\text{GW}$) entre les années 2018 ($t = 0$) et 2026 ($t = 8$) est modélisée par la fonction logistique :

$P(t) = \frac{12}{1 + 8\cdot e^{-0,5t}}$

où $t$ représente le temps écoulé en années depuis fin 2018.

1. a) Déterminer en justifiant la limite de $P(t)$ lorsque $t \to +\infty$ et interpréter la valeur obtenue dans le contexte du modèle (capacité de saturation de la puissance installable).
2. b) Calculer analytiquement la dérivée seconde $P''(t)$ et déterminer l'instant exact $t_0$ où la fonction admet un point d'inflexion. En quelle année et à quel mois approximatif cette étape a-t-elle été franchie ?
3. c) Étudier le signe de $P''(t)$ avant et après $t_0$. Interpréter la signification de la convexité et de la concavité en termes de rythme d'installation annuel ($P'(t)$) : pendant quelle période le rythme d'installation s'est-il accéléré et quand a-t-il commencé à ralentir, bien que la puissance totale continue d'augmenter ?
4. d) Démontrer algébriquement que, dans tout modèle logistique général de la forme $P(t) = \frac{K}{1 + b\cdot e^{-kt}}$ (avec $K, b, k > 0$), le point d'inflexion est toujours atteint à l'instant où la grandeur atteint la moitié de sa valeur limite de saturation ($P(t_0) = \frac{K}{2}$).

Lors de la conception du profil longitudinal d'une rampe d'accélération pour une attraction d'un parc à thème à Paris, il faut raccorder en douceur la cote de départ à la plateforme supérieure. La rampe doit être représentée par une fonction dérivable $f(x)$ définie sur l'intervalle $[0 ; 4]$ (où $x$ est la distance horizontale en mètres et $f(x)$ la hauteur en mètres) qui vérifie :

1. Elle commence au point $(0 ; 0)$ avec une tangente horizontale ($f'(0) = 0$).

2. Elle se termine au point $(4 ; 2)$ également avec une tangente horizontale ($f'(4) = 0$).

3. Pour éviter les secousses brusques pour les passagers, la convexité doit varier de façon continue, en passant de convexe ($\cup$) à concave ($\cap$), avec exactement un point d'inflexion à l'intérieur de l'intervalle $]0 ; 4[$.

1. a) Démontrer formellement pourquoi il est impossible qu'un polynôme du second degré vérifie simultanément ces spécifications.
2. b) Déterminer les coefficients du polynôme de plus petit degré possible, $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, qui vérifie les conditions de position et de pente aux extrémités.
3. c) Pour la fonction cubique obtenue, démontrer que la condition de convexité est vérifiée : déterminer les intervalles de convexité et de concavité, déterminer les coordonnées du point d'inflexion et justifier pourquoi, à l'abscisse de ce point d'inflexion, la rampe atteint sa pente maximale, en calculant sa valeur exacte.