Symétrique d'un point et d'une figure par symétrie axiale
Lucas plie une feuille en deux, dessine un papillon sur une moitié, puis la découpe : en dépliant, il obtient deux ailes parfaitement identiques. Comment retrouver, point par point, l'aile de droite à partir de l'aile de gauche ? Et que reste-t-il « pareil » entre les deux ailes ? C'est ce que la symétrie axiale permet de comprendre.
Le symétrique d'un point
Quand on plie la feuille le long d'une droite $(d)$, chaque point d'un côté tombe sur un point de l'autre côté. Ces deux points sont symétriques l'un de l'autre. La droite $(d)$ s'appelle l'axe de symétrie.
Cela veut dire deux choses : $(MM')$ est perpendiculaire à $(d)$, et $(d)$ coupe $[MM']$ en son milieu $I$. Donc $MI = IM'$.
Sur un quadrillage, c'est plus simple : si l'axe est vertical et que $A$ est à $3$ carreaux à gauche, $A'$ est à $3$ carreaux à droite, sur la même ligne.
Si le quadrillage est muni d'un repère et que l'axe vertical $(d)$ passe par la colonne $x=0$, le symétrique d'un point garde la même ordonnée et change le signe de l'abscisse : le symétrique de $M(x\,;\,y)$ est $M'(-x\,;\,y)$.
Sur un quadrillage, la droite $(d)$ est verticale. Le point $A$ est situé à $3$ carreaux à gauche de $(d)$. Le point $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.…
Sur un quadrillage, la droite $(d)$ est verticale. Le point $A$ est situé à $3$ carreaux à gauche de $(d)$. Le point $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.
- a) Placer $A'$ : à quelle distance de $(d)$ se trouve-t-il et de quel côté ?
- b) Quelle est la longueur $AA'$ en carreaux ?
Le point $M'$ est le symétrique du point $M$ par rapport à la droite $(d)$. a) Quelle est la nature de la droite $(d)$ pour le segment $[MM']$ ? b) Si…
Le point $M'$ est le symétrique du point $M$ par rapport à la droite $(d)$.
- a) Quelle est la nature de la droite $(d)$ pour le segment $[MM']$ ?
- b) Si $MM' = 8\text{ cm}$ et si $I$ est le point d'intersection de $(MM')$ et de $(d)$, calculer $MI$.
Tracer un segment $[AB]$ de longueur $6\text{ cm}$ et une droite $(d)$ qui ne le coupe pas. Décrire, étape par étape, la construction à l'équerre et au compas du…
Tracer un segment $[AB]$ de longueur $6\text{ cm}$ et une droite $(d)$ qui ne le coupe pas. Décrire, étape par étape, la construction à l'équerre et au compas du symétrique $A'$ du point $A$ par rapport à $(d)$.
Le symétrique d'une figure
Pour construire le symétrique d'un segment, on construit les symétriques de ses extrémités, puis on les relie. Pour un polygone, on construit le symétrique de chaque sommet. Pour un cercle, on construit le symétrique du centre et on garde le même rayon.
Pourquoi ? Quand on plie la feuille, la figure se superpose exactement à son symétrique : on peut les superposer, donc elles ont les mêmes longueurs, les mêmes angles et la même aire.
Le segment $[AB]$ mesure $5\text{ cm}$. Son symétrique par rapport à une droite $(d)$ est le segment $[A'B']$. a) Quelle est la longueur de $[A'B']$ ? b) Soit $C$ un…
Le segment $[AB]$ mesure $5\text{ cm}$. Son symétrique par rapport à une droite $(d)$ est le segment $[A'B']$.
- a) Quelle est la longueur de $[A'B']$ ?
- b) Soit $C$ un point et $C'$ son symétrique par rapport à la droite $(d)$. L'angle $\widehat{ABC}$ mesure $40^\circ$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{A'B'C'}$ ?
Sur un quadrillage, on place la droite $(d)$ verticale passant par la colonne $x=5$ et les points $A(1\,;\,1)$, $B(2\,;\,4)$ et $C(3\,;\,1)$. a) Donner les coordonnées…
Sur un quadrillage, on place la droite $(d)$ verticale passant par la colonne $x=5$ et les points $A(1\,;\,1)$, $B(2\,;\,4)$ et $C(3\,;\,1)$.
- a) Donner les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$, symétriques de $A$, $B$ et $C$ par rapport à $(d)$.
- b) Quelle est la nature du triangle $A'B'C'$ ? Justifier à l'aide du triangle $ABC$ (on pourra remarquer la position de $B$ par rapport au milieu de $[AC]$, puis utiliser une propriété de la symétrie axiale).
Un triangle $ABC$ a pour périmètre $17\text{ cm}$ avec $AB=5\text{ cm}$ et $\widehat{BAC}=70^\circ$. Son symétrique $A'B'C'$ est construit par rapport à une droite…
Un triangle $ABC$ a pour périmètre $17\text{ cm}$ avec $AB=5\text{ cm}$ et $\widehat{BAC}=70^\circ$. Son symétrique $A'B'C'$ est construit par rapport à une droite $(d)$.
- a) Donner le périmètre de $A'B'C'$.
- b) Donner $A'B'$ et $\widehat{B'A'C'}$.
- c) Les deux triangles ont-ils la même aire ? Justifier.
Raisonner avec l'axe de symétrie
Comme $(d)$ est la médiatrice de $[MM']$, on peut utiliser la propriété caractéristique de la médiatrice : tout point $P$ de $(d)$ est à égale distance de $M$ et de $M'$, c'est-à-dire $PM = PM'$.
Les points $A$ et $B$ sont deux villages situés du même côté d'une route rectiligne $(d)$. On veut placer un arrêt de bus $P$ sur $(d)$ de sorte que $AP+PB$ soit le plus…
Les points $A$ et $B$ sont deux villages situés du même côté d'une route rectiligne $(d)$. On veut placer un arrêt de bus $P$ sur $(d)$ de sorte que $AP+PB$ soit le plus petit possible.
- a) Construire $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.
- b) Expliquer pourquoi $AP=A'P$ pour tout point $P$ de $(d)$.
- c) En déduire la position de $P$ et justifier que $AP+PB$ est minimale.
Le point $O$ est sur la droite $(d)$. Le point $M$ est tel que $OM=4\text{ cm}$ et $\widehat{MOd}=30^\circ$ (angle avec la droite $(d)$). Le point $M'$ est le symétrique…
Le point $O$ est sur la droite $(d)$. Le point $M$ est tel que $OM=4\text{ cm}$ et $\widehat{MOd}=30^\circ$ (angle avec la droite $(d)$). Le point $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $(d)$.
- a) Quelle est la nature du triangle $OMM'$ ? Justifier.
- b) Calculer la mesure de l'angle $\widehat{MOM'}$.
- c) Justifier que $(d)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{MOM'}$.
Un losange $ABCD$ a pour diagonales $[AC]$ et $[BD]$. On admet que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont des axes de symétrie du losange. a) Quel est le symétrique du point…
Un losange $ABCD$ a pour diagonales $[AC]$ et $[BD]$. On admet que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont des axes de symétrie du losange.
- a) Quel est le symétrique du point $B$ par rapport à $(AC)$ ? Justifier.
- b) Montrer que les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
- c) Si $AC=10\text{ cm}$ et $BD=6\text{ cm}$, calculer l'aire du losange sachant que l'aire d'un losange vaut $\dfrac{AC\times BD}{2}$.
Retour au début : pour retrouver l'aile du papillon, on construit le symétrique de chaque point, et les deux ailes sont identiques car la symétrie conserve longueurs, angles et aires.
L'essentiel
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Le symétrique de $M$ par rapport à $(d)$ est le point $M'$ tel que $(d)$ est la médiatrice de $[MM']$ ; si $M \in (d)$, $M' = M$.
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Construction : on trace la perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$, qui coupe $(d)$ en $I$, puis on reporte $IM' = IM$ de l'autre côté au compas.
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La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les périmètres et les aires.
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Si $P \in (d)$, alors $PM = PM'$ : le triangle $PMM'$ est isocèle et $(d)$ est la bissectrice de $\widehat{MPM'}$.