Division euclidienne : dividende, diviseur, quotient, reste
À la boulangerie, 275 croissants doivent être rangés dans des boîtes de 12. Combien de boîtes pleines obtient-on ? Et combien de croissants restent-ils en dehors des boîtes ? La division euclidienne répond exactement à ce type de question.
Partager en parts égales
Quand on partage 47 billes entre 5 enfants, chacun en reçoit 9 : cela fait $5 \times 9 = 45$ billes distribuées. Il en reste 2, qu'on ne peut plus partager équitablement.
Le quotient est le nombre de parts complètes. Le reste est ce qui n'a pas pu être distribué : il doit être strictement plus petit que le diviseur, sinon on pourrait encore faire une part de plus.
Effectuer la division euclidienne de $47$ par $5$ et écrire l'égalité correspondante.
Effectuer la division euclidienne de $47$ par $5$ et écrire l'égalité correspondante.
Effectuer la division euclidienne de $250$ par $8$ puis vérifier le résultat.
Effectuer la division euclidienne de $250$ par $8$ puis vérifier le résultat.
Le vocabulaire et la vérification
Dans $83 = 12 \times 6 + 11$ :
| dividende | diviseur | quotient | reste |
|---|---|---|---|
| $83$ | $12$ | $6$ | $11$ |
Le reste $11$ est bien inférieur à $12$.
Cette égalité permet aussi de retrouver le dividende : si le diviseur est $15$, le quotient $23$ et le reste $9$, alors $a = 15 \times 23 + 9 = 345 + 9 = 354$.
Dans l'égalité $83=12\times 6+11$, donner le dividende, le diviseur, le quotient et le reste.
Dans l'égalité $83=12\times 6+11$, donner le dividende, le diviseur, le quotient et le reste.
Dans une division euclidienne, le diviseur est $15$, le quotient est $23$ et le reste est $9$. Calculer le dividende.
Dans une division euclidienne, le diviseur est $15$, le quotient est $23$ et le reste est $9$. Calculer le dividende.
Résoudre des problèmes
Deux questions reviennent souvent :
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« Combien de paquets complets ? » : la réponse est le quotient.
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« Combien reste-t-il ? » : la réponse est le reste.
Attention : si l'on demande combien de véhicules il faut au minimum pour transporter tout le monde, il faut parfois ajouter un au quotient.
Avec des unités
On peut écrire la division euclidienne avec l'unité de l'objet compté. Un fleuriste a $295$ roses et fait des bouquets de $18$ roses : $295 \text{ roses} = 16 \times 18 \text{ roses} + 7 \text{ roses}$. On obtient $16$ bouquets complets et il reste $7$ roses.
Durées et nombres mixtes
La division euclidienne sert aussi à convertir une durée. Pour convertir $135$ minutes en heures et minutes, on divise par $60$ : $135 = 60 \times 2 + 15$, donc $135\ \text{min} = 2\ \text{h}\ 15\ \text{min}$.
C'est le même principe pour un nombre mixte. Comme $275 = 12 \times 22 + 11$, on a $\dfrac{275}{12} = 22 + \dfrac{11}{12}$ : le quotient donne la partie entière et le reste donne le numérateur de la fraction.
Une boulangerie de Nantes range $275$ croissants dans des boîtes de $12$. a) Combien de boîtes pleines obtient-on ? b) Combien de croissants restent-ils ?
Une boulangerie de Nantes range $275$ croissants dans des boîtes de $12$.
- a) Combien de boîtes pleines obtient-on ?
- b) Combien de croissants restent-ils ?
Un car peut transporter $48$ passagers. Une école de Toulouse organise une sortie pour $205$ personnes. a) Combien de cars faut-il au minimum ? b) Combien de places…
Un car peut transporter $48$ passagers. Une école de Toulouse organise une sortie pour $205$ personnes.
- a) Combien de cars faut-il au minimum ?
- b) Combien de places restent libres dans le dernier car ?
Restes, jours de la semaine et raisonnement
Les jours de la semaine se répètent tous les $7$ jours. Pour savoir quel jour on sera dans $n$ jours, on fait la division euclidienne de $n$ par $7$ : seul le reste compte, car les semaines complètes ramènent au même jour.
Quand on connaît le dividende et le quotient, on peut aussi chercher les diviseurs possibles : comme $r < b$, on a $b \times q \leqslant a < b \times (q+1)$. Cela limite les valeurs de $b$.
Dans une division euclidienne, le dividende est $500$ et le quotient est $23$. Trouver tous les diviseurs possibles et les restes correspondants. Justifier.
Dans une division euclidienne, le dividende est $500$ et le quotient est $23$. Trouver tous les diviseurs possibles et les restes correspondants. Justifier.
Le $1^{er}$ mars est un lundi. Quel jour de la semaine sera-t-on $100$ jours après le $1^{er}$ mars ? Et $365$ jours après ? Justifier avec des divisions euclidiennes…
Le $1^{er}$ mars est un lundi. Quel jour de la semaine sera-t-on $100$ jours après le $1^{er}$ mars ? Et $365$ jours après ? Justifier avec des divisions euclidiennes par $7$.
Un nombre entier $n$ a pour reste $4$ dans la division euclidienne par $9$ et pour quotient $11$. a) Déterminer $n$. b) Quel est le reste de la division euclidienne de…
Un nombre entier $n$ a pour reste $4$ dans la division euclidienne par $9$ et pour quotient $11$.
- a) Déterminer $n$.
- b) Quel est le reste de la division euclidienne de $n$ par $5$ ?
- c) Quel est le plus petit entier supérieur à $n$ qui est multiple de $9$ ?
Retour au début : $275 = 12 \times 22 + 11$, donc $22$ boîtes pleines et $11$ croissants restants.
L'essentiel
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Division euclidienne de $a$ par $b$ : $a = b \times q + r$ avec $r < b$.
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$a$ est le dividende, $b$ le diviseur, $q$ le quotient, $r$ le reste.
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Pour vérifier : calculer $b \times q + r$ et contrôler que $r < b$.
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Si $r = 0$, $a$ est un multiple de $b$.
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Dans un problème, le quotient compte les paquets complets, le reste ce qui est en trop ; parfois il faut ajouter $1$ au quotient.
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Pour un calendrier, on divise par $7$ et on utilise le reste.