Multiples, diviseurs et critères de divisibilité

Une sauterelle s'entraîne pour une compétition. À chaque saut, elle avance d'exactement $6$ décimètres.

Écrire la distance totale parcourue après $1, 2, 3, 4, 5$ et $10$ sauts. Comment appelle-t-on ces nombres par rapport à $6$ ?

Sachant que l'égalité $15 \cdot 4 = 60$ est vraie, compléter les phrases suivantes avec les mots multiple ou diviseur :

1. a) Le nombre $60$ est ____ de $15$.
2. b) Le nombre $4$ est ____ de $60$.
3. c) Le nombre $60$ est ____ de $4$.
4. d) Le nombre $15$ est ____ de $60$.

Observer le schéma de « saut de nombres » ci-dessous et compléter les phrases avec les mots multiple, diviseur ou divisible :

1. a) $60$ est .................... de $12$.
2. b) $12$ est .................... de $180$.
3. c) $180$ est .................... par $60$.
4. d) Si l'on ajoute le nombre $5$ au schéma, quelle relation aurait-il avec $60$ ?

Manon veut répartir $28$ autocollants entre ses $4$ amis à parts égales.

1. a) Combien d'autocollants chacun recevra-t-il ? En reste-t-il ?
2. b) $28$ est-il divisible par $4$ ?
3. c) $4$ est-il un diviseur de $28$ ?

Identifier lesquels des nombres suivants sont des diviseurs de $24$ en effectuant les divisions nécessaires :

À retenir : un nombre est un diviseur d'un autre si, lorsqu'on les divise, le reste est égal à $0$.

Un graphiste organise une galerie de $30$ icônes carrées identiques pour un site web. Il souhaite les disposer en formant un rectangle complet (sans qu'il reste d'icônes).

1. a) Trouver toutes les façons possibles d'organiser les icônes (par exemple : $1$ ligne de $30$).
2. b) Quelle relation mathématique y a-t-il entre les dimensions de ces rectangles et le nombre $30$ ?
3. c) Si la mise en page impose que le plus petit côté du rectangle compte au moins $3$ icônes, combien d'options reste-t-il ?

Un refuge pour animaux a reçu un don de $48$ boîtes de nourriture pour chats. Il souhaite les ranger dans de petits cartons, de sorte que tous les cartons contiennent le même nombre de boîtes et qu'il n'en reste aucune.

1. a) Écrire tous les diviseurs de $48$.
2. b) Si le responsable veut que chaque carton contienne plus de $5$ boîtes mais moins de $15$, quelles options de rangement a-t-il ? Indiquer le nombre de boîtes par carton et le nombre de cartons nécessaires dans chaque cas.

On considère un nombre entier naturel $n$ qui vérifie les deux propriétés suivantes :

1. $n$ est un multiple commun de $12$ et $15$.

2. $n$ est un diviseur de $360$.

Écrire toutes les valeurs possibles de $n$. Pour chaque valeur trouvée, indiquer le plus petit diviseur (différent de $1$) et le plus petit multiple de $n$ qui soit supérieur à $1\,000$.

Un bibliothécaire doit ranger des livres sur des étagères où il y a exactement $3$ livres par emplacement. Pour savoir rapidement s'il peut remplir les étagères sans qu'il reste de livres, il utilise le critère de divisibilité par $3$.

Calculer la somme des chiffres des nombres suivants et dire lesquels sont divisibles par $3$ :

1. a) $123$
2. b) $401$
3. c) $516$
4. d) $802$

Recopier et compléter le tableau suivant dans le cahier en écrivant OUI ou NON dans chaque case, en appliquant les critères de divisibilité appris :

Remplacer la lettre $A$ par un chiffre pour que le nombre obtenu soit un multiple de $9$. Rappel : la somme de ses chiffres doit être un multiple de $9$.

1. a) $2A5$
2. b) $71A$
3. c) $A08$

Lors d'un contrôle de mathématiques de 6e, Marcos doit classer plusieurs nombres selon les critères de divisibilité et écrit les trois affirmations suivantes sur sa copie :

1. « Le nombre $253$ est divisible par $3$ parce que son dernier chiffre est $3$ ».

2. « Le nombre $410$ est divisible par $4$ parce qu'il se termine par $0$, et comme $10$ est pair, on peut le diviser deux fois par $2$ ».

3. « Le nombre $837$ est divisible par $9$ parce que la somme de ses chiffres est $8 + 3 + 7 = 18$, et $18$ est un multiple de $9$ ».

À vous de jouer :

1. a) Indiquer en justifiant lesquelles des trois affirmations de Marcos sont incorrectes. Expliquer l'erreur de raisonnement commise dans chacune d'elles et la règle correcte qu'il aurait dû appliquer d'après le cours.
2. b) Appliquer les critères adaptés aux nombres $253$ et $410$ et indiquer s'ils sont ou non divisibles par $3$ et par $4$, respectivement.

Un nombre est divisible par $4$ si ses deux derniers chiffres sont des zéros ou forment un multiple de $4$.

Observer les années suivantes et dire lesquelles seraient des « années spéciales » parce qu'elles sont divisibles par $4$ :

$1996, 2000, 2010, 2022, 2024, 2030$

Appliquer le critère de divisibilité par $11$ pour déterminer lesquels des nombres suivants sont des multiples de $11$. Pour ceux qui n'en sont pas, indiquer ce qu'il faudrait leur ajouter pour qu'ils le deviennent :

1. a) $1\,232$
2. b) $5\,049$
3. c) $8\,175$

En arts plastiques, nous créons des motifs avec des tesselles carrées. Pour réaliser un « supercarré », le nombre total de tesselles doit être un carré parfait.

1. a) Si nous avons un pot contenant $80$ tesselles, combien de tesselles restent-il si nous voulons former le plus grand carré possible ?

1. b) Combien de tesselles nous manquerait-il, au minimum, pour pouvoir former le carré suivant, de taille supérieure ?

Trouver la valeur du chiffre manquant, représenté par la lettre $A$, dans chacun de ces nombres pour que la condition indiquée soit vérifiée :

1. a) $24A$ est divisible à la fois par $4$ et par $3$.
2. b) $51A$ est divisible par $11$.
3. c) $A72$ est divisible par $9$ mais pas par $10$.

Un pâtissier a fait cuire une plaque de biscuits. Il sait qu'il y a plus de $70$ biscuits mais moins de $85$. S'il les répartit dans des boîtes de $6$, il n'en reste aucun. S'il les répartit dans des boîtes de $9$, il n'en reste aucun non plus.

1. a) Combien de biscuits a-t-il fait cuire exactement ?
2. b) Justifier la réponse en utilisant les critères de divisibilité par $2$ et par $3$ pour expliquer pourquoi le nombre est divisible par $6$.

Lors d'une convention de jeux vidéo, le nombre de participants est une valeur comprise entre $700$ et $750$. Sachant que ce nombre est divisible à la fois par $3$, par $11$ et par $2$, combien de personnes ont exactement assisté à la convention ? Expliquer comment vous avez écarté les autres possibilités.