Durées et écriture sexagésimale

Le système sexagésimal repose sur le nombre $60$. Effectuer les conversions de temps suivantes :

1. a) Combien de minutes font $3$ heures et $15$ minutes ?
2. b) Une vidéo TikTok dure $150$ secondes. L'exprimer en minutes et secondes (forme complexe).
3. c) Si une série télévisée dure $0,5$ heures, combien de minutes cela fait-il ?

L'entraîneur d'une équipe de natation note les durées des séances dans des unités différentes. Exprimer chaque durée dans l'unité demandée :

1. a) La séance du lundi a duré $1,5$ heures. Combien de minutes cela fait-il ?

1. b) Le meilleur relais de l'équipe a été réalisé en $210$ secondes. Combien de minutes et de secondes cela fait-il ?

1. c) Une nageuse a tenu $2$ minutes et $40$ secondes en apnée. Exprimer ce temps uniquement en secondes.

1. d) La séance du vendredi a duré $2,25$ heures. Combien de minutes cela fait-il ?

Exprimer en secondes les durées suivantes, puis les ranger de la plus grande à la plus petite :

• $t_1 = 2,5\text{ heures}$

• $t_2 = 145\text{ minutes et } 30\text{ secondes}$

• $t_3 = 9\,200\text{ secondes}$

• $t_4 = 2\text{ h } 30\text{ min } 15\text{ s}$

Marc s'entraîne à l'athlétisme et enregistre ses performances avec une application mobile. À la fin d'une séance de course, l'écran de son téléphone indique un temps de $1,45\ h$. Marc note dans son carnet sportif : « Aujourd'hui, j'ai couru pendant 1 heure et 45 minutes ».\n\na) Expliquer en détail quelle erreur commet Marc en interprétant le nombre $1,45\ h$. Dans quel système de numération la partie décimale est-elle exprimée et dans quelle base mesure-t-on habituellement les minutes ?\n\nb) Corriger le calcul de Marc et déterminer la durée exacte de son entraînement sous forme complexe (heures et minutes).

Un tournoi d'e-sport comporte trois phases. La première phase a duré $2\text{ h } 45\text{ min } 15\text{ s}$, la deuxième phase a duré $1\text{ h } 58\text{ min } 50\text{ s}$ et la grande finale a duré $55\text{ min } 20\text{ s}$.

1. a) Quelle a été la durée totale du tournoi sous forme complexe ?
2. b) Si le tournoi a été enregistré en intégralité et que le fichier vidéo occupe $12\text{ MB}$ par minute d'enregistrement, combien de $GB$ occupe environ la vidéo totale ? (Donnée : $1\text{ GB} = 1\,024\text{ MB}$.)

Lors d'un contre-la-montre de cyclisme scolaire, le départ d'une coureuse est enregistré à $10\text{ h } 15\text{ min } 30\text{ s}$ et son arrivée à $11\text{ h } 2\text{ min } 15\text{ s}$.

1. a) Combien de temps a-t-elle mis pour effectuer le parcours ?

1. b) Si le vainqueur de l'épreuve a mis $42\text{ min } 10\text{ s}$, combien de temps sépare notre coureuse de la première place ?

Un marathonien maintient une allure constante de $4\text{ minutes et } 15\text{ secondes}$ par kilomètre parcouru.

1. a) Combien de temps total mettra-t-il pour terminer une course de $15\text{ km}$ ? Exprimer le résultat en heures, minutes et secondes.
2. b) Si la course a commencé à $10:45\text{ h}$, à quelle heure franchira-t-il la ligne d'arrivée ?

Manon a commencé à étudier à $17:45$ et a terminé à $19:10$.

1. a) Combien de temps a-t-elle étudié au total ? (Exprimer le résultat en heures et minutes.)
2. b) Si elle a fait une pause de $15$ minutes au milieu de l'après-midi, combien de temps réel d'étude a-t-elle eu ?

Une famille fait un voyage en train avec une correspondance. Le premier trajet dure $1\text{ h } 45\text{ min } 30\text{ s}$, l'attente à la gare de correspondance est de $50\text{ min } 40\text{ s}$ et le second trajet dure $2\text{ h } 15\text{ min } 50\text{ s}$.

1. a) Combien de temps dure le voyage complet, depuis la montée dans le premier train jusqu'à la descente du second ?

1. b) S'ils sont partis de chez eux à $8:30$ du matin et ont mis $10$ minutes pour arriver à pied à la première gare, à quelle heure sont-ils arrivés à leur destination finale ?

Un satellite de communication orbite autour de la Terre et effectue un tour exact toutes les $103\text{ minutes et } 24\text{ secondes}$. Si le satellite a commencé sa première orbite un lundi à $08:15:00$, à quelle heure exacte, exprimée en heures, minutes et secondes, aura-t-il achevé son quinzième tour ? Indiquer aussi si l'on sera toujours lundi ou si le jour aura changé.

Observer les quatre angles dessinés ci-dessous. Sans utiliser le rapporteur, les classer en aigu, droit, obtus ou plat. Puis les ranger du plus petit au plus grand.

Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut $90^\circ$. Calculer l'angle qui manque à chacun des angles suivants pour être complémentaire :

1. a) $\hat{A} = 35^\circ$
2. b) $\hat{B} = 52^\circ$ $30'$
3. c) $\hat{C} = 89^\circ$

Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut $180^\circ$. Calculer l'angle supplémentaire de chacun des angles suivants :

1. a) $65^\circ$

1. b) $110^\circ$

1. c) $90^\circ$

1. d) $179^\circ$

1. e) $45,5^\circ$

Rappel : deux angles sont complémentaires lorsque leur somme vaut $90^\circ$. Dans l'atelier de technologie, un guide de coupe forme un angle de $67^\circ \ 25' \ 40''$ avec le bord de la table. Pour que la coupe soit perpendiculaire au bord, il faut placer une cale dont l'angle est le complémentaire.

1. a) Calculer l'angle de la cale en exprimant le résultat en degrés, minutes et secondes.

1. b) Si le guide est ensuite réglé à $45^\circ \ 30'$, quel serait alors l'angle de la cale ?

Dans le logo triangulaire d'un club de randonnée, deux des angles du triangle mesurent $45^\circ \ 30'$ et $72^\circ \ 45' \ 30''$.

1. a) Déterminer la mesure du troisième angle en exprimant le résultat en degrés, minutes et secondes.

1. b) Classer le triangle selon ses angles (acutangle, rectangle ou obtusangle) et justifier votre réponse.

Observer la figure du logo, où la valeur du troisième angle est manquante :