Notions de statistique

Une entreprise de jeux vidéo veut savoir quel est le genre préféré des élèves de ton collège. Pour ne pas interroger les $800$ élèves, elle décide de faire une enquête auprès de $10$ élèves de chaque classe du collège.

Identifier les éléments suivants de l'étude statistique :

• Population :

• Échantillon :

• Individu :

Il est parfois impossible d'étudier toute la population, c'est pourquoi on utilise un échantillon. Expliquer dans lequel de ces cas il est obligatoire d'utiliser un échantillon plutôt que d'interroger toute la population :

1. a) On veut connaître la note moyenne du dernier contrôle de mathématiques de ta classe de 6e.
2. b) Une fabrique d'ampoules veut savoir combien d'heures ses ampoules restent allumées avant de griller.
3. c) Le principal du collège veut savoir combien d'élèves sont venus en classe aujourd'hui.
4. d) Un hôpital veut analyser le groupe sanguin de tous les habitants d'une région.

Pour améliorer la qualité des repas à la cantine d'un grand collège de $1200$ élèves, le conseil d'administration décide de demander leur avis aux $5$ premiers élèves de chaque classe qui entrent dans l'établissement le lundi matin. Identifier les éléments suivants de cette étude statistique :

1. a) Population.

1. b) Échantillon.

1. c) Individu.

Identifier la population et l'individu dans chacune des études statistiques suivantes :

• 1. On veut connaître la masse moyenne des pains de $250$ g produits par une boulangerie en une journée.

• 2. On souhaite savoir quelle est la matière préférée des élèves de 6e de toute la France.

• 3. Un vétérinaire étudie le type d'alimentation des chats qui vivent dans une colonie urbaine de son quartier.

• 4. Une entreprise d'ampoules veut savoir combien d'heures ses ampoules basse consommation restent allumées avant de griller.

Un fabricant de téléphones portables veut tester la résistance de l'écran d'un nouveau modèle. L'usine produit $10\,000$ téléphones par jour. Pour l'étude, on sélectionne $50$ téléphones et on les laisse tomber à plusieurs reprises d'une hauteur de $1,5$ mètres jusqu'à ce que l'écran se brise, en notant combien de chutes chacun supporte.

• a) Expliquer pourquoi, dans ce cas, il est strictement nécessaire d'utiliser un échantillon plutôt que d'étudier toute la population.

• b) Identifier la variable étudiée et la classer.

• c) Que se passerait-il pour la production si le fabricant décidait de ne pas utiliser d'échantillon et d'analyser chaque individu de la population ?

Un fabricant d'ampoules LED à Orléans produit $20\,000$ unités chaque jour. Pour garantir la qualité, il doit vérifier combien d'heures une ampoule reste allumée avant de griller (un essai qui détruit le produit testé). Par ailleurs, dans une école rurale regroupée de $24$ élèves au total, l'équipe enseignante souhaite connaître l'avis de ses élèves sur la destination de la sortie de fin d'année.

1. a) Pour chacun des deux cas, comparer les avantages et les inconvénients d'un recensement et d'un échantillon. Justifier lequel des deux modes d'étude est le seul possible ou le plus recommandé dans chaque situation, en tenant compte du coût, du temps et de la destruction éventuelle du produit.
2. b) Pour le contrôle de qualité des $20\,000$ ampoules, l'équipe d'ingénieurs hésite entre deux méthodes pour choisir un échantillon de $100$ ampoules par jour :

• Méthode 1 : choisir les $100$ premières ampoules qui sortent de la machine à 6 h du matin.

• Méthode 2 : choisir au hasard $1$ ampoule dans chaque lot de $200$ fabriqué au cours des trois équipes de travail de la journée.

Choisir la méthode la plus adaptée pour que l'échantillon soit représentatif et justifier ce choix en expliquant quelles sources d'erreur ou de biais présente la méthode écartée.

Un célèbre influenceur veut savoir ce que pensent les adolescents français de la nouvelle limite de temps sur un réseau social. Pour cela, il publie un sondage dans ses « stories » Instagram pendant 24 heures. $15\,400$ personnes y participent.

1. a) Identifier la population étudiée et l'échantillon utilisé.
2. b) Pensez-vous que l'échantillon soit représentatif de la population ? Justifier la réponse en analysant deux facteurs possibles qui peuvent fausser les résultats (biais).
3. c) Proposer une méthode plus fiable pour choisir un échantillon de $500$ individus qui représente réellement tous les adolescents de France.

Analyser la situation suivante : la mairie d'une ville veut savoir si les habitants sont satisfaits de la nouvelle piste cyclable. Pour économiser, elle décide d'interroger uniquement les personnes qui circulent sur la piste cyclable un samedi matin.

1. a) L'échantillon est-il aléatoire ?
2. b) Quel type de biais cette étude présentera-t-elle selon vous ? Les résultats surestimeront-ils ou sous-estimeront-ils la satisfaction générale de la ville ?
3. c) Proposer une façon de choisir l'échantillon qui inclue des personnes n'utilisant pas le vélo afin que l'étude soit objective.
4. d) Si la variable est « Degré de satisfaction (Pas du tout, Peu, Beaucoup) », de quel type de variable s'agit-il ? Pourrait-on calculer la moyenne de ces données ? Justifier pourquoi.

Classer les variables statistiques suivantes en qualitatives (si elles expriment une qualité ou une caractéristique) ou quantitatives (si elles s'expriment par un nombre) :

1. a) Le nom des applications les plus utilisées sur le téléphone de tes amis.
2. b) Le nombre de frères et sœurs de chaque élève de ta classe.
3. c) La marque des chaussures de sport portées par les joueurs d'une équipe.
4. d) La température maximale atteinte dans ta ville chaque jour de cette semaine.
5. e) Le sport préféré des membres d'un club d'athlétisme.

Parmi les variables quantitatives, on distingue les variables discrètes (lorsqu'elles prennent des valeurs isolées, en général des nombres entiers) et les variables continues (lorsqu'elles peuvent prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle, comme les nombres décimaux). La figure montre la différence : en haut, des valeurs isolées ; en bas, un morceau de droite graduée où toute valeur est possible, y compris les décimaux.

Classer ces variables en discrètes ou continues :

1. a) Le nombre de buts marqués par une équipe à chaque match de championnat.

1. b) Le temps exact mis par un nageur pour parcourir $50$ mètres.

1. c) Le nombre de livres dans les cartables des élèves.

1. d) La taille des joueurs de l'équipe de France de basket-ball.

Un streamer connu veut savoir quel est le jeu vidéo préféré de ses abonnés en France. Pour cela, il réalise un sondage rapide pendant un direct auquel participent $1500$ personnes. Classer les variables suivantes recueillies dans l'étude en qualitatives ou quantitatives :

• a) Titre du jeu vidéo préféré.

• b) Nombre d'heures de jeu par semaine.

• c) Console ou plateforme utilisée (PC, PS5, Switch, etc.).

• d) Somme d'argent dépensée en « skins » ou en passes de combat par mois.

• e) Note donnée au direct de 1 à 10.

Une boutique de vêtements en ligne veut connaître le degré de satisfaction de ses clients (Très insatisfait, Insatisfait, Neutre, Satisfait, Très satisfait).

• a) Classer cette variable. Est-elle quantitative ou qualitative ?

• b) Même si l'on utilise des mots, on attribue parfois des nombres (de $1$ à $5$) pour calculer la moyenne. Pensez-vous que cela rende la variable quantitative ? Justifier la réponse.

• c) Si la boutique envoie l'enquête à $500$ clients ayant acheté hier, qui est l'« individu » dans cette étude ?

Classer les variables statistiques suivantes en qualitatives ou quantitatives. Pour les quantitatives, se demander s'il est pertinent d'effectuer des opérations arithmétiques (comme la moyenne) sur leurs valeurs :

1. a) Le code postal du domicile des élèves d'un collège.
2. b) Le numéro de série des ordinateurs du CDI.
3. c) La température moyenne quotidienne relevée dans la cour du collège pendant le mois de janvier.
4. d) Le numéro de maillot des joueurs d'une équipe de basket.
5. e) Le temps, exprimé en secondes, que met un groupe de nageurs pour traverser une piscine de $50$ mètres.

Remarque : Se demander si le « nombre » joue le rôle d'une étiquette ou d'une véritable mesure.

Imaginer que l'on veut réaliser une étude sur les habitudes de lecture des adolescents de ta ville. Donner un exemple de :

1. Une question dont la réponse est une variable qualitative.

2. Une question dont la réponse est une variable quantitative discrète.

3. Une question dont la réponse est une variable quantitative continue.

Lucie a classé les variables statistiques suivantes, relevées dans la fiche médicale de son collège, mais son professeur lui a signalé qu'elle a commis deux erreurs conceptuelles :

1. Code postal du domicile : Lucie affirme que c'est une variable quantitative discrète « parce qu'il s'écrit avec des nombres et n'a pas de décimales ».

2. Nombre de matières validées : Lucie affirme que c'est une variable quantitative discrète « parce qu'on les compte avec des entiers naturels ($0, 1, 2...$) ».

3. Couleur des yeux : Lucie affirme que c'est une variable qualitative « parce qu'elle décrit une qualité et non une quantité ».

4. Taille de l'élève : Lucie affirme que c'est une variable quantitative discrète « parce que la toise de l'infirmerie indique $154\text{ cm}$, qui est un nombre entier sans virgule ».

Identifier les deux erreurs commises par Lucie, expliquer en détail pourquoi son raisonnement est incorrect dans chaque cas et classer correctement les deux variables en justifiant la différence entre un code numérique et une mesure continue.

Le comité d'organisation de la journée de la jeunesse de ta commune veut connaître les préférences des $400$ élèves de 6e de la localité. On t'a chargé de rédiger quatre questions pour l'enquête, chacune devant correspondre à un type précis de variable statistique :

1. a) Écrire une question dont la réponse est une variable qualitative.
2. b) Écrire une question dont la réponse est une variable quantitative discrète (préciser clairement quel élément on compte).
3. c) Écrire une question dont la réponse est une variable quantitative continue (indiquer l'unité de mesure utilisée pour relever la donnée).
4. d) Si le comité décide de distribuer le questionnaire uniquement aux $30$ élèves qui fréquentent l'atelier théâtre municipal, ce groupe de $30$ constitue-t-il la population ou un échantillon ? Expliquer si cette sélection est représentative de tous les élèves de 6e de la commune ou si elle entraînera un biais.

Dans une étude sur les habitudes de lecture des adolescents d'une ville, on définit la variable statistique ainsi : « Nombre de livres lus pendant le dernier été ».

• a) De quel type est cette variable ?

• b) Si l'étude porte sur un échantillon de $200$ jeunes et que la somme de tous leurs livres lus est $450$, que représente la valeur $2,25$ dans ce contexte ?

• c) Inventer trois valeurs possibles que pourrait prendre un individu pour cette variable.

Imaginer que vous voulez réaliser une étude statistique pour convaincre le principal de votre collège que les cours devraient commencer 15 minutes plus tard afin d'améliorer les résultats.

1. a) Définir clairement la population et un échantillon adapté et non biaisé.
2. b) Concevoir trois variables différentes que vous pourriez mesurer : une qualitative, une quantitative correspondant à un dénombrement (nombres entiers) et une autre quantitative correspondant à une mesure (avec des décimales).
3. c) Indiquer quel instrument de recueil de données vous utiliseriez pour chacune (enquête, observation directe ou appareil de mesure).

Un groupe d'amis discute du film à aller voir au cinéma. Ils ont noté leurs préférences :

Aventure, Comédie, Horreur, Aventure, Aventure, Horreur, Comédie, Aventure, Comédie.

Répondre aux questions suivantes sur les notions de base :

1. a) Quelle est la variable statistique étudiée ?
2. b) De quel type est cette variable ?
3. c) Quel est l'effectif (nombre de fois où elle apparaît) de la catégorie « Aventure » ?

Observer le diagramme en barres suivant, qui représente les animaux de compagnie des élèves d'une classe, et répondre en s'appuyant sur les notions apprises :

1. a) Quelle est la taille de l'échantillon (nombre total d'élèves interrogés) ?
2. b) Quelle est la variable étudiée et de quel type est-elle ?
3. c) Quel est l'effectif de la modalité « Chat » ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Observer le schéma suivant qui représente une étude sur la santé des arbres dans un parc naturel comptant $5000$ arbres. L'équipe forestière en a analysé $150$.

• a) Quelle est la taille de la population ?

• b) Quelle est la taille de l'échantillon ?

• c) Si les chercheurs notent si l'arbre est atteint ou non par un parasite, quel type de variable étudient-ils ?

Dans une étude sur la consommation de fruits dans une classe de $30$ élèves, certaines données du tableau des effectifs ont été perdues. On sait que la fréquence ($h_i$) des élèves qui mangent « 3 fruits par jour » est exactement $0,2$ et que l'effectif ($f_i$) de ceux qui mangent « 1 fruit par jour » est le triple de ceux qui n'en mangent « aucun ».

S'il y a $2$ élèves qui ne mangent aucun fruit par jour, compléter en justifiant les données suivantes :

1. a) Combien d'élèves mangent $3$ fruits par jour ?
2. b) Combien d'élèves mangent $1$ fruit par jour ?
3. c) Quel est l'effectif de ceux qui mangent « 2 fruits par jour », sachant que toutes les options précédentes réunies donnent le total de la classe ?

Une enquête a été réalisée sur le nombre d'enfants par famille dans un lotissement de $200$ familles. On sait que $15\%$ des familles ont $3$ enfants ou plus.

1. a) Quel est l'effectif de l'événement « avoir 3 enfants ou plus » ?
2. b) Si l'angle dans un diagramme circulaire pour les familles avec « 1 enfant » est de $144^\circ$, combien de familles ont exactement un enfant ?
3. c) Calculer la fréquence du groupe de familles qui ont « 1 enfant ».

Dans notre vie quotidienne, il se passe beaucoup de choses, mais toutes ne dépendent pas du hasard. Indiquer parmi les situations suivantes lesquelles sont des expériences aléatoires et lesquelles sont déterministes :

1. a) Lancer une pièce en l'air et observer si elle tombe sur pile ou face.
2. b) Calculer le prix de $3$ places de cinéma si chacune coûte $8$ euros.
3. c) Demander à un camarade quelle est sa couleur préférée.
4. d) Lâcher une pierre depuis un balcon et regarder si elle tombe vers le bas.
5. e) Tirer une carte d'un jeu de cartes sans regarder.

Indiquer si les phénomènes suivants sont aléatoires ou déterministes, en justifiant brièvement la réponse :

• a) Savoir s'il pleuvra dans votre ville exactement le jour de votre anniversaire l'année prochaine.

• b) Calculer le prix de $5$ places de cinéma sachant que chacune coûte $8,50$ €.

• c) Prédire le numéro qui sortira en lançant un dé à 10 faces dans un jeu de rôle.

• d) Connaître la note d'un contrôle de mathématiques si vous avez laissé toutes les questions sans réponse.

• e) Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes et obtenir l'as de cœur.

Identifier si les phénomènes suivants sont aléatoires ou déterministes, en expliquant pourquoi dans chaque cas. Pour les phénomènes aléatoires, décrire leur univers :

1. a) Lancer une pierre depuis un balcon et chronométrer le temps qu'elle met pour arriver au sol (en supposant qu'il n'y a pas de vent et que la hauteur est fixe).
2. b) Le numéro qui gagnera le premier prix au tirage de la loterie de Noël.
3. c) Tirer une carte dans un jeu de cartes espagnol et observer si c'est une « figure » (Valet, Cavalier ou Roi).
4. d) Mélanger un acide et une base dans un laboratoire de chimie en suivant une proportion exacte pour obtenir un sel.
5. e) Le temps exact que mettra le prochain bus à arriver à l'arrêt.

Nous réalisons une expérience sur la croissance de plants de tomate sous différents types de lumière. Nous avons $200$ plants au total.

1. a) Si nous décidons d'analyser uniquement les plants situés sur la rangée la plus proche de la fenêtre, étudions-nous la population ou un échantillon ?
2. b) Définir l'individu de cette étude.
3. c) Nous voulons mesurer trois variables : la hauteur du plant en $cm$, la couleur des feuilles (vert foncé, vert clair ou jaunâtre) et le nombre de tomates produites par chaque plant. Classer chaque variable.
4. d) S'agit-il d'une expérience aléatoire ou déterministe ? Justifier la réponse.

Dans un collège, $800$ élèves sont inscrits, répartis de la façon suivante :

• 6e : $240$ élèves.

• 5e : $200$ élèves.

• 4e : $180$ élèves.

• 3e : $180$ élèves.

L'établissement envisage d'installer des casiers individuels et décide de consulter un échantillon de $80$ élèves. Pour les sélectionner, on place un enquêteur à la porte de la cafétéria pendant la récréation ; il interroge les $80$ premiers élèves qui entrent. En examinant les données, on constate que l'échantillon est composé de : $4$ élèves de 6e, $10$ de 5e, $31$ de 4e et $35$ de 3e.

1. a) Estimer et vérifier le biais : avant de calculer des pourcentages, estimer en justifiant si un élève de 6e a eu les mêmes chances d'être choisi qu'un élève de 3e avec cette procédure. Ensuite, vérifier numériquement le déséquilibre en calculant quel pourcentage représente la 6e dans tout le collège ($240$ sur $800$) et quel pourcentage elle représente réellement dans l'échantillon obtenu ($4$ sur $80$). Est-il raisonnable de considérer que l'échantillon est représentatif ?
2. b) Expliquer comment ce biais influence les résultats de l'enquête sur le besoin de casiers, en tenant compte des différences d'emploi du temps, de matières ou de poids des cartables entre les niveaux de début et de fin de collège.
3. c) Si l'on voulait construire un échantillon de $80$ élèves strictement proportionnel à la population de chaque niveau :

1. Estimer mentalement combien d'élèves de 6e il faudrait interroger environ (en observant quelle fraction de $800$ représentent les $240$ élèves).

2. Calculer le nombre exact d'élèves à choisir dans chaque niveau et vérifier que la somme de tous les groupes est exactement égale aux $80$ élèves prévus.

La mairie d'une ville de $60\,000$ habitants veut consulter la population sur le tracé d'un nouveau réseau de pistes cyclables. La ville est divisée en trois quartiers aux caractéristiques démographiques et géographiques très différentes :

• Quartier Centre : $15\,000$ habitants (rues piétonnes et terrain plat).

• Quartier Ensanche : $30\,000$ habitants (grandes avenues planes avec une forte densité de circulation).

• Quartier Colline : $15\,000$ habitants (quartier résidentiel situé sur des collines aux fortes pentes).

Pour réaliser l'étude, on décide d'interroger un échantillon de $600$ citoyens, et trois méthodes d'échantillonnage sont proposées :

• Méthode A : placer deux enquêteurs à la porte du plus grand magasin de vente et de réparation de vélos de la ville pendant une semaine et interroger $600$ clients.

• Méthode B : effectuer un tirage au sort sur les listes électorales pour interroger exactement $200$ personnes dans le quartier Centre, $200$ dans le quartier Ensanche et $200$ dans le quartier Colline.

• Méthode C : effectuer un tirage au sort sur les listes électorales en répartissant les $600$ individus proportionnellement au nombre réel d'habitants de chaque quartier.

1. a) Choisir laquelle des trois méthodes est la plus appropriée pour obtenir des conclusions valables pour l'ensemble de la ville et justifier en détail pourquoi elle garantit la représentativité.
2. b) Analyser de façon critique les deux méthodes écartées :

1. Expliquer le biais de sélection qui invalide la méthode A.

2. Expliquer pourquoi la méthode B n'est ni équitable ni représentative, en indiquant quel quartier est surreprésenté et lequel est sous-représenté par rapport à son poids démographique réel.

1. c) Calculer combien de citoyens de chaque quartier doivent être sélectionnés exactement avec la méthode C pour que l'échantillon reproduise fidèlement la répartition de la population de la ville.

L'INSEE réalise une étude sur la durabilité des logements dans une région qui compte $600\,000$ logements habités. Pour cela, les enquêteurs choisissent au hasard un échantillon de $1\,200$ logements et relèvent les données suivantes pour chacun :

• Type de logement (appartement, maison mitoyenne ou maison individuelle isolée).

• Consommation moyenne d'eau au cours du dernier trimestre (en mètres cubes, $\text{m}^3$).

• Nombre de personnes vivant dans le foyer.

• Température moyenne programmée sur le thermostat en hiver (en degrés Celsius, $^\circ\text{C}$).

• Présence ou non d'un système de tri séparé des déchets organiques (Oui/Non).

1. a) Modéliser la situation en identifiant précisément la population, l'échantillon et l'individu de cette étude statistique.
2. b) Classer chacune des cinq variables relevées : qualitative, quantitative discrète ou quantitative continue. Justifier pourquoi la consommation d'eau et la température sont continues, en les distinguant du nombre de personnes du foyer.
3. c) Supposons que, pour réduire les frais de déplacement, on décide d'interroger les $1\,200$ logements uniquement dans le quartier résidentiel le plus aisé de la capitale. L'échantillon resterait-il représentatif de toute la population étudiée ? Expliquer deux raisons précises pour lesquelles les résultats sur la consommation d'eau et le tri seraient biaisés.