Proportionnalité

En mathématiques, on dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque, si l'on multiplie l'une par un nombre, l'autre est multipliée par ce même nombre. Analyser les situations quotidiennes suivantes et indiquer lesquelles relèvent de la proportionnalité :

1. a) Le nombre d'abonnés d'un streamer et le nombre de likes qu'il reçoit sur une vidéo (en supposant que tous ses abonnés mettent un « j'aime »).
2. b) L'âge d'une personne et sa taille en centimètres.
3. c) Le nombre de boîtes de pizza que vous commandez et le prix total que vous payez (si toutes les pizzas coûtent le même prix).
4. d) La vitesse d'une voiture et le temps qu'elle met pour arriver à destination.
5. e) Les kilogrammes de pommes que vous achetez et l'argent qu'elles coûtent.

Dans votre jeu vidéo préféré, vous pouvez acheter des « gemmes » pour obtenir de nouveaux looks pour votre personnage. On sait que les gemmes ont toujours le même prix unitaire. Compléter le tableau de proportionnalité suivant dans votre cahier pour savoir combien coûtent différentes quantités de gemmes :

Mathis accompagne son père pour acheter des billets pour un festival de théâtre scolaire. Au guichet, ils lisent l'affiche : « $3$ billets coûtent $21\text{ €}$ ». Mathis doit calculer combien coûteront $5$ billets pour toute sa famille et raisonne ainsi : « Comme $5$ billets, c'est $2$ billets de plus que $3$, au prix de $21\text{ €}$ il me suffit d'ajouter $2\text{ €}$. Donc les $5$ billets coûteront $23\text{ €}$ ».

1. a) Expliquer en détail pourquoi le raisonnement additif de Mathis est faux et ce que signifie réellement le fait que le nombre de billets et le prix soient des grandeurs proportionnelles.
2. b) Corriger le calcul en utilisant la méthode du retour à l'unité : déterminer le prix d'un billet et calculer le prix réel que la famille doit payer pour les $5$ billets.

Pour cuisiner des pancakes pour $4$ personnes, il faut exactement $200$ grammes de farine. Si ce week-end vos cousins viennent à la maison et que vous êtes $6$ personnes au total, quelle quantité de farine vous faudra-t-il pour que les pancakes soient parfaits ? Rappel : les quantités de la recette sont proportionnelles au nombre de convives.

Un skater parcourt une piste à vitesse constante. Dans la première partie du circuit, il a parcouru $150$ mètres en $30$ secondes. S'il garde le même rythme pendant tout le trajet :

1. a) Quelle distance parcourra-t-il en $1$ minute ($60$ secondes) ?
2. b) Quel est son coefficient de proportionnalité (combien de mètres parcourt-il par seconde) ?

Un paquet de cartes de la ligue de football contient $6$ cartes, et $3$ de ces paquets coûtent $3,60$ €. Si l'on veut compléter l'album et que l'on décide d'acheter $8$ paquets identiques, combien d'argent dépensera-t-on au total ? Utiliser la méthode de retour à l'unité (calculer d'abord le prix d'un seul paquet).

À la papeterie du quartier, il y a une offre sur le matériel scolaire : un paquet de $3$ cahiers identiques coûte $5,40\text{ €}$. Votre groupe de travail doit acheter $7$ de ces mêmes cahiers pour un projet du collège.

1. a) Avant de faire des calculs avec papier et crayon, estimer mentalement si le prix total des $7$ cahiers sera supérieur ou inférieur à $12\text{ €}$ et entre quels deux nombres entiers d'euros il devrait se situer. Expliquer comment vous êtes parvenu à cette estimation.
2. b) Calculer le coût exact des $7$ cahiers en appliquant le retour à l'unité (en déterminant d'abord le prix de $1$ cahier).
3. c) Comparer la valeur numérique obtenue avec votre estimation et justifier si votre résultat est cohérent avec le prix de départ.

Pour cuisiner une paella géante pour $12\text{ personnes}$, le chef utilise $1,5\text{ kg}$ de riz et $3\text{ litres}$ de bouillon. Si soudain plus de personnes s'inscrivent et qu'ils sont maintenant $18$ en tout, calculer par la méthode de réduction à l'unité quelle quantité de riz et de bouillon le chef aura besoin maintenant.

Pour fêter la fin du trimestre, un groupe d'amis veut acheter des « gemmes » pour son jeu vidéo préféré. Ils ont vu qu'un pack de $1200$ gemmes coûte $14,40\text{ €}$. Si un ami a exactement $21\text{ €}$ d'économies, combien de gemmes pourra-t-il acheter si la relation est proportionnelle ?

Recopier et compléter le tableau de proportionnalité suivant, qui relie la quantité de kilogrammes de peinture à la surface qu'on peut recouvrir. Calculer aussi le coefficient de proportionnalité $k$ exprimé en $m^2/kg$.

Un robinet qui goutte perd environ $1,2\text{ centilitres}$ d'eau toutes les $10\text{ secondes}$. Si on ne le répare pas, combien de litres d'eau aura-t-il gaspillés au bout d'une heure entière ? (Penser à convertir d'abord le résultat dans l'unité demandée.)

Trois agriculteurs ont travaillé à la récolte d'un verger d'orangers proportionnellement au temps que chacun y a consacré. S'ils ont touché $1500\text{ €}$ en tout et que les temps de travail ont été :

• Agriculteur A : $12\text{ heures}$

• Agriculteur B : $18\text{ heures}$

• Agriculteur C : $20\text{ heures}$

Combien d'argent revient à chacun d'eux ?

Observer l'image suivante, qui représente deux balances en équilibre. Sur la première balance, $3$ cubes bleus pèsent exactement $450$ grammes. Sur la seconde, on veut savoir combien pèsent $5$ cubes identiques aux précédents. Calculer la valeur de l'inconnue $x$.

Dans les graphiques de proportionnalité, la relation entre les deux grandeurs est toujours représentée par une droite passant par le point $(0\,;\,0)$. Observer le graphique suivant, qui relie le nombre de stylos achetés et leur coût total. Si $4$ stylos coûtent $6$ €, repérer le point sur le graphique et calculer combien coûteraient $10$ stylos.

Le graphique suivant montre la relation entre le temps pendant lequel une fontaine est allumée et les litres d'eau qu'elle rejette. Observer le point marqué et déterminer combien de litres la fontaine rejettera si elle reste ouverte pendant $15\text{ minutes}$.

Le graphique suivant montre la relation entre le temps de charge d'un nouveau modèle de smartphone et le pourcentage de batterie récupéré. Le fabricant affirme que la charge est proportionnelle au temps pendant les $40$ premières minutes.

1. a) En observant le point mis en évidence, calculer en combien de minutes le téléphone charge $1\%$ de batterie.
2. b) Si le téléphone a actuellement $12\%$ de batterie et que tu dois partir de chez toi dans $18$ minutes, avec quel pourcentage de batterie partiras-tu ?