Exercices: Symétrique d'un point et d'une figure

Sur un quadrillage, la droite $(d)$ est verticale. Le point $A$ est situé à $3$ carreaux à gauche de $(d)$. Le point $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.

1. a) Placer $A'$ : à quelle distance de $(d)$ se trouve-t-il et de quel côté ?

1. b) Quelle est la longueur $AA'$ en carreaux ?

Le segment $[AB]$ mesure $5\text{ cm}$. Son symétrique par rapport à une droite $(d)$ est le segment $[A'B']$.

1. a) Quelle est la longueur de $[A'B']$ ?

1. b) Soit $C$ un point et $C'$ son symétrique par rapport à la droite $(d)$. L'angle $\widehat{ABC}$ mesure $40^\circ$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{A'B'C'}$ ?

Le point $M'$ est le symétrique du point $M$ par rapport à la droite $(d)$.

1. a) Quelle est la nature de la droite $(d)$ pour le segment $[MM']$ ?

1. b) Si $MM' = 8\text{ cm}$ et si $I$ est le point d'intersection de $(MM')$ et de $(d)$, calculer $MI$.

Tracer un segment $[AB]$ de longueur $6\text{ cm}$ et une droite $(d)$ qui ne le coupe pas. Décrire, étape par étape, la construction à l'équerre et au compas du symétrique $A'$ du point $A$ par rapport à $(d)$.

Sur un quadrillage, on place la droite $(d)$ verticale passant par la colonne $x=5$ et les points $A(1\,;\,1)$, $B(2\,;\,4)$ et $C(3\,;\,1)$.

1. a) Donner les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$, symétriques de $A$, $B$ et $C$ par rapport à $(d)$.

1. b) Quelle est la nature du triangle $A'B'C'$ ? Justifier à l'aide du triangle $ABC$ (on pourra remarquer la position de $B$ par rapport au milieu de $[AC]$, puis utiliser une propriété de la symétrie axiale).

Un triangle $ABC$ a pour périmètre $17\text{ cm}$ avec $AB=5\text{ cm}$ et $\widehat{BAC}=70^\circ$. Son symétrique $A'B'C'$ est construit par rapport à une droite $(d)$.

1. a) Donner le périmètre de $A'B'C'$.

1. b) Donner $A'B'$ et $\widehat{B'A'C'}$.

1. c) Les deux triangles ont-ils la même aire ? Justifier.

Les points $A$ et $B$ sont deux villages situés du même côté d'une route rectiligne $(d)$. On veut placer un arrêt de bus $P$ sur $(d)$ de sorte que $AP+PB$ soit le plus petit possible.

1. a) Construire $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.

1. b) Expliquer pourquoi $AP=A'P$ pour tout point $P$ de $(d)$.

1. c) En déduire la position de $P$ et justifier que $AP+PB$ est minimale.

Le point $O$ est sur la droite $(d)$. Le point $M$ est tel que $OM=4\text{ cm}$ et $\widehat{MOd}=30^\circ$ (angle avec la droite $(d)$). Le point $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $(d)$.

1. a) Quelle est la nature du triangle $OMM'$ ? Justifier.

1. b) Calculer la mesure de l'angle $\widehat{MOM'}$.

1. c) Justifier que $(d)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{MOM'}$.

Un losange $ABCD$ a pour diagonales $[AC]$ et $[BD]$. On admet que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont des axes de symétrie du losange.

1. a) Quel est le symétrique du point $B$ par rapport à $(AC)$ ? Justifier.

1. b) Montrer que les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

1. c) Si $AC=10\text{ cm}$ et $BD=6\text{ cm}$, calculer l'aire du losange sachant que l'aire d'un losange vaut $\dfrac{AC\times BD}{2}$.