Aires

Choisir l'unité de mesure la plus adaptée pour exprimer l'aire des objets suivants :

1. a) L'écran d'un smartphone.
2. b) Un terrain de football de Ligue 1.
3. c) La superficie de l'Espagne.
4. d) Le sol de ta chambre.

(Options : $km^2$, $hm^2$, $m^2$, $cm^2$)

Pour un projet d'arts plastiques, Lucas a besoin d'un carton qui mesure exactement $2\,400 \text{ cm}^2$. À la papeterie, le vendeur lui dit que les dimensions sont exprimées en décimètres carrés. Combien de $\text{dm}^2$ Lucas doit-il demander pour son projet ?

Dans une résidence, on va paver une zone commune carrée de $10 \text{ mètres}$ de côté. On utilisera des dalles carrées d'aire $1 \text{ dm}^2$ chacune. Combien de dalles faudra-t-il pour recouvrir toute la zone ?

Mathis veut changer le sol de sa chambre et doit trouver combien de décimètres carrés mesure un tapis de $3,5\text{ m}^2$. Dans son cahier, il écrit la résolution suivante : « Comme pour passer des mètres aux décimètres on descend d'un rang dans le tableau, on multiplie par $10$ ; donc $3,5\text{ m}^2 = 35\text{ dm}^2$ ».\na) Identifier l'erreur commise par Mathis et expliquer avec tes mots (en t'appuyant sur le carré de $1\text{ m}$ de côté) pourquoi, pour les unités d'aire, on ne multiplie ni ne divise par $10$.\nb) Corriger le calcul et trouver la mesure réelle du tapis en décimètres carrés.

Exprimer en mètres carrés, avec une seule unité, la mesure d'aire suivante donnée avec plusieurs unités :

$3 \text{ dam}^2$, $25 \text{ m}^2$ et $75 \text{ dm}^2$

Un agriculteur possède trois parcelles dont les aires sont les suivantes :

• Parcelle A : $0,45 \text{ hm}^2$

• Parcelle B : $5\,200 \text{ m}^2$

• Parcelle C : $48 \text{ dam}^2$

Ranger les parcelles de la plus petite à la plus grande aire en comparant leurs mesures en $\text{m}^2$.

Une mairie planifie la création d'un nouveau parc périurbain. Elle a acheté trois parcelles contiguës dont les aires sont exprimées dans différentes unités :

• Parcelle A : $0,052\text{ km}^2$

• Parcelle B : $140\text{ dam}^2$

• Parcelle C : $8\,500\text{ m}^2$

Exprimer l'aire totale du futur parc en hectares ($ha$).

Un incendie de forêt a touché une zone de montagne. Les informations indiquent que $12\text{ km}^2$ et $45\text{ hm}^2$ de forêt ont brûlé. Pour organiser le reboisement, les techniciens forestiers ont besoin de connaître la surface touchée en ares ($a$) et en centiares ($ca$). Effectuer la conversion dans ces deux unités.

La mairie d'une commune va rénover le sol d'une salle d'exposition de $60\text{ m}^2$ en utilisant des dalles carrées de $50\text{ cm}$ de côté.\na) Avant de calculer avec des formules, faire une estimation justifiée : si chaque dalle mesure un demi-mètre de côté, combien de dalles faut-il pour couvrir un seul mètre carré ($1\text{ m}^2$) ? À partir de cette donnée, estimer mentalement combien de dalles seront nécessaires au total pour la salle.\nb) Calculer l'aire d'une dalle en mètres carrés ($m^2$) et obtenir le nombre exact de dalles nécessaires.\nc) Comparer le résultat exact avec l'estimation initiale et justifier si l'estimation était cohérente et utile.

L'écran d'un nouveau modèle de tablette a pour dimensions $250\text{ mm}$ de haut sur $160\text{ mm}$ de large. Le fabricant affirme que l'aire utile de l'écran est exactement de $4\text{ dm}^2$. L'affirmation du fabricant est-elle exacte ? Justifier la réponse en effectuant les calculs nécessaires en $\text{cm}^2$.

On veut changer le sol d'une cuisine rectangulaire qui mesure $420\text{ cm}$ de long sur $3\text{ m}$ de large. On utilisera des carreaux carrés d'aire $20\text{ dm}^2$ chacun :

1. a) Calculer l'aire totale de la cuisine en $\text{m}^2$.
2. b) Combien de carreaux faudra-t-il pour recouvrir tout le sol ?

Un agriculteur possède un terrain de $3\text{ ha}$, $5\text{ a}$ et $25\text{ ca}$. Il décide de vendre une partie de son terrain pour la construction d'une route. La partie vendue mesure exactement $4\,200\text{ m}^2$. Quelle surface de terrain, exprimée avec plusieurs unités (hectares, ares et centiares), reste-t-il à l'agriculteur ?

Calculer l'aire de la figure colorée suivante en comptant les carreaux du quadrillage. Chaque petit carreau représente une aire de $1 \text{ m}^2$. Exprimer le résultat final en décamètres carrés ($\text{dam}^2$).

Calculer l'aire de la figure irrégulière suivante en la décomposant en carrés et en rectangles. Chaque carreau du quadrillage de fond représente une aire de $100\text{ cm}^2$. Exprimer le résultat final en décimètres carrés ($\text{dm}^2$).

Un artiste veut recouvrir la façade latérale d'un immeuble de panneaux solaires carrés de $50 \text{ cm}$ de côté. La façade est un rectangle de $12 \text{ m}$ de haut et $3,5 \text{ dam}$ de long, mais il faut retirer 8 fenêtres identiques qui mesurent $150 \text{ dm}^2$ chacune. Calculer le nombre total de panneaux solaires à acheter pour recouvrir toute la surface disponible de la façade.

Pour paver une placette en forme de « L », le service des travaux dispose d'un croquis aux angles droits avec les mesures suivantes : une base totale de $60\text{ m}$, une hauteur totale de $40\text{ m}$, et un angle rentrant vide qui mesure $25\text{ m}$ de large sur $15\text{ m}$ de profondeur.\nDeux techniciens de la mairie débattent sur la façon de calculer son aire en hectares ($ha$) :\n- Méthode de Laura (additive) : Décomposer la figure en deux rectangles intérieurs qui ne se chevauchent pas, calculer l'aire de chacun en $\text{m}^2$, les additionner et convertir le total en hectares.\n- Méthode de Charles (soustractive) : Calculer l'aire du rectangle complet qui envelopperait toute la figure ($60\text{ m} \times 40\text{ m}$), soustraire l'aire du rectangle vide qui ne fait pas partie de la place et convertir le résultat final en hectares.\na) Appliquer en détail les deux méthodes et vérifier si elles conduisent exactement au même résultat.\nb) Analyser et justifier laquelle des deux méthodes demande le moins d'opérations et présente le moins de risque d'erreur dans l'interprétation des mesures manquantes.\nc) Un troisième technicien propose de convertir toutes les longueurs en hectomètres ($hm$) avant de multiplier pour obtenir directement des hectares. Justifier si cette troisième voie est plus ou moins avantageuse pour effectuer les opérations avec des nombres décimaux.