Polygones

Imaginer que vous concevez les icônes d'une nouvelle application mobile. Pour que le design soit propre, le programmeur vous demande d'identifier lesquelles de ces figures sont des polygones et lesquelles n'en sont pas. Justifier brièvement en indiquant quelle caractéristique n'est pas respectée dans les figures qui ne sont pas des polygones.

Dans le polygone suivant, qui représente le plan d'un petit débarras, identifier et compter les éléments suivants :

• Nombre de sommets.

• Nombre de côtés.

• Nombre d'angles intérieurs.

• Tracer une diagonale joignant le sommet $A$ au sommet $C$ (recopier d'abord le polygone dans votre cahier).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Classer les polygones suivants selon leur nombre de côtés en utilisant les noms appropriés (triangle, quadrilatère, pentagone, etc.) :

Un polygone est convexe si tous ses angles intérieurs sont inférieurs à $180^\circ$ et non convexe s'il en a au moins un supérieur à $180^\circ$. Observer ces deux flèches de signalisation et indiquer laquelle est non convexe et laquelle est convexe.

Une piste de skate a le profil latéral représenté sur le dessin suivant. Observer la figure et répondre en justifiant aux questions suivantes :

• S'agit-il d'un polygone concave ou convexe ? Pourquoi ?

• Indiquer le nombre de côtés, de sommets et de diagonales au total de ce polygone.

Pour qu'un polygone soit régulier, tous ses côtés doivent avoir la même longueur et tous ses angles doivent être égaux. Observer les figures suivantes d'un jeu vidéo et déterminer laquelle remplit les conditions pour être un polygone régulier.

Pour un projet de robotique, une plaque métallique doit avoir la forme d'un hexagone. Le fabricant affirme que la plaque est « équiangle » (tous ses angles intérieurs sont égaux), mais qu'elle n'est pas « équilatérale » (ses côtés n'ont pas tous la même longueur).

• Cet hexagone est-il un polygone régulier ? Justifier la réponse à partir de la définition.

• Si la plaque a 6 côtés, quelle doit être la somme des mesures de tous ses angles intérieurs ?

• Quelle est la valeur de chacun de ses angles intérieurs ?

Calculer le périmètre de la parcelle de jardin suivante sachant que ses côtés mesurent les valeurs indiquées sur le dessin. Rappel : le périmètre est la somme des longueurs de tous ses côtés.

Calculer le périmètre d'un pentagone irrégulier sachant qu'il a deux côtés de $8\text{ cm}$ chacun, deux autres côtés qui mesurent le double des précédents, et un dernier côté qui mesure la moitié de la somme des quatre autres. Ce pentagone pourrait-il être régulier ? Expliquer pourquoi.

Une diagonale est un segment qui joint deux sommets non consécutifs d'un polygone. Observer le pentagone (5 côtés) du dessin et tracer toutes les diagonales possibles issues du sommet marqué en orange. Combien de diagonales au total pensez-vous qu'un pentagone possède si on les trace toutes ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un groupe d'ingénieurs conçoit une nouvelle antenne de communication en forme d'heptagone convexe. Pour renforcer la structure, ils doivent placer des câbles de renfort reliant tous les sommets entre eux, mais qui ne soient pas les côtés de l'antenne. Combien de câbles de renfort (diagonales) devront-ils installer au total ? Dessiner le polygone et tracer toutes les diagonales issues d'un seul sommet pour vous aider à raisonner.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Huit amis s'assoient autour d'une table ronde pour jouer à un jeu de rôle. Chaque joueur doit avoir un « lien magique » (une corde de couleur) avec tous les autres joueurs de la table, sauf avec ceux qui sont assis juste à sa gauche et à sa droite. Si l'on considère que les joueurs sont les sommets d'un octogone :

1. a) Quel élément du polygone les cordes des « liens magiques » représentent-elles ?

1. b) Calculer le nombre total de cordes qu'il y aura sur la table.

Sur la figure, on a dessiné, pour le joueur P₁, ses deux voisins (points rouges, avec lesquels il n'a pas de lien) et ses liens magiques (lignes orange).

Vous disposez de trois baguettes rigides pour construire un triangle. La première mesure $15 \text{ cm}$ et la deuxième $8 \text{ cm}$. La longueur de la troisième est $x$.

1. a) Quelle est la mesure minimale (en nombre entier de centimètres) que doit avoir la troisième baguette pour pouvoir former le triangle ?

1. b) Quelle est la mesure maximale (en nombre entier de centimètres) qu'elle pourrait avoir ?

1. c) Si la troisième baguette mesurait exactement $17 \text{ cm}$, quel type de triangle obtiendriez-vous d'après ses angles ? (Indice : vérifier si la relation $a^2 = b^2 + c^2$ est satisfaite.)

On sait que la somme des angles d'un triangle quelconque vaut toujours $180^\circ$. Dans le quadrilatère $ABCD$ de la figure, on a tracé la diagonale $AC$ (en pointillés), qui le partage en deux triangles : $ABC$ (en orange) et $ACD$ (en bleu). En vous appuyant sur cela, que pensez-vous que vaut la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère quelconque ? Justifier la réponse.

Dans un jeu vidéo de construction, un joueur a conçu une parcelle en forme de quadrilatère irrégulier pour y placer un potager. En mesurant les angles intérieurs avec un outil du jeu, il obtient les valeurs suivantes : $115^\circ$, $82^\circ$ et $96^\circ$. Le quatrième angle est masqué par un bug de l'interface. Calculer la valeur de cet angle sachant que la somme des angles intérieurs de n'importe quel quadrilatère est toujours la même.

Le diaphragme d'un appareil photo professionnel est formé de lamelles qui, en se refermant, laissent une ouverture en forme d'octogone régulier.

• Calculer la mesure de l'angle au centre de cet octogone.

• Calculer la mesure de chacun de ses angles intérieurs.

• Si l'appareil avait un diaphragme à 10 côtés (décagone régulier), l'angle au centre serait-il plus grand ou plus petit ? Justifier la réponse.

Un décorateur conçoit une mosaïque moderne avec des pièces en forme de pentagone régulier. En essayant de joindre trois pièces en un même point (sommet commun), il s'aperçoit qu'il reste un petit espace vide.

• Calculer la mesure de l'angle intérieur d'un pentagone régulier.

• Sachant qu'un tour complet autour d'un point mesure $360^\circ$, combien de degrés mesure l'espace laissé libre lorsqu'on joint trois pentagones ?

Un architecte conçoit une verrière en forme de polygone régulier. On sait que la somme de tous ses angles intérieurs est exactement de $1080^\circ$. Cependant, à cause d'une erreur de fabrication, l'un des angles intérieurs est $5^\circ$ plus grand qu'il ne devrait l'être.

1. Combien de côtés la verrière d'origine possède-t-elle ?

2. Si les autres angles restent identiques, combien mesure l'angle défectueux ?

3. Est-ce encore un polygone régulier ? Justifier la réponse à partir de la définition d'un polygone régulier.

Un parc pour enfants a la forme d'un pentagone irrégulier. Ses angles intérieurs sont $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ et $90^\circ$.

1. Calculer la mesure du cinquième angle.

2. Ce parc peut-il être un pentagone convexe ? Justifier la réponse.

3. Si l'angle de $90^\circ$ se trouve entre deux côtés de $12 \text{ m}$ et $16 \text{ m}$, quelle serait la longueur du segment qui relie les extrémités de ces deux côtés ? (Utiliser le théorème de Pythagore.)