Figures composées et problèmes de mesure

La figure représente une maison formée d'un rectangle de $8$ m de large et $5$ m de haut et d'un toit triangulaire de $3$ m de hauteur.

1. a) Calculer l'aire de la partie rectangulaire.
2. b) Calculer l'aire du toit triangulaire.
3. c) Quelle est l'aire totale de la façade ?

Un « T » géant pour un photocall est formé de deux rectangles : la barre supérieure, de $120$ cm de long et $30$ cm de haut, et le pied vertical, de $90$ cm de haut et $30$ cm de large, fixé en dessous et centré.

1. a) Calculer l'aire totale du panneau.
2. b) Si le matériau coûte $8,50\ \text{€}$ le mètre carré, combien coûte le panneau ? Exprimer d'abord l'aire en $\text{m}^2$.

Sur un mur, on veut réaliser une fresque en forme de lettre « L » formée de deux rectangles : l'un vertical de $3$ m de haut et $0,8$ m de large, et l'autre horizontal de $1,6$ m de long et $0,8$ m de haut qui part vers la droite depuis le bas du premier, sans le chevaucher.

1. a) Dessiner un schéma et calculer l'aire totale de la fresque.
2. b) La peinture de la fresque s'achète en pots qui couvrent $2\ \text{m}^2$ chacun. Combien de pots faut-il ?
3. c) Quel est le périmètre extérieur de la fresque ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le cadre de la figure est un rectangle de $30$ cm sur $24$ cm, et la photo qu'il contient mesure $24$ cm sur $18$ cm.

1. a) Calculer l'aire du rectangle extérieur et celle de la photo.
2. b) Quelle est l'aire du cadre (la zone orange) ?
3. c) Quelle est la largeur du cadre dans sa partie supérieure ? Expliquer comment vous l'avez calculée.

On veut peindre un mur rectangulaire de $5$ m de large et $2,5$ m de haut qui comporte une fenêtre de $1,5$ m sur $1,2$ m.

1. a) Quelle surface faut-il peindre ?
2. b) Un pot de peinture permet de couvrir $10\ \text{m}^2$ et coûte $24,90\ \text{€}$. Combien de pots faut-il pour donner deux couches de peinture ? Combien coûteront-ils ?

La cour commune d'un immeuble a la forme d'un « L ». On peut la décrire géométriquement comme un grand rectangle de $12\text{ m}$ de long sur $8\text{ m}$ de large auquel il manque, dans un coin, un rectangle de $5\text{ m}$ de long sur $3\text{ m}$ de large occupé par le local des compteurs.

1. a) Méthode 1 (par soustraction) : calculer l'aire de la cour en retranchant l'aire du rectangle manquant à l'aire du grand rectangle.
2. b) Méthode 2 (par décomposition) : partager mentalement la cour en deux rectangles par une coupe rectiligne. Écrire les dimensions des deux rectangles choisis, calculer leurs aires séparément et les additionner pour vérifier que l'on obtient le même résultat.
3. c) Si l'on vous demandait de calculer le périmètre extérieur de toute la cour, l'un des calculs d'aire précédents vous sert-il directement ou faut-il procéder autrement ? Expliquer quelle méthode vous a semblé la plus pratique pour l'aire et pourquoi.

Une piscine rectangulaire de $10$ m de long et $4$ m de large est entourée d'une allée de $1,5$ m de large.

1. a) Quelles sont la longueur et la largeur totales de l'ensemble (piscine et allée) ? Faire un schéma dans le cahier.
2. b) Calculer l'aire de l'allée.
3. c) Les dalles de l'allée coûtent $32,90\ \text{€}$ le mètre carré, posées. Combien coûtera le pavage ?
4. d) Par sécurité, on veut clôturer tout le bord extérieur. Si la clôture coûte $14,50\ \text{€}$ le mètre, quel est le coût total des travaux (pavage et clôture) ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le jardin de la figure est un rectangle de $12$ m sur $8$ m avec une piscine circulaire de $2$ m de rayon à l'intérieur.

1. a) Calculer l'aire du jardin entier.
2. b) Calculer l'aire de la piscine (prendre $\pi \approx 3,14$).
3. c) Quelle surface reste-t-il en pelouse ?
4. d) Combien de mètres de clôture faut-il pour entourer tout le jardin ?

La figure représente une piste d'athlétisme formée de deux lignes droites de $80$ m et de deux demi-cercles de $20$ m de rayon aux extrémités.

1. a) Quelle est la longueur de chacun des deux virages ? Rappel : deux demi-cercles identiques forment un cercle complet (prendre $\pi \approx 3,14$).
2. b) Calculer la longueur totale d'un tour complet de piste par son bord intérieur.
3. c) Les couloirs de la piste mesurent $1,22$ m de large. Un coureur parcourt-il la même distance dans le couloir intérieur et dans le couloir extérieur ? Justifier sans faire de calculs.

La mairie d'une commune va refaire le revêtement de la piste de patinage du complexe sportif. La piste est formée d'un rectangle central de $25\text{ m}$ de long sur $12\text{ m}$ de large, et de deux zones semi-circulaires accolées à ses deux côtés les plus courts (chaque demi-disque a un diamètre de $12\text{ m}$, c'est-à-dire un rayon de $6\text{ m}$).

Pour protéger le sol, on appliquera une résine synthétique avec les caractéristiques techniques suivantes :

• Il faut $0,4\text{ kg}$ de résine par mètre carré de piste.

• Le produit n'est vendu qu'en bidons de $10\text{ kg}$.

• Chaque bidon coûte $45,80\text{ €}$.

(Prendre $\pi \approx 3,14$.)

1. a) Quelle figure géométrique complète forment ensemble les deux extrémités semi-circulaires ? Calculer l'aire totale de la piste de patinage.
2. b) Combien de kilogrammes de résine faut-il au minimum pour couvrir toute la surface ?
3. c) Combien de bidons entiers la mairie doit-elle acheter et quel sera le coût total de la peinture ?

Dans un collège, on va rénover une cour rectangulaire en terre de $24\text{ m}$ de long sur $16\text{ m}$ de large pour la transformer en espace vert avec du gazon naturel. À l'intérieur de cet espace, trois zones ne seront pas engazonnées :

• Un espace circulaire autour d'un olivier centenaire, de rayon $3\text{ m}$.

• Deux zones carrées identiques pour des tables d'échecs, de $4\text{ m}$ de côté chacune.

(Prendre $\pi \approx 3,14$.)

1. a) Modéliser la situation et calculer la surface nette de terrain qui sera recouverte de gazon.
2. b) Autour du cercle de l'olivier et des deux zones carrées, on posera une bordure de protection en caoutchouc pour séparer la terre du gazon. Combien de mètres linéaires de bordure faut-il au minimum ? Arrondir au mètre entier supérieur.
3. c) On reçoit deux devis d'entreprises locales :

• L'entreprise VerdeSur facture un forfait de $750\text{ €}$ pour le transport et le nivellement du sol, plus $8,50\text{ €}$ par mètre carré de gazon installé.

• L'entreprise EcoJardín ne facture pas de forfait, mais facture $11,00\text{ €}$ par mètre carré de gazon installé.

Laquelle des deux entreprises est la plus économique pour le collège ? Justifier la décision en comparant les montants totaux des deux options.

Pour signaler un sentier de randonnée, Lucie conçoit une plaque en bois en assemblant deux pièces sans chevauchement : un carré de $10\text{ cm}$ de côté et, sur son côté supérieur, un triangle équilatéral également de $10\text{ cm}$ de côté.

Pour commander une bande métallique qui protège tout le bord extérieur, Lucie fait le calcul suivant :

« Périmètre du carré = $4 \cdot 10 = 40\text{ cm}$. Périmètre du triangle = $3 \cdot 10 = 30\text{ cm}$. Donc il me faut $40 + 30 = 70\text{ cm}$ de bande métallique ».

1. a) Expliquer en détail quelle erreur conceptuelle Lucie a commise et quelle partie des figures elle a comptée en trop.
2. b) Combien de centimètres de bande métallique faut-il réellement pour entourer le contour extérieur de la plaque ?
3. c) Si la hauteur du triangle équilatéral est d'environ $8,7\text{ cm}$, calculer l'aire totale de bois de la plaque.

Un écusson en bois a la forme d'un pentagone : c'est un rectangle de $20$ cm de large et $24$ cm de haut, prolongé dans sa partie inférieure par un triangle de base $20$ cm (la pointe de l'écusson) et de $10$ cm de hauteur.

1. a) Calculer l'aire de l'écusson.
2. b) On veut border tout le contour avec un ruban métallique. Les côtés inclinés de la pointe mesurent $14,1$ cm chacun. Combien de centimètres de ruban faut-il ?

Dans un carré de carton de $8$ cm de côté, on découpe un petit carré de $2$ cm de côté.

1. a) Calculer l'aire de la figure obtenue. Dépend-elle de l'endroit où l'on découpe ?
2. b) Calculer le périmètre de la figure obtenue dans chacun des trois cas suivants : la découpe est faite dans un coin, au milieu d'un côté et à l'intérieur du carton (un trou).
3. c) Un élève affirme : « Si l'on enlève un morceau à une figure, son aire diminue, donc son périmètre diminue toujours aussi ». Est-ce vrai ? Utiliser les résultats de la question b) pour raisonner.

Une pièce rectangulaire de $4,5$ m sur $3,2$ m a deux portes de $0,9$ m de large et un placard encastré qui occupe $1,8$ m de l'un des murs.

1. a) Calculer le périmètre de la pièce.
2. b) Combien de mètres de plinthe faut-il ? Rappel : on ne pose pas de plinthe dans les embrasures des portes ni à l'emplacement du placard.
3. c) La plinthe coûte $6,75\ \text{€}$ le mètre et ne se vend qu'en baguettes de $2$ m. Combien de baguettes faut-il acheter et combien coûteront-elles ?

Dans le quadrillage de la figure, chaque carreau représente $1\ \text{cm}^2$. Le contour bleu est le bord d'un petit lac.

1. a) Compter les carreaux qui sont entièrement à l'intérieur du lac.
2. b) Compter ceux que le lac ne touche qu'en partie.
3. c) Donner une estimation de l'aire du lac en expliquant le critère utilisé.

En SVT, on a conçu sur un plan quadrillé une petite mare pour amphibiens dans le potager du collège. Sur le plan, chaque carreau du quadrillage représente $1\text{ m}^2$.

La mare a une forme irrégulière et est entièrement contenue dans une zone rectangulaire de $5\text{ m}$ de long sur $4\text{ m}$ de large. En comptant sur le plan, la mare recouvre entièrement $9$ carreaux et touche ou recouvre partiellement $8$ autres carreaux.

1. a) Avant de calculer, faire une estimation : la surface de la mare peut-elle être de $22\text{ m}^2$ ? Justifier la réponse en regardant uniquement le rectangle qui la contient.
2. b) Indiquer entre quelles deux valeurs (minimum et maximum) l'aire réelle de la mare est assurément comprise.
3. c) Appliquer le critère consistant à ajouter aux carreaux entiers la moitié des carreaux partiels pour obtenir une estimation de l'aire. Évaluer si le résultat obtenu est cohérent avec votre analyse de la question a).

Une tache d'encre est tombée sur une feuille quadrillée dont les carreaux mesurent $1\ \text{cm}^2$. En comptant avec soin, la tache recouvre entièrement $14$ carreaux et en touche partiellement $18$ autres.

1. a) Entre quelles deux valeurs l'aire de la tache est-elle assurément comprise ? Justifier la réponse.
2. b) Donner une estimation raisonnable de l'aire et expliquer le critère utilisé.
3. c) Quelle est l'erreur maximale possible sur votre estimation ?

Pour trouver l'aire de la façade d'une maison formée d'un rectangle de $8$ m de large et $5$ m de haut surmonté d'un toit triangulaire de $3$ m de hauteur, une élève a calculé $8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 = 64$ et a répondu $64\ \text{m}^2$.

1. a) Expliquer quelle erreur elle a commise dans le calcul du toit.
2. b) Calculer l'aire correcte de la façade.
3. c) La façade comporte aussi une porte de $2$ m sur $1$ m et une fenêtre carrée de $1,5$ m de côté. Quelle surface faut-il peindre ?

Un parc en forme de trapèze a une grande base de $50$ m, une petite base de $30$ m et une hauteur de $24$ m. À l'intérieur se trouve une aire de jeux triangulaire de $18$ m de base et $12$ m de hauteur ; le reste est de la pelouse.

1. a) Calculer l'aire totale du parc.
2. b) Calculer l'aire consacrée à la pelouse.
3. c) Pour semer la pelouse, il faut $1$ kg de graines pour $40\ \text{m}^2$, et les graines se vendent en sacs de $5$ kg à $22,40\ \text{€}$ le sac. Combien de sacs faut-il acheter et combien coûteront-ils ?

Une entreprise de rénovation va peindre la façade d'un hangar agricole. La façade est formée d'un mur rectangulaire de $10\text{ m}$ de large sur $4\text{ m}$ de haut, surmonté d'un fronton triangulaire de base $10\text{ m}$ et de hauteur $h$ inconnue.

Dans le mur rectangulaire se trouvent une porte d'accès de $3\text{ m}$ de large sur $3\text{ m}$ de haut et deux fenêtres carrées d'aération de $1,5\text{ m}$ de côté chacune. Ni la porte ni les fenêtres ne seront peintes.

1. a) Écrire une expression littérale simplifiée qui représente l'aire nette à peindre en fonction de la hauteur $h$ du toit triangulaire.
2. b) Sur la facture finale, il est indiqué que exactement $46,5\text{ m}^2$ de façade ont été peints. Poser une équation à partir de l'expression précédente et calculer la hauteur $h$ du fronton triangulaire.
3. c) Pour terminer les travaux, on pose une gouttière métallique sur les deux côtés inclinés du toit triangulaire. Si chacun de ces côtés mesure $6,4\text{ m}$, quel est le périmètre extérieur complet de la façade terminée ?

Défi du thème. Conçois ton coin idéal ! Tu vas projeter la rénovation de ta chambre ou d'une pièce de ta maison en appliquant la géométrie plane à une situation réelle.

1. Mesure réelle : Avec un mètre ruban, mesurer la longueur et la largeur de la pièce (on suppose qu'elle est rectangulaire) et obtenir avec précision son périmètre et son aire totale en $\text{m}^2$.

2. Plan à l'échelle : Dans GeoGebra ou sur papier quadrillé, dessiner le nouvel agencement. Il faut obligatoirement y intégrer : une table triangulaire, un tapis quadrilatère et un pouf ou une lampe à base circulaire ou semi-circulaire.

3. Calculs géométriques : Déterminer le périmètre et l'aire de chaque élément plan. Puis déterminer l'aire libre praticable en résolvant le problème des figures composées (en retirant les meubles de la surface totale).

4. Budget et compte rendu : Consulter sur le site d'un magasin de bricolage le prix par $\text{m}^2$ d'un sol vinyle (par exemple, $8,95\text{ €/m}^2$) et calculer le coût pour recouvrir la zone libre. Rédiger un bref compte rendu d'une page avec le plan et les calculs justifiés.

Seront évalués :

• La justesse des mesures réelles et de l'application des formules de périmètres et d'aires avec leurs unités.

• Un tracé géométrique adapté et justifié de triangles, de quadrilatères et de disques.

• La résolution correcte du calcul de l'aire composée et de l'estimation du budget final.