Lieux géométriques

Un jeune entraîne son chien sur un terrain vague. Le chien est attaché à une laisse extensible de $5$ mètres de longueur maximale, fixée à un piquet planté dans le sol. Dessiner et décrire le lieu géométrique formé par les positions que peut occuper le chien s'il garde la laisse toujours tendue (c'est-à-dire étirée au maximum). Choisir une échelle adaptée, par exemple $1$ cm sur le dessin pour $1$ m dans la réalité, et indiquer sur le dessin le piquet et la position du chien.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Deux villages, village A et village B, sont distants de $8$ km, comme le montre la figure. Les autorités veulent construire un arrêt de bus situé exactement à la même distance des deux villages. Sur quelle ligne ou quel lieu géométrique doit-on placer l'arrêt ? Le représenter graphiquement sur votre cahier.

En classe de 3e, le professeur demande de définir et de tracer le lieu géométrique des points situés à la même distance de deux poteaux, $A$ et $B$, distants de $6\text{ m}$. Sergio écrit dans son cahier :\n\n« Le lieu géométrique est le segment de longueur $6\text{ m}$ qui passe exactement par le milieu de $A$ et $B$ et est perpendiculaire à la droite qui les relie ; si l'on sort de ces $6\text{ m}$, les points ne peuvent plus être à la même distance de $A$ et de $B$ car ils seraient trop loin ».\n\na) Identifier les deux erreurs conceptuelles que commet Sergio dans son raisonnement.\nb) Expliquer pourquoi l'éloignement d'un point ne l'empêche pas d'appartenir à ce lieu géométrique et rédiger la définition correcte du lieu géométrique en question.

Dans un parc d'attractions, une nouvelle attraction de « vol suspendu » se déplace de manière à rester toujours à la même distance de deux tours de contrôle fixes, $T_1$ et $T_2$, distantes de $30$ mètres.

1. Identifier de quel lieu géométrique il s'agit et le décrire.

2. Si l'on place les tours aux points $T_1(-15 ; 0)$ et $T_2(15 ; 0)$ d'un plan (unités en mètres), quelle droite décrit la trajectoire de l'attraction ? Donner son équation.

3. L'attraction passe exactement au-dessus d'un local de maintenance situé au point $P(0 ; 20)$. Vérifier que le local est à égale distance des deux tours en calculant les deux distances.

Sur un terrain multisport, deux balises d'entraînement sont placées aux points $A$ et $B$, distantes d'exactement $8\text{ m}$. On veut placer un ballon en une position vérifiant deux conditions à la fois : être à la même distance de $A$ que de $B$, et se trouver exactement à $5\text{ m}$ de la balise $A$.\n\na) Estimer : avant tout calcul ou tracé précis, estimer en justifiant combien de positions possibles existent sur le terrain pour placer le ballon (aucune, une, deux ou une infinité ?). Appuyer la prévision sur la comparaison intuitive entre le rayon de recherche et la distance entre les balises.\nb) Vérifier : identifier précisément quels lieux géométriques correspondent à chaque condition. Calculer ensuite la distance exacte du ballon à la droite passant par $A$ et $B$ en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle approprié, et conclure si l'estimation initiale était correcte.

Dans la cour d'un collège, deux bornes Wi-Fi sont situées aux points $A$ et $B$, distants de $12$ mètres (la figure ne montre que les bornes). Un élève cherche un endroit où s'asseoir pour recevoir la même intensité de signal des deux bornes.

1. a) Décrire quel lieu géométrique forment tous les points situés à la même distance de $A$ et de $B$.

1. b) Si l'élève veut en plus se trouver exactement à $10$ mètres de la borne $A$, en combien de points de la cour pourrait-il se placer ? Expliquer quelles figures géométriques il faudrait tracer pour les trouver.

Deux bouées de sauvetage, $A$ et $B$, flottent en mer, séparées par une distance de $8$ km. Les services de secours veulent installer une plateforme qui remplisse deux conditions à la fois : qu'elle soit à égale distance des deux bouées et qu'elle soit exactement à $5$ km de la bouée $A$.

Sur la carte de la figure, avec des unités en km, les bouées sont en $A(0\,;\,0)$ et $B(8\,;\,0)$.

1. a) Quel lieu géométrique forment les points équidistants de $A$ et de $B$ ? Et les points situés à $5$ km de $A$ ?

1. b) En combien de points distincts la plateforme peut-elle être installée ? Justifier en raisonnant sur la position relative des deux lieux géométriques précédents.

1. c) Calculer les coordonnées de tous les points où la plateforme peut être installée. (Aide : utiliser le théorème de Pythagore.)

Dessiner sur votre cahier un triangle dont les côtés mesurent $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm (la figure donne un schéma du triangle). Tracer ses trois médiatrices et marquer leur point d'intersection. Vérifier, à l'aide du compas, que ce point est le centre d'un cercle passant par les trois sommets. Comment s'appelle ce point ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une mairie veut installer un lampadaire sur une petite place triangulaire dont les sommets sont situés aux points $P$, $Q$ et $R$ (voir la figure). Elle a décidé que le lampadaire doit être à la même distance des trois coins (sommets) de la place pour que l'éclairage soit équilibré.

1. a) Comment s'appelle le point remarquable du triangle où le lampadaire doit être installé ?

1. b) Quelles droites remarquables du triangle faut-il tracer pour localiser ce point ? Faire un schéma.

Une entreprise de logistique veut implanter un entrepôt central desservant trois magasins situés aux points $A(2 ; 6)$, $B(2 ; 0)$ et $C(10 ; 0)$ (unités en km). Pour minimiser les coûts de transport, l'entrepôt doit être à égale distance des trois magasins.

1. a) Déterminer les coordonnées du point où doit se situer l'entrepôt en étudiant les médiatrices.

1. b) Comment s'appelle le lieu géométrique des points situés à une distance de $5$ km du point $B$ ? Le magasin $C$ serait-il dans cette zone ?

On souhaite installer une antenne de téléphonie desservant trois villages situés aux sommets d'un triangle dont les côtés mesurent $13\text{ km}$, $14\text{ km}$ et $15\text{ km}$. L'ingénieur en chef décide que l'antenne doit être placée au centre du cercle circonscrit du triangle pour que la distance aux trois villages soit la même. Si l'aire du triangle est de $84\text{ km}^2$, calculer le rayon de couverture de l'antenne (la distance du centre du cercle circonscrit à n'importe quel sommet), sachant que, dans tout triangle, le rayon du cercle circonscrit vérifie la relation $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{Aire}}$.

Dans un musée, deux murs forment un angle de $70^\circ$. On souhaite installer une vitrine toujours à égale distance des deux murs. Dessiner l'angle et tracer le lieu géométrique où l'on pourrait placer les objets de la vitrine. Comment s'appelle précisément cette ligne ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Deux rues rectilignes d'un quartier, la rue Principale et la rue Secondaire, se croisent en un point $O$ en formant un angle de $60^\circ$, comme on le voit sur la figure. On veut placer une poubelle qui remplisse deux conditions : qu'elle soit à la même distance des deux rues et qu'elle soit exactement à $5$ mètres du point d'intersection $O$. Considérer les rues comme des droites qui se prolongent indéfiniment dans les deux sens.

1. a) Définir le lieu géométrique qui vérifie la première condition (être à la même distance des deux rues).

1. b) Utiliser la notion de lieu géométrique pour expliquer comment déterminer la position exacte de la poubelle. Combien de solutions possibles existe-t-il au total ?

Une nouvelle piste cyclable rectiligne a été conçue au centre d'une ville. Pour des raisons de sécurité, aucune construction n'est autorisée à moins de $15$ mètres de cette piste. Décrire le lieu géométrique qui délimite la zone interdite de part et d'autre de la piste cyclable et dessiner un schéma simple.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors d'un entraînement de football, un ballon est placé en un point équidistant des deux lignes de touche (parallèles entre elles). Si la largeur du terrain est de $60$ mètres :

1. a) Décrire le lieu géométrique où peut se trouver le ballon.
2. b) Si l'entraîneur ajoute une contrainte et précise que le ballon doit être à $20$ mètres d'un piquet de corner donné, faire le schéma de la situation et identifier les points qui vérifient les deux conditions.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Identifier le point remarquable du triangle décrit dans chaque cas :

1. a) C'est le point équidistant des trois sommets du triangle.
2. b) C'est le point où se coupent les trois hauteurs d'un triangle.
3. c) C'est le centre du cercle inscrit dans le triangle (celui qui touche ses trois côtés).
4. d) C'est le centre de gravité du triangle et le point où se coupent les médianes.

Un graphiste crée un logo basé sur un triangle scalène. Il veut inscrire un cercle à l'intérieur du triangle de façon qu'il soit tangent aux trois côtés.

1. a) Quel point remarquable du triangle doit être le centre de ce cercle ?
2. b) Si la distance de ce centre à l'un des côtés est de $3$ cm, quelle sera la distance aux deux autres côtés ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la définition de ce lieu géométrique.

Un jeu de société a été conçu : un pion doit être placé au « centre de gravité » d'une pièce triangulaire en carton pour qu'elle reste en équilibre sur la pointe d'un crayon. Les côtés du triangle mesurent $15$ cm, $20$ cm et $25$ cm. Sur la figure, vous pouvez voir la pièce $ABC$ (avec l'angle droit en $A$), ses trois médianes et le point $P$ où l'on place le pion.

1. a) Comment s'appelle ce point d'équilibre en géométrie ?
2. b) Si l'on trace l'une des médianes de ce triangle, dans quelle proportion le point d'équilibre divise-t-il cette médiane ? Exprimer le rapport entre la distance du point au sommet et la distance du point au côté opposé.