Cercle et disque

Identifier le nom des régions colorées suivantes, situées à l'intérieur ou autour du disque :

• A : région comprise entre deux rayons.

• B : région comprise entre deux cercles concentriques (comme un donut).

• C : la moitié d'un disque.

Sur le dessin suivant d'un cercle de centre $O$, identifier les éléments désignés par des lettres. Indiquer lequel correspond au rayon, lequel au diamètre et lequel à la corde.

Une joueuse de basket s'entraîne aux lancers francs. Le disque peint dans la raquette a un diamètre de $3,6$ mètres. Quelle est la mesure du rayon de ce disque ?

Si une pièce de $2$ euros a un rayon de $12,875$ mm, quel est son diamètre ? Exprimer le résultat en millimètres.

Étant donné un cercle de centre le point $C$ et de rayon $5$ cm, indiquer si les points suivants sont à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le cercle :

• Point $P$ : il est à $3$ cm de $C$.

• Point $Q$ : il est à $5$ cm de $C$.

• Point $R$ : il est à $7$ cm de $C$.

Observer la position des droites $r$, $s$ et $t$ par rapport au cercle de centre $C$. Classer chaque droite comme tangente, sécante ou extérieure.

Le logo d'une nouvelle marque de vêtements de sport est constitué d'un cercle de rayon $r = 5\text{ cm}$ traversé par une droite. Si la droite passe à une distance de $3\text{ cm}$ du centre du cercle, faire un schéma et répondre :

1. a) Quelle est la position relative de la droite par rapport au cercle ?
2. b) Si l'on trace une autre droite passant à exactement $5\text{ cm}$ du centre, comment s'appellerait cette droite ?
3. c) Comment s'appelle le segment de la première droite qui se trouve à l'intérieur du cercle ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Alex veut poser une bande de LED autour du bord de son miroir circulaire. Si le rayon du miroir est de $40$ cm, combien de centimètres de bande LED devra-t-il acheter au minimum ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

La roue d'un VTT a un rayon total de $35\text{ cm}$. Si le cycliste parcourt une distance de $1,1\text{ kilomètres}$ en ligne droite :

1. a) Combien de mètres la bicyclette parcourt-elle en un seul tour de roue ?
2. b) Combien de tours complets la roue aura-t-elle effectués à la fin du parcours ?

(Donnée : $1\text{ km} = 1000\text{ m}$ ; prendre $\pi \approx 3,14$.)

Le service des espaces verts d'une commune dispose d'une clôture flexible d'exactement $31,4\text{ mètres}$ de longueur pour entourer complètement un massif de fleurs circulaire, sans qu'il en reste ni qu'il en manque.

1. a) Écrire la relation mathématique correspondante et calculer la mesure du rayon et du diamètre du massif (utiliser $\pi \approx 3,14$).
2. b) Si un arroseur est placé exactement au centre du massif, à quelle distance maximale de l'arroseur peut se trouver une fleur à l'intérieur de l'enclos ?
3. c) Raisonner géométriquement pour savoir s'il serait possible de tracer à l'intérieur du massif une corde joignant deux points du bord et mesurant $11\text{ mètres}$.

Dans un parc d'attractions, une grande roue a un rayon de $15 \text{ mètres}$. Un capteur détecte qu'une des cabines a parcouru un arc de cercle de longueur $23,55 \text{ mètres}$. De quel angle, exprimé en degrés, la grande roue a-t-elle tourné depuis que la cabine était au point le plus bas ? Prendre la valeur $\pi \approx 3,14$.

Une pizzeria propose une pizza individuelle de $20$ cm de diamètre. Calculer la surface (l'aire) de la pizza pour savoir quelle place elle occupera dans la boîte. (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Pour une fête au collège, Marcos veut calculer la surface d'une nappe circulaire qui recouvre entièrement une table ronde dont le diamètre mesure $120\text{ cm}$. Marcos fait le calcul suivant dans son cahier :

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marcos en appliquant la formule de l'aire.
2. b) Expliquer la relation entre le diamètre et le rayon, et justifier pourquoi le résultat obtenu par Marcos est exactement quatre fois trop grand.
3. c) Corriger le calcul et déterminer l'aire réelle de la nappe (en $\text{cm}^2$, en utilisant $\pi \approx 3,14$).

Une pizzeria propose deux offres pour ses pizzas artisanales :

• Offre A : une pizza familiale de $40\text{ cm}$ de diamètre.

• Offre B : deux pizzas moyennes de $20\text{ cm}$ de diamètre chacune.

Si les deux offres coûtent le même prix, calculer l'aire de pizza dans chaque cas (en utilisant $\pi \approx 3,14$) et déterminer, en justifiant, laquelle des deux offres est la plus avantageuse pour le client.

Dans la conception d'une fenêtre circulaire (rosace), on a inscrit un carré de diagonale $8\text{ décimètres}$, comme le montre la figure. Calculer l'aire de la surface de verre (disque) située à l'extérieur du carré (les zones colorées sur le dessin).

Un arroseur de jardin tourne en décrivant un secteur circulaire de $120^\circ$. Si le jet d'eau porte à une distance de $6\text{ mètres}$, calculer :

1. a) La longueur de l'arc de pelouse mouillé sur le bord extérieur.
2. b) L'aire totale de pelouse arrosée par l'arroseur.

(Utiliser $\pi \approx 3,14$ et arrondir à deux décimales.)

Observer la figure suivante qui représente un « spinner » circulaire avec un roulement central et un anneau extérieur. Le rayon du cercle intérieur est de $2\text{ cm}$ et le rayon du cercle extérieur est de $5\text{ cm}$. Calculer l'aire de la couronne circulaire (la zone bleutée) comprise entre les deux.

Un ingénieur conçoit une pièce mécanique constituée d'un disque métallique de rayon $R = 12 \text{ cm}$. Pour alléger la pièce, il doit effectuer une découpe rectiligne (une corde) située à une distance exacte de $7,2 \text{ cm}$ du centre du disque. À l'aide du théorème de Pythagore, déterminer la longueur totale de cette découpe (la corde) afin de programmer la machine de découpe.

Sur une place circulaire, on a installé une structure avec des câbles. L'un des câbles forme un angle inscrit de $35^\circ$ interceptant un arc de la place.

1. a) Calculer la mesure de l'angle au centre qui intercepte ce même arc.
2. b) Si l'angle au centre était de $110^\circ$, quelle serait la mesure de tout angle inscrit interceptant le même arc ?

Dans la conception d'un nouveau logo pour une entreprise de technologie, on a dessiné un carré de côté $L = 10 \text{ cm}$. En chacun de ses sommets, on a tracé un arc de cercle de rayon égal à la moitié du côté du carré ($5 \text{ cm}$), de sorte que les quatre arcs se touchent aux milieux des côtés. Calculer l'aire de la région colorée au centre du carré (la zone qui n'appartient à aucun des quatre secteurs circulaires).

Un bracelet circulaire en argent a un diamètre extérieur de $8 \text{ cm}$ et un diamètre intérieur de $7 \text{ cm}$. Si l'on veut plaquer à l'or uniquement la partie supérieure du bracelet (un secteur de couronne circulaire d'angle $120^\circ$), quelle est l'aire de la surface qui sera plaquée à l'or ? Arrondir le résultat à deux décimales.