Nombres décimaux : le concept

Dans un magasin de sport, les prix de trois articles ont été écrits en lettres. Écrire dans votre cahier le nombre décimal correspondant à chacun, en utilisant des chiffres :

1. a) Des lunettes de natation qui coûtent huit euros quinze centimes.
2. b) Une balle de tennis qui coûte deux euros huit centimes.
3. c) Un short de course qui coûte douze euros cinquante centimes.

Indiquer la valeur de position (unités, dixièmes, centièmes ou millièmes) du chiffre $7$ dans chacun des nombres suivants :

1. a) $15,72$
2. b) $0,007$
3. c) $7,431$
4. d) $2,075$

Décomposer les nombres décimaux suivants selon leurs ordres d'unités, comme dans l'exemple :

Exemple : $4,25 = 4$ unités + $2$ dixièmes + $5$ centièmes.

1. a) $8,39$
2. b) $12,045$
3. c) $0,614$

Compléter ces équivalences entre ordres d'unités :

1. a) $4$ unités = ____ dixièmes.
2. b) $70$ centièmes = ____ dixièmes.
3. c) $5$ dixièmes = ____ millièmes.
4. d) $300$ millièmes = ____ centièmes.

Dans un laboratoire de sciences, un groupe d'élèves a mesuré la masse d'un échantillon de minéral avec une balance de précision. Le résultat obtenu est de $42,308$ grammes.

Indiquer quelle valeur représente chaque chiffre dans ce nombre :

• Le chiffre $4$ représente les ............................

• Le chiffre $2$ représente les ............................

• Le chiffre $3$ représente les ............................

• Le chiffre $0$ représente les ............................

• Le chiffre $8$ représente les ............................

Écrire aussi sa décomposition en utilisant des unités et des fractions décimales.

Un nombre décimal est composé de $4$ unités, $15$ dixièmes, $27$ centièmes et $105$ millièmes. Effectuer les regroupements nécessaires (par exemple, $10$ millièmes forment $1$ centième, $10$ centièmes forment $1$ dixième et $10$ dixièmes forment $1$ unité) pour écrire correctement le nombre sous sa forme décimale usuelle, puis indiquer combien de millièmes au total contient ce nombre.

Recopier dans votre cahier et utiliser les signes $<$ ou $>$ pour comparer ces couples de nombres décimaux :

1. a) $5,4$ ____ $5,39$
2. b) $0,25$ ____ $0,3$
3. c) $12,07$ ____ $12,071$
4. d) $6,1$ ____ $6,099$

Lucie range des mesures pour un TP de laboratoire au collège et affirme avec assurance : « Le nombre $3,125$ est plus grand que $3,8$ parce que $125$ est bien plus grand que $8$ ».

1. a) Expliquer quelle erreur conceptuelle commet Lucie concernant la valeur de position des chiffres après la virgule.
2. b) Montrer comment comparer correctement les deux nombres en égalisant leur nombre de décimales à l'aide de zéros.
3. c) Écrire la relation d'ordre correcte entre les deux nombres en utilisant le symbole adapté ($<$ ou $>$).

Lors d'une épreuve des championnats de France d'athlétisme des moins de 14 ans, le chronométrage électronique a enregistré les temps de trois athlètes en finale du $80\text{ m}$ plat : Darío a mis $10,18\text{ s}$, Lucas a réalisé $10,2\text{ s}$ et Mateo a arrêté le chrono à $10,105\text{ s}$.

1. a) Écrire les trois temps avec la même précision (au millième de seconde) en ajoutant les zéros nécessaires pour qu'ils aient le même nombre de décimales.
2. b) Classer les athlètes du plus petit au plus grand temps (du plus rapide au plus lent) pour déterminer les places du podium.
3. c) Combien de centièmes de seconde séparent le vainqueur de la course du deuxième ? Justifier votre réponse à partir de la valeur de position de chaque chiffre.

Aux olympiades scolaires, les temps enregistrés lors de la finale du $100$ mètres ont été très serrés. Les juges ont noté les résultats suivants, en secondes :

$12,45$ — $12,408$ — $12,5$ — $12,099$ — $12,41$

Ranger les coureurs du plus rapide (temps le plus petit) au plus lent (temps le plus grand) en utilisant le symbole $<$ et écrire comment se lit le nombre décimal correspondant au vainqueur de la médaille d'or.

Lucie prépare son sac à dos pour une sortie. Elle a acheté une bouteille d'eau pour $1,25$ €, un sachet de fruits secs pour $3,050$ € et une casquette pour $9,9$ €.

1. a) Écrire tous les prix de façon qu'ils aient le même nombre de chiffres après la virgule (en ajoutant des zéros si nécessaire).
2. b) Transformer le prix de la casquette en fraction irréductible.
3. c) Combien de centimes d'euro coûte le sachet de fruits secs ?

Observer la droite graduée suivante et écrire le nombre décimal correspondant à chacune des lettres marquées par un point orange :

Observer la droite graduée suivante où plusieurs points ont été représentés. Identifier quel nombre décimal exact correspond à chacune des lettres marquées ($A$, $B$ et $C$).

L'une des propriétés les plus curieuses des nombres décimaux est que l'on peut toujours trouver un autre nombre entre deux nombres donnés, aussi proches soient-ils.

Représenter graphiquement sur une droite l'intervalle compris entre $0,56$ et $0,57$ et y placer trois nombres décimaux situés entre les deux.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Représenter sur une droite graduée l'intervalle compris entre $5,67$ et $5,68$. Diviser cet intervalle en dix parties égales (chaque partie mesure $0,001$) et placer exactement les nombres $5,674$ et $5,679$.

1. a) Tracer la droite avec l'intervalle divisé en dix parties égales et écrire sous les graduations les nombres correspondants.

1. b) Placer sur votre droite les nombres $5,674$ et $5,679$.

1. c) Trouver un nombre décimal qui a exactement cinq chiffres après la virgule (le dernier chiffre étant différent de $0$) et qui est situé entre $5,674$ et $5,679$.

Associer chaque nombre décimal à sa fraction décimale correspondante :

• Nombres : $0,7$ | $0,07$ | $7,7$ | $0,77$

• Fractions : $\frac{77}{100}$ | $\frac{7}{10}$ | $\frac{7}{100}$ | $\frac{77}{10}$

Si l'on partage un carré en $100$ parts égales, chaque part est un centième ($0,01$). Observer l'image suivante et écrire le nombre décimal que représente la zone colorée en orange :

Un nanomètre ($nm$) équivaut à $0,000000001$ mètre. Si l'épaisseur d'un cheveu humain est d'environ $0,08$ millimètre, exprimer cette épaisseur en mètres à l'aide de puissances de $10$ et déterminer combien de nanomètres mesure le cheveu.

Classer les nombres suivants en indiquant s'il s'agit de décimaux exacts, de périodiques purs ou de périodiques mixtes. Pour les périodiques, indiquer clairement quelle est la période et, s'il y en a une, la partie non périodique :

1. a) $5,08$
2. b) $2,333...$
3. c) $14,252525...$
4. d) $0,1666...$
5. e) $3,141592...$ (ce dernier est-il un nombre décimal périodique ?)

Parfois les fractions nous aident à mieux comprendre le type de nombre décimal que nous avons. Sans effectuer la division posée, classer l'écriture décimale des fractions suivantes comme exacte ou périodique :

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{4}{9}$
3. c) $\frac{13}{6}$
4. d) $\frac{1}{25}$

Ranger par ordre croissant les nombres suivants, mêlant décimaux et fractions. Pour les comparer, transformer tous les éléments en écriture décimale avec au moins quatre chiffres après la virgule :

$1,2\widehat{5}$ ; $\frac{5}{4}$ ; $1,2525...$ ; $1,25$ ; $\frac{11}{9}$