Périmètres et aires de polygones

Calculer mentalement :

1. a) Le périmètre et l'aire d'un carré de $9$ cm de côté.
2. b) Le périmètre d'un losange dont le côté mesure $6,5$ m.
3. c) L'aire d'un rectangle de $8$ m de base et $6$ m de hauteur.

Pour délimiter une zone de jeux rectangulaire dans la cour du collège, on dispose d'un rouleau entier de ruban de balisage de $24\text{ m}$, sans rien couper ni gaspiller (c'est-à-dire que le périmètre de la zone doit être exactement de $24\text{ m}$). Les dimensions des côtés doivent être des nombres entiers de mètres.

1. a) Écrire toutes les combinaisons possibles de base et de hauteur (valeurs entières) que peut avoir ce rectangle.
2. b) Calculer l'aire de chacun des rectangles obtenus à la question précédente.
3. c) Si l'objectif est que les élèves disposent du plus grand espace possible pour jouer à l'intérieur de l'enclos, quelle option faut-il choisir ? Quel nom particulier porte ce rectangle ?

Un lotissement veut clôturer et engazonner une parcelle rectangulaire de $45$ m de long et $28$ m de large.

1. a) Combien de mètres de clôture faut-il si l'on laisse une entrée de $3$ m sans clôture ?
2. b) Si la clôture coûte $12,50\ \text{€}$ le mètre posé, quel est le budget pour fermer la parcelle ?
3. c) Le gazon est vendu en rouleaux de $5\ \text{m}^2$ à $18,95\ \text{€}$ le rouleau. Combien de rouleaux faut-il acheter et combien cela coûtera-t-il ?

Calculer le périmètre et l'aire du rectangle de la figure, de $12$ cm de base et $7$ cm de hauteur.

Un panneau d'affichage rectangulaire a une aire de $48\ \text{m}^2$ et sa base mesure $8$ m.

1. a) Quelle est sa hauteur ?
2. b) Quel est son périmètre ?
3. c) Si le panneau avait la même aire mais une forme carrée, serait-ce possible ? Justifier la réponse.

Un terrain de football mesure $105$ m de long et $68$ m de large.

1. a) Calculer son aire en $\text{m}^2$.
2. b) Exprimer l'aire en hectares. Rappel : $1\ \text{ha} = 10\,000\ \text{m}^2$.
3. c) Combien de terrains de football comme celui-ci pourraient tenir, environ, dans un parc naturel de $1\ \text{km}^2$ ?

On veut poser un nouveau sol sur une terrasse rectangulaire de $6$ m de long et $4$ m de large avec des carreaux carrés de $40$ cm de côté, sans en découper aucun.

1. a) Combien de carreaux tiennent dans la longueur et dans la largeur ? Combien de carreaux faut-il au total ?
2. b) Les carreaux sont vendus par boîtes de $12$ unités à $18,95\ \text{€}$ la boîte. Combien de boîtes faut-il acheter ? Combien coûtera le sol ?
3. c) Quelle est l'aire d'un carreau, en $\text{cm}^2$ ? Vérifier que l'aire totale des carreaux utilisés est égale à l'aire de la terrasse (exprimer les deux en $\text{m}^2$).

Calculer l'aire du triangle de la figure, de base $10$ m et de hauteur $6$ m.

Un panneau publicitaire de forme triangulaire a une base de $4$ m et une hauteur de $3$ m.

1. a) Quelle est son aire ?
2. b) Si l'affiche est imprimée sur les deux faces, quelle surface totale faut-il imprimer ?

Pour calculer l'aire d'un triangle de base $12$ cm et de hauteur $7$ cm, un élève a effectué $12 \cdot 7 = 84$ et a répondu : « l'aire est $84\ \text{cm}^2$ ».

1. a) Expliquer quelle erreur il a commise.
2. b) Calculer l'aire correcte.
3. c) Le même élève calcule l'aire d'un losange de diagonales $10$ cm et $6$ cm et obtient $60\ \text{cm}^2$. Commet-il de nouveau la même erreur ? La corriger.

Lucie veut calculer l'aire d'un parallélogramme en carton pour un projet d'arts plastiques. Elle mesure avec sa règle et note : base $b = 12\text{ cm}$, côté oblique $c = 7\text{ cm}$ et hauteur perpendiculaire à la base $h = 5\text{ cm}$. Dans son cahier, elle écrit :

« $A = b \cdot c = 12 \cdot 7 = 84\text{ cm}^2$ ».

1. a) Expliquer clairement quelle erreur Lucie a commise et pourquoi, géométriquement, multiplier la base par le côté oblique n'a pas de sens pour trouver l'aire.
2. b) Calculer l'aire correcte du parallélogramme et son périmètre.
3. c) Quelle figure géométrique de côtés $12\text{ cm}$ et $7\text{ cm}$ aurait une aire d'exactement $84\text{ cm}^2$ ? Justifier la réponse.

Le parallélogramme de la figure a une base de $9$ cm et une hauteur de $5$ cm.

1. a) Calculer son aire.
2. b) Si le côté incliné du parallélogramme mesure $6$ cm, calculer aussi son périmètre.

Calculer l'aire du trapèze de la figure, dont les bases mesurent $14$ m et $8$ m et la hauteur $6$ m.

Le bassin d'une piscine pour enfants d'un complexe sportif municipal a la forme d'un trapèze isocèle. La grande base mesure $14,8\text{ m}$, la petite base mesure $9,2\text{ m}$ et la distance entre les deux bases (la hauteur) est de $6,1\text{ m}$. La mairie va commander une bâche de protection sur mesure pour la couvrir en hiver.

1. a) Avant d'effectuer des calculs avec des décimaux, arrondir les trois mesures au mètre le plus proche et faire une estimation mentale de l'aire de la bâche. Écrire l'opération envisagée et le résultat estimé.
2. b) Calculer l'aire exacte de la bâche à partir des mesures réelles du trapèze.
3. c) Vérifier si l'estimation était raisonnable en calculant la différence entre l'aire exacte et l'aire estimée. Si la bâche coûte $8,50\text{ €/m}^2$, quelle différence en euros aurait entraîné un budget établi avec l'estimation plutôt qu'avec la valeur exacte ?

L'aire d'un trapèze est $84\ \text{m}^2$, sa hauteur mesure $7$ m et sa grande base $16$ m.

1. a) Remplacer les données dans la formule de l'aire du trapèze, $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$, et poser l'équation correspondante.
2. b) Résoudre l'équation et calculer la longueur de la petite base.
3. c) Vérifier le résultat en contrôlant que l'aire est bien $84\ \text{m}^2$.

Calculer l'aire du losange de la figure, dont les diagonales mesurent $16$ cm et $10$ cm.

Les diagonales d'un losange mesurent $20$ cm et $14$ cm.

1. a) Calculer son aire.
2. b) Si l'on découpe le losange selon ses deux diagonales, il est partagé en $4$ triangles rectangles identiques. Quelles sont la base et la hauteur de chacun de ces triangles ?
3. c) Calculer l'aire de l'un de ces triangles et vérifier que la somme des quatre aires est égale à l'aire du losange.

Dans la cour d'un collège, on va peindre un logo en forme de losange dont les diagonales mesurent $D = 8\text{ m}$ et $d = 6\text{ m}$. Deux élèves de 6e discutent de la meilleure façon de calculer son aire :

• Marcos propose : « On dessine un rectangle de $8\text{ m}$ de longueur sur $6\text{ m}$ de largeur qui entoure le losange. Son aire est $8 \cdot 6 = 48\text{ m}^2$. Dans les coins, il reste quatre triangles rectangles identiques de base $4\text{ m}$ et de hauteur $3\text{ m}$ ; si l'on retire ces quatre triangles au rectangle extérieur, on obtient l'aire du losange ».

• Sara propose : « On peut appliquer directement la formule $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$, car le losange occupe exactement la moitié du rectangle qui le contient ».

1. a) Développer entièrement la démarche de Marcos : calculer l'aire de l'un des triangles des coins, la somme des quatre et la soustraction finale.
2. b) Appliquer la méthode directe de Sara et vérifier si les deux résultats coïncident.
3. c) Comparer les deux méthodes : laquelle est la plus efficace dans ce problème et pourquoi ? Dans quels cas de polygones irréguliers dessinés sur un quadrillage est-il indispensable d'utiliser la stratégie de Marcos (entourer par un rectangle et soustraire les coins en trop) ?

L'hexagone régulier de la figure a $6$ cm de côté et son apothème mesure $5,2$ cm.

1. a) Calculer son périmètre.
2. b) Calculer son aire à l'aide de la formule $A = \frac{P \cdot a}{2}$, où $P$ est le périmètre et $a$ l'apothème.

Une association de quartier de Marseille va aménager une placette en forme d'hexagone régulier de $6\text{ m}$ de côté. Les plans de la mairie indiquent que l'apothème de ce polygone mesure $5,2\text{ m}$. Le projet consiste à poser une bordure en bois sur tout le périmètre, au prix de $4,20\text{ €}$ le mètre linéaire, et à recouvrir tout le sol intérieur de gazon rustique qui coûte $2,50\text{ €}$ le mètre carré. Pour les travaux, elle dispose d'une aide municipale de $350\text{ €}$.

1. a) Modéliser la situation en calculant le nombre de mètres linéaires de bordure nécessaires et la surface, en mètres carrés, que occupera le gazon.
2. b) Calculer le budget total nécessaire pour les travaux (bordure plus gazon).
3. c) Interpréter le résultat obtenu : l'aide municipale de $350\text{ €}$ suffit-elle à financer le projet ? S'il manque ou s'il reste de l'argent, indiquer le montant exact.

Un éleveur de Haute-Loire dispose de $120\text{ m}$ de clôture métallique pour délimiter un enclos de repos pour ses moutons et veut qu'il ait la plus grande surface possible. Il hésite entre trois conceptions, toutes de périmètre exactement $120\text{ m}$ :

1. Un triangle équilatéral de $40\text{ m}$ de côté et dont la hauteur mesure $34,64\text{ m}$.

2. Un carré de $30\text{ m}$ de côté.

3. Un hexagone régulier de $20\text{ m}$ de côté et dont l'apothème mesure $17,32\text{ m}$.

1. a) Calculer l'aire de chacune des trois options proposées.
2. b) Comparer les trois résultats : à périmètre égal ($120\text{ m}$), lequel des trois polygones réguliers a la plus grande aire ? Quelle conclusion géométrique peut-on en déduire sur l'évolution de l'aire lorsque le nombre de côtés d'un polygone régulier de périmètre constant augmente ?
3. c) La réglementation sur le bien-être animal exige que l'enclos ait au moins $1000\text{ m}^2$ pour la taille de son troupeau. Une des trois options convient-elle ? Si l'on construisait un polygone régulier avec beaucoup plus de côtés (par exemple un décagone régulier ou une figure presque circulaire avec ces mêmes $120\text{ m}$ de clôture), pensez-vous qu'il serait possible de dépasser ce seuil de $1000\text{ m}^2$ ? Justifier la réponse à partir de la tendance observée.

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant la réponse ou en donnant un contre-exemple :

1. a) Si l'on double les côtés d'un rectangle, son aire double aussi.
2. b) Un parallélogramme et un rectangle de même base et de même hauteur ont la même aire.
3. c) Un triangle a une aire égale à la moitié de celle d'un rectangle de même base et de même hauteur.
4. d) Deux figures de même périmètre ont toujours la même aire.