Écriture fractionnaire d'un nombre décimal

Associer chaque nombre décimal à sa fraction correspondante. Il n'est pas nécessaire de faire de longs calculs, utiliser la logique des décimaux exacts :

Déterminer l'écriture fractionnaire des nombres décimaux exacts suivants. Penser à simplifier le résultat chaque fois que c'est possible :

1. a) $0,5$
2. b) $1,2$
3. c) $0,25$
4. d) $0,08$

Au laboratoire de SVT, vous avez pesé un échantillon de sable et la balance indique $0,75$ grammes. Écrire ce nombre sous forme de fraction décimale (avec une puissance de 10 au dénominateur), puis la simplifier jusqu'à obtenir sa fraction irréductible.

Lors d'une promotion dans un magasin de musique, un album numérique coûte $9,90$ €. Exprimer le prix de l'album sous forme de fraction de nombres entiers naturels et la simplifier jusqu'à ce qu'elle soit irréductible.

Dans un jeu vidéo de stratégie, une barre de chargement indique que $0,85$ d'une mission spéciale est accompli. Quelle fraction irréductible de la mission a déjà été accomplie ? Déterminer l'écriture fractionnaire de ce nombre décimal et la simplifier.

Pour commencer à travailler avec les écritures fractionnaires, il est essentiel de savoir de quel type de nombre il s'agit. Classer les nombres décimaux suivants en décimal exact, périodique pur ou périodique mixte :

1. a) $3,15$
2. b) $0,666...$
3. c) $12,4777...$
4. d) $5,232323...$
5. e) $8,02333...$

Identifier les éléments des nombres décimaux périodiques suivants. Pour chacun, indiquer sa partie entière, sa partie non périodique (s'il y en a une) et sa période :

1. a) $5,888...$

1. b) $0,1232323...$

1. c) $14,5262626...$

Déterminer l'écriture fractionnaire des nombres décimaux périodiques purs suivants, dont la période ne comporte qu'un chiffre. Simplifier si possible :

1. a) $0,\overline{3}$
2. b) $0,\overline{7}$
3. c) $1,\overline{1}$
4. d) $0,\overline{5}$

Un jeu vidéo indique que vous avez accompli $0,\overline{6}$ d'une mission. Pour connaître la part exacte de la carte que vous avez parcourue, convertir ce nombre décimal périodique pur en son écriture fractionnaire.

On souhaite déterminer l'écriture fractionnaire du nombre décimal périodique pur $0,\overline{7}$.

1. a) Estimer : Rappel : $0,5 = \frac{1}{2}$ et $0,75 = \frac{3}{4}$. Expliquer si la valeur de $0,\overline{7}$ doit être supérieure ou inférieure à $\frac{3}{4}$.
2. b) Calculer : Déterminer l'écriture fractionnaire de $0,\overline{7}$ en appliquant la règle des décimaux périodiques purs. La fraction est-elle irréductible ou peut-on la simplifier ?
3. c) Vérifier : Réduire au même dénominateur la fraction $\frac{3}{4}$ et la fraction obtenue à la question précédente afin de comparer leurs numérateurs. Les calculs confirment-ils votre estimation initiale ?

Pour exprimer le nombre décimal périodique pur $0,\overline{4}$ sous forme de fraction, Charles a écrit au tableau :

1. a) Sans effectuer de division pour l'instant, expliquer quelle confusion Charles a faite entre les décimaux exacts et les périodiques dans le choix du dénominateur.
2. b) Vérifier l'erreur de Charles en posant à la main la division décimale de $2$ par $5$ et expliquer pourquoi son résultat ne coïncide pas avec le nombre de départ.
3. c) Appliquer la règle de l'écriture fractionnaire pour obtenir la fraction irréductible qui représente exactement $0,\overline{4}$.

Pour déterminer l'écriture fractionnaire du nombre décimal périodique pur $2,\overline{54}$, deux élèves suivent des stratégies différentes :

• Stratégie d'Irène (nombre mixte) : Elle sépare la partie entière et écrit $2 + \frac{54}{99}$. Puis elle simplifie la fraction périodique et ajoute enfin la partie entière.

• Stratégie de Sophie (fraction directe) : Elle place au numérateur la différence entre le nombre entier obtenu sans la virgule et la partie entière : $\frac{254 - 2}{99}$, puis elle simplifie la fraction obtenue.

1. a) Développer pas à pas les deux méthodes et vérifier qu'elles aboutissent à la même fraction irréductible.
2. b) Comparer les deux méthodes : laquelle jugez-vous la plus avantageuse si vous devez travailler avec un nombre dont la partie entière est très grande, comme $340,\overline{6}$ ? Justifier votre réponse en évaluant la difficulté des calculs dans chaque cas.

Classer les nombres décimaux suivants en décimaux exacts, périodiques purs ou périodiques mixtes. Une fois classés, déterminer l'écriture fractionnaire de chacun et simplifier le résultat jusqu'à obtenir la fraction irréductible :

1. a) $3,15$
2. b) $0,\overline{12}$
3. c) $2,1\overline{6}$

Lors d'une étape contre-la-montre du Tour de France, le chronomètre officiel indique que le vainqueur a mis exactement $1,1\overline{6}$ heures pour effectuer le parcours.

1. a) Classer ce nombre décimal (exact, périodique pur ou périodique mixte) et indiquer sa partie entière, sa partie non périodique et sa période.
2. b) Déterminer la fraction irréductible égale à ce temps en heures, en calculant la fraction correspondant à la partie décimale puis en lui ajoutant la partie entière.
3. c) Un commentateur de télévision arrondit la donnée à $1,16$ heures et affirme : « Le cycliste a mis exactement $1$ heure et $16$ minutes ». Multiplier la fraction irréductible de la question précédente par les $60$ minutes d'une heure pour trouver le temps exact, et expliquer les deux erreurs commises par le commentateur.

On cherche un nombre décimal supérieur à $1$ dont la fraction irréductible a obligatoirement pour dénominateur le nombre $33$. On sait que sa partie entière est $1$ et que sa période comporte deux chiffres commençant par $4$ ; autrement dit, le nombre est de la forme $1,\widehat{4a}$, où $a$ est un chiffre inconnu.

1. a) Expliquer pourquoi ce décimal doit nécessairement être périodique pur et ne peut être ni exact ni périodique mixte, en analysant de quel dénominateur non simplifié provient le $33$.
2. b) Écrire la fraction de dénominateur $99$ équivalente à la fraction irréductible de dénominateur $33$. Par quel facteur a-t-il fallu simplifier ?
3. c) Déterminer les valeurs possibles du chiffre $a$ pour que, après simplification par ce facteur, la fraction obtenue soit irréductible et conserve le dénominateur $33$ (le numérateur simplifié ne doit pas avoir de diviseur commun avec $33$). Écrire les nombres décimaux trouvés et leurs fractions irréductibles respectives.

Dans une station de surveillance sismique du Bureau de recherches géologiques et minières (BRGM), dans le sud de la France, deux capteurs enregistrent le mouvement d'une faille :

• Le capteur A détecte un déplacement de $0,2\widehat{6}$ millimètres.

• Le capteur B détecte un déplacement de $0,\widehat{4}$ millimètres.

Un technicien débutant affirme : « J'additionne directement les chiffres : $0,2\widehat{6} + 0,\widehat{4} = 0,6\widehat{10}$, ce qui correspond exactement à un déplacement total de $0,7$ millimètres ».

1. a) Justifier en détail pourquoi la démarche du technicien est mathématiquement incorrecte et expliquer quel problème apparaît quand on essaie d'additionner directement des chiffres qui se répètent indéfiniment.
2. b) Modéliser la situation en déterminant la fraction irréductible égale à la mesure de chaque capteur.
3. c) Additionner les deux fractions pour obtenir la fraction irréductible du déplacement total. La convertir à nouveau en écriture décimale, classer le décimal obtenu et calculer l'écart exact entre la valeur réelle et les $0,7$ millimètres estimés par le technicien.