Plans et échelle
Tu pars en randonnée dans les Vosges avec une carte au $1:25\,000$. Entre le col de la Schlucht et le sommet, tu mesures quelques centimètres à la règle. Combien de kilomètres devras-tu marcher ? Une carte ou un plan est une version réduite de la réalité, et l'échelle indique de combien. Grâce à elle, tu peux retrouver les vraies distances avec une simple règle.
Qu'est-ce que l'échelle ?
Les longueurs du dessin et les longueurs réelles sont proportionnelles : si tu doubles la longueur sur la carte, tu doubles la distance réelle.
Il existe deux façons d'indiquer l'échelle :
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numérique : $1:25\,000$ ;
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graphique : un segment gradué, par exemple « $1\text{ cm}$ sur la carte correspond à $500\text{ m}$ ».
Plus le nombre après les deux-points est petit, plus la carte est détaillée.
Sur une carte routière de France, l'échelle indiquée est $1:250\,000$. Si tu mesures à la règle la distance entre deux villages et relèves exactement $8\text{ cm}$,…
Sur une carte routière de France, l'échelle indiquée est $1:250\,000$. Si tu mesures à la règle la distance entre deux villages et relèves exactement $8\text{ cm}$, combien de kilomètres séparent ces deux villages dans la réalité ?
Vous observez l'échelle graphique d'une carte de randonnée sur laquelle un segment de $1\text{ cm}$ correspond à $500\text{ mètres}$ dans la réalité. Si l'itinéraire que…
Vous observez l'échelle graphique d'une carte de randonnée sur laquelle un segment de $1\text{ cm}$ correspond à $500\text{ mètres}$ dans la réalité. Si l'itinéraire que vous voulez parcourir mesure $12\text{ cm}$ sur la carte, combien de kilomètres marcherez-vous au total ?
Une carte routière a une échelle graphique où un segment de $2$ cm représente une distance réelle de $15$ km. Si la distance entre deux villes sur cette carte est de…
Une carte routière a une échelle graphique où un segment de $2$ cm représente une distance réelle de $15$ km. Si la distance entre deux villes sur cette carte est de $9,4$ cm, quelle est la distance réelle en kilomètres entre ces deux villes ?
Du plan à la réalité, et inversement
Tu peux aussi présenter les calculs dans un tableau de proportionnalité, avec les flèches de la linéarité.
| Plan (cm) | Réel (cm) | |
|---|---|---|
| Longueur | $1$ | $25\,000$ |
| Longueur | $8{,}6$ | ? |
Sur le plan d'un logement réalisé à l'échelle $1:100$, la chambre principale est représentée par un rectangle de $4\text{ cm}$ de long et $3\text{ cm}$ de large.…
Sur le plan d'un logement réalisé à l'échelle $1:100$, la chambre principale est représentée par un rectangle de $4\text{ cm}$ de long et $3\text{ cm}$ de large. Calculer les dimensions réelles de la pièce, exprimées en mètres.
Sur le dépliant d'un complexe sportif, un terrain de basket a été dessiné à l'échelle $1:200$. Si le terrain réel mesure $28\text{ mètres}$ de long, combien de…
Sur le dépliant d'un complexe sportif, un terrain de basket a été dessiné à l'échelle $1:200$. Si le terrain réel mesure $28\text{ mètres}$ de long, combien de centimètres mesurera la longueur du terrain sur le dessin du dépliant ?
Tu as décidé de changer la décoration de ta chambre et tu veux dessiner un plan à l'échelle $1:20$ pour voir si un nouveau bureau peut y entrer. Si ta chambre est…
Tu as décidé de changer la décoration de ta chambre et tu veux dessiner un plan à l'échelle $1:20$ pour voir si un nouveau bureau peut y entrer. Si ta chambre est rectangulaire et mesure $4,2$ mètres de long sur $3,4$ mètres de large, quelles seront les dimensions (longueur et largeur) du rectangle sur ton dessin, exprimées en centimètres ?
Trouver l'échelle, agrandir ou réduire
Quand on connaît une longueur sur le dessin et la longueur réelle correspondante, on en déduit l'échelle : on les écrit dans la même unité, puis on se ramène à $1$.
Si le dessin est plus grand que la réalité (un insecte, une cellule), c'est un agrandissement. On l'écrit $k:1$. Par exemple, l'échelle $5:1$ signifie que $5\text{ mm}$ sur le dessin représentent $1\text{ mm}$ réel : on divise par $5$ pour retrouver la réalité.
Tu veux faire dans ton cahier un dessin de ta nouvelle tablette graphique. La tablette a une longueur réelle de $30\text{ cm}$. Si tu décides d'utiliser une échelle de…
Tu veux faire dans ton cahier un dessin de ta nouvelle tablette graphique. La tablette a une longueur réelle de $30\text{ cm}$. Si tu décides d'utiliser une échelle de réduction de $1:3$, quelle sera la longueur du dessin dans ton cahier ?
Un groupe d'archéologues a dessiné un vase ancien sur une feuille. Sur le dessin, le vase mesure $15\text{ cm}$ de haut. Sachant que le vase réel a une hauteur de…
Un groupe d'archéologues a dessiné un vase ancien sur une feuille. Sur le dessin, le vase mesure $15\text{ cm}$ de haut. Sachant que le vase réel a une hauteur de $75\text{ cm}$, quelle est l'échelle utilisée par les archéologues ?
Sur la maquette d'une célèbre tour de télécommunications, la hauteur de la réplique est de $85$ cm. Sachant que la hauteur réelle de la tour est de $255$ mètres,…
Sur la maquette d'une célèbre tour de télécommunications, la hauteur de la réplique est de $85$ cm. Sachant que la hauteur réelle de la tour est de $255$ mètres, déterminer l'échelle numérique simplifiée à laquelle la maquette a été construite.
Un biologiste observe une fourmi au microscope. Sur son dessin technique, la fourmi mesure $12$ cm de long. Si l'échelle du dessin est un agrandissement $25:1$, quelle…
Un biologiste observe une fourmi au microscope. Sur son dessin technique, la fourmi mesure $12$ cm de long. Si l'échelle du dessin est un agrandissement $25:1$, quelle est la longueur réelle de la fourmi exprimée en millimètres ?
Changer d'échelle
Parfois, il faut passer d'une carte à une autre, par exemple pour réduire une carte avant de l'imprimer. Le point de départ est toujours le même : la distance réelle ne change pas. Elle sert de pont entre les deux cartes.
Distance, vitesse et durée
Tu disposes de deux cartes différentes de la même zone. Sur la carte A, la distance entre deux villages est de $6$ cm et l'échelle est $1:50\,000$. Sur la carte B, la…
Tu disposes de deux cartes différentes de la même zone. Sur la carte A, la distance entre deux villages est de $6$ cm et l'échelle est $1:50\,000$. Sur la carte B, la distance entre ces mêmes villages est de $15$ cm. Calculer l'échelle numérique de la carte B.
Une carte ancienne a perdu son indication d'échelle numérique. Elle montre cependant une échelle graphique où un segment qui mesure $3,5\text{ cm}$ sur le papier…
Une carte ancienne a perdu son indication d'échelle numérique. Elle montre cependant une échelle graphique où un segment qui mesure $3,5\text{ cm}$ sur le papier représente une distance réelle de $17,5\text{ kilomètres}$.
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Déterminer l'échelle numérique de la carte.
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Si deux villages sont séparés sur la carte de $12\text{ cm}$, combien d'heures un cycliste mettra-t-il pour aller de l'un à l'autre à une vitesse constante de $24\text{ km/h}$ ?
Sur une carte routière de France à l'échelle $1:2\,500\,000$, la distance mesurée à la règle entre Paris et Nantes est de $14,2\text{ cm}$. Un camion de livraison part…
Sur une carte routière de France à l'échelle $1:2\,500\,000$, la distance mesurée à la règle entre Paris et Nantes est de $14,2\text{ cm}$. Un camion de livraison part de Paris à $08:00\text{ h}$ et roule vers Nantes à une vitesse moyenne de $90\text{ km/h}$.
À quelle heure doit-il arriver à destination s'il s'arrête une demi-heure à mi-parcours pour se reposer ?
Pour aller plus loin : échelle, aires et volumes
Une aire est le produit de deux longueurs. Si chaque longueur est multipliée par $k$, l'aire est multipliée par $k \times k = k^2$. Un volume est le produit de trois longueurs : il est multiplié par $k^3$.
Pour les volumes, retiens aussi : $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3$, donc $1\text{ dm}^3 = 0{,}001\text{ m}^3$. Par exemple, $2\,500\text{ dm}^3 = 2{,}5\text{ m}^3$.
Le plan d'un terrain de football municipal est dessiné à l'échelle $1:400$. Sur le plan, la pelouse est un rectangle de $25$ cm de long sur $15$ cm de large. Calculer…
Le plan d'un terrain de football municipal est dessiné à l'échelle $1:400$. Sur le plan, la pelouse est un rectangle de $25$ cm de long sur $15$ cm de large. Calculer l'aire réelle du terrain de football en mètres carrés.
Tu conçois ta propre « Gaming Room » sur un plan à l'échelle $1:40$. Sur le dessin, la pièce a une surface de $75\text{ cm}^2$. Tu as repéré un bureau professionnel qui…
Tu conçois ta propre « Gaming Room » sur un plan à l'échelle $1:40$. Sur le dessin, la pièce a une surface de $75\text{ cm}^2$. Tu as repéré un bureau professionnel qui occupe une surface réelle de $1,28\text{ m}^2$ et une chaise qui occupe $0,6\text{ m}^2$.
Si tu décides de placer le bureau et deux chaises identiques, quelle surface réelle restera libre dans la pièce ? Exprimer le résultat en mètres carrés ($\text{m}^2$).
Un architecte a construit une maquette d'un nouvel auditorium à l'échelle $1:250$. Le volume total de la maquette est de $0,64\text{ dm}^3$. Sachant que la densité des…
Un architecte a construit une maquette d'un nouvel auditorium à l'échelle $1:250$. Le volume total de la maquette est de $0,64\text{ dm}^3$.
Sachant que la densité des matériaux réels est différente, mais que le volume reste proportionnel au cube de l'échelle, calculer le volume réel de l'auditorium en mètres cubes ($\text{m}^3$).
(Remarque : si le rapport des longueurs est $k$, le rapport des volumes est $k^3$.)
L'essentiel
Pour finir, retour à la carte des Vosges : au $1:25\,000$, chaque centimètre mesuré représente $250\text{ m}$ réels. Il suffit de multiplier ta mesure par $250\text{ m}$, ou de convertir comme dans les exemples.