Exercices: Plans et échelle

Sur une carte routière de France, l'échelle indiquée est $1:250\,000$. Si tu mesures à la règle la distance entre deux villages et relèves exactement $8\text{ cm}$, combien de kilomètres séparent ces deux villages dans la réalité ?

Tu veux faire dans ton cahier un dessin de ta nouvelle tablette graphique. La tablette a une longueur réelle de $30\text{ cm}$. Si tu décides d'utiliser une échelle de réduction de $1:3$, quelle sera la longueur du dessin dans ton cahier ?

Un groupe d'archéologues a dessiné un vase ancien sur une feuille. Sur le dessin, le vase mesure $15\text{ cm}$ de haut. Sachant que le vase réel a une hauteur de $75\text{ cm}$, quelle est l'échelle utilisée par les archéologues ?

Sur le plan d'un logement réalisé à l'échelle $1:100$, la chambre principale est représentée par un rectangle de $4\text{ cm}$ de long et $3\text{ cm}$ de large. Calculer les dimensions réelles de la pièce, exprimées en mètres.

Un collectionneur de voitures miniatures possède un modèle à l'échelle $1:24$. Si la longueur de la miniature est de $18\text{ cm}$, quelle sera la longueur de la voiture réelle, en mètres ?

Vous observez l'échelle graphique d'une carte de randonnée sur laquelle un segment de $1\text{ cm}$ correspond à $500\text{ mètres}$ dans la réalité. Si l'itinéraire que vous voulez parcourir mesure $12\text{ cm}$ sur la carte, combien de kilomètres marcherez-vous au total ?

Un biologiste photographie une petite reine des fourmis en utilisant une échelle d'agrandissement de $5:1$. Si sur la photographie la fourmi mesure $45\text{ mm}$ de long, quelle est sa taille réelle en millimètres ?

Sur le dépliant d'un complexe sportif, un terrain de basket a été dessiné à l'échelle $1:200$. Si le terrain réel mesure $28\text{ mètres}$ de long, combien de centimètres mesurera la longueur du terrain sur le dessin du dépliant ?

Marc dessine en cours de technologie le plan de sa chambre à l'échelle $1:50$. En mesurant à la règle le mur principal où il placera le lit, il note une longueur de $7,2\text{ cm}$. Il effectue ensuite l'opération suivante pour calculer la mesure réelle : $7,2 \cdot 50 = 360$, et conclut dans son cahier : « Le mur de ma chambre mesure $360\text{ mètres}$ de long ».

1. Expliquer en justifiant pourquoi le résultat obtenu par Marc n'a aucun sens physique pour un logement.

2. Identifier l'erreur précise d'unités ou de concept commise dans l'interprétation de l'échelle.

3. Corriger sa démarche et déterminer la longueur réelle correcte du mur, exprimée en mètres.

Vous préparez un itinéraire de randonnée dans le parc national des Calanques (Marseille) à l'aide d'une carte topographique à l'échelle $1:40\,000$. Avec une règle, vous mesurez une distance de $7,5\text{ cm}$ en ligne droite entre deux calanques.

1. Estimer : Sans calculatrice et sans multiplication compliquée avec des décimales, faire une estimation mentale préalable. Sachant qu'à l'échelle $1:40\,000$ chaque centimètre correspond à un peu moins d'un demi-kilomètre ($0,4\text{ km}$), la distance réelle sera-t-elle plus proche de $1\text{ km}$, de $3\text{ km}$ ou de $10\text{ km}$ ? Expliquer sur quoi vous vous basez.

2. Calculer : Appliquer les relations d'échelle pour trouver la valeur exacte de la distance réelle en kilomètres.

3. Vérifier : Comparer le calcul avec votre estimation initiale et justifier si une personne marchant à une allure constante de $4\text{ km/h}$ mettrait plus ou moins d'une heure pour parcourir ce trajet en ligne droite.

Sur une carte de randonnée du massif des Vosges, l'échelle indiquée est $1:25\,000$. Si la distance mesurée à la règle entre le col de la Schlucht et le Hohneck est de $12,4$ cm sur le papier, combien de kilomètres réels un groupe de randonneurs devra-t-il parcourir pour aller d'un point à l'autre en ligne droite ?

Une jeune architecte conçoit un nouveau skatepark pour sa ville. Sur le plan technique, la piste principale de sauts mesure $15$ cm de long. Si le parc doit être construit à l'échelle $1:150$, calculer la longueur réelle de la piste en mètres.

Tu as décidé de changer la décoration de ta chambre et tu veux dessiner un plan à l'échelle $1:20$ pour voir si un nouveau bureau peut y entrer. Si ta chambre est rectangulaire et mesure $4,2$ mètres de long sur $3,4$ mètres de large, quelles seront les dimensions (longueur et largeur) du rectangle sur ton dessin, exprimées en centimètres ?

Sur la maquette d'une célèbre tour de télécommunications, la hauteur de la réplique est de $85$ cm. Sachant que la hauteur réelle de la tour est de $255$ mètres, déterminer l'échelle numérique simplifiée à laquelle la maquette a été construite.

Une carte routière a une échelle graphique où un segment de $2$ cm représente une distance réelle de $15$ km. Si la distance entre deux villes sur cette carte est de $9,4$ cm, quelle est la distance réelle en kilomètres entre ces deux villes ?

Un biologiste observe une fourmi au microscope. Sur son dessin technique, la fourmi mesure $12$ cm de long. Si l'échelle du dessin est un agrandissement $25:1$, quelle est la longueur réelle de la fourmi exprimée en millimètres ?

Le plan d'un terrain de football municipal est dessiné à l'échelle $1:400$. Sur le plan, la pelouse est un rectangle de $25$ cm de long sur $15$ cm de large. Calculer l'aire réelle du terrain de football en mètres carrés.

Tu disposes de deux cartes différentes de la même zone. Sur la carte A, la distance entre deux villages est de $6$ cm et l'échelle est $1:50\,000$. Sur la carte B, la distance entre ces mêmes villages est de $15$ cm. Calculer l'échelle numérique de la carte B.

Le service des sports d'une mairie va éditer une brochure d'information avec le plan d'un terrain multisport extérieur réglementaire. Les dimensions réelles du terrain sont $40\text{ m}$ de long sur $20\text{ m}$ de large. Sur la maquette d'imprimerie, on a réservé un encadré fermé de $12\text{ cm}$ de long sur $8\text{ cm}$ de large pour insérer ce plan. Le graphiste ne peut choisir qu'entre quatre échelles normalisées : $1:200$, $1:300$, $1:400$ et $1:500$.

1. Analyser chaque échelle et déterminer quelle est la plus grande échelle (celle au niveau de détail le plus élevé) permettant de dessiner tout le terrain dans l'encadré sans dépasser aucune de ses marges.

2. Avec l'échelle choisie, calculer les dimensions exactes (longueur et largeur) du rectangle dessiné sur le papier, en centimètres.

3. Combien de centimètres de marge libre resteront dans la longueur et dans la largeur de l'encadré de la brochure ?

Grâce au cadastre en ligne, une coopérative agricole de la Drôme consulte une parcelle d'oliviers rectangulaire représentée sur une carte à l'échelle $1:5\,000$. À l'écran, le rectangle de la parcelle mesure $8\text{ cm}$ de long et $5\text{ cm}$ de large.

1. Modéliser mathématiquement la situation et calculer les dimensions réelles de la parcelle (longueur et largeur) exprimées en mètres.

2. Obtenir la surface réelle totale de la parcelle exprimée en mètres carrés ($\text{m}^2$) et la convertir en hectares ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).

3. Les rapports agronomiques de la zone indiquent un rendement moyen de $4\,200\text{ kg}$ d'olives par hectare, et l'on sait qu'au moulin on obtient $20\,\%$ de leur poids en huile d'olive vierge extra. Calculer combien de kilogrammes d'huile d'olive la coopérative prévoit de produire avec la récolte de cette parcelle.

Un drone de surveillance forestière parcourt un trajet rectangulaire au-dessus d'un parc naturel. Au centre de contrôle, les techniciens visualisent le trajet sur un écran numérique où l'échelle est $1:50\,000$. Sur cet écran, le rectangle mesure $12\text{ cm}$ de long et $8\text{ cm}$ de large. Cependant, pour le rapport imprimé, ils doivent réduire la carte de sorte que la longueur du trajet ne mesure que $4\text{ cm}$.

Calculer :

1. L'aire réelle du parc naturel en kilomètres carrés ($\text{km}^2$).

2. L'échelle numérique que doit avoir la carte du rapport imprimé.

Tu conçois ta propre « Gaming Room » sur un plan à l'échelle $1:40$. Sur le dessin, la pièce a une surface de $75\text{ cm}^2$. Tu as repéré un bureau professionnel qui occupe une surface réelle de $1,28\text{ m}^2$ et une chaise qui occupe $0,6\text{ m}^2$.

Si tu décides de placer le bureau et deux chaises identiques, quelle surface réelle restera libre dans la pièce ? Exprimer le résultat en mètres carrés ($\text{m}^2$).

Sur une carte routière de France à l'échelle $1:2\,500\,000$, la distance mesurée à la règle entre Paris et Nantes est de $14,2\text{ cm}$. Un camion de livraison part de Paris à $08:00\text{ h}$ et roule vers Nantes à une vitesse moyenne de $90\text{ km/h}$.

À quelle heure doit-il arriver à destination s'il s'arrête une demi-heure à mi-parcours pour se reposer ?

Une application de cartes sur smartphone affiche une zone de la ville. Quand le zoom est au niveau A, l'échelle est $1:15\,000$ et la distance entre deux stations de métro est de $6\text{ cm}$. Si l'utilisateur fait un « zoom arrière » jusqu'à ce que l'échelle soit $1:50\,000$ (niveau B) :

1. Quelle sera la distance en centimètres entre ces deux mêmes stations sur l'écran ?

2. Si l'écran du téléphone a une aire de $80\text{ cm}^2$, combien de kilomètres carrés de surface urbaine réelle sont visualisés au niveau B ?

Un architecte a construit une maquette d'un nouvel auditorium à l'échelle $1:250$. Le volume total de la maquette est de $0,64\text{ dm}^3$.

Sachant que la densité des matériaux réels est différente, mais que le volume reste proportionnel au cube de l'échelle, calculer le volume réel de l'auditorium en mètres cubes ($\text{m}^3$).

(Remarque : si le rapport des longueurs est $k$, le rapport des volumes est $k^3$.)

Le plan d'une piscine municipale est dessiné à une échelle telle qu'un de ses murs, qui mesure $25\text{ mètres}$ en réalité, est représenté par un segment de $12,5\text{ cm}$. Sur le plan, le fond de la piscine a une aire de $120\text{ cm}^2$.

On veut recouvrir le fond réel avec des carreaux carrés de $20\text{ cm}$ de côté. Combien de carreaux faudra-t-il acheter ?

Une carte ancienne a perdu son indication d'échelle numérique. Elle montre cependant une échelle graphique où un segment qui mesure $3,5\text{ cm}$ sur le papier représente une distance réelle de $17,5\text{ kilomètres}$.

1. Déterminer l'échelle numérique de la carte.

2. Si deux villages sont séparés sur la carte de $12\text{ cm}$, combien d'heures un cycliste mettra-t-il pour aller de l'un à l'autre à une vitesse constante de $24\text{ km/h}$ ?

On a réalisé une photocopie d'un plan original qui était à l'échelle $1:200$. À cause d'une erreur de réglage, la photocopie est sortie réduite à $75\%$ de sa taille d'origine.

Sur la photocopie, le salon du logement mesure $6\text{ cm}$ de long.

1. Quelle est l'échelle réelle de la photocopie par rapport à la réalité ?

2. Quelle est la longueur réelle du salon en mètres ?

Le service d'urbanisme dispose du plan d'une future place piétonne à l'échelle $1:200$. Sur ce plan, la place occupe une surface de $64\text{ cm}^2$. Pour une exposition destinée aux habitants, il faut dessiner un agrandissement de cette même place sur un panneau à l'échelle $1:50$. Deux dessinateurs discutent de la méthode la plus pratique pour trouver l'aire qu'occupera la place sur le nouveau panneau :

• Méthode A (passage par la réalité) : calculer la surface réelle de la place en $\text{m}^2$ à partir du premier plan et de son échelle ($1:200$) et, à partir de cette donnée réelle, en déduire la surface qu'elle occupera sur le panneau à l'échelle $1:50$.

• Méthode B (rapport direct des aires) : comparer directement les deux échelles en observant que $200 \div 50 = 4$ (les longueurs sur le panneau sont multipliées par 4) et appliquer directement la relation entre les aires en multipliant l'aire initiale par $4^2 = 16$.

• Résoudre le problème en appliquant la méthode A pas à pas, en indiquant la surface réelle en $\text{m}^2$ et la surface finale sur le panneau en $\text{cm}^2$.

• Résoudre le problème en appliquant la méthode B et vérifier si les deux résultats coïncident exactement.

• Comparer les deux procédés : lequel réduit le risque d'erreurs dans les changements d'unités et lequel serait indispensable si l'on demandait en plus de chiffrer le coût du pavage de la place réelle ?

Lors d'un épisode de fortes chaleurs, la Sécurité civile suit un feu de forêt actif grâce à une application d'urgence configurée à l'échelle $1:25\,000$. Sur la carte tactique, la zone brûlée est assimilée à un trapèze de bases $6\text{ cm}$ et $10\text{ cm}$, et de hauteur $4\text{ cm}$.

1. Calculer l'aire occupée par l'incendie sur la carte en $\text{cm}^2$ et, en utilisant la relation quadratique entre les échelles ($\text{Aire réelle} = \text{Aire sur le plan} \cdot k^2$), calculer la surface réelle brûlée exprimée directement en hectares ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$). Justifier le facteur de conversion employé.

2. Sur la même carte tactique, le front d'avancée que doivent attaquer les brigades au sol mesure un segment de $12\text{ cm}$. Le commandement demande d'imprimer une fiche de poche pour les équipes sur une feuille plastifiée dont l'espace utile maximal est de $15\text{ cm}$. Si l'on exige d'utiliser une échelle technique normalisée $1:k$ où $k$ est un multiple exact de $5\,000$ ($1:15\,000$, $1:20\,000$, $1:25\,000$, $1:30\,000$…), déterminer quelle est l'échelle de détail maximal (plus petite valeur de $k$) permettant de représenter ce front en entier sans dépasser $15\text{ cm}$ et calculer la longueur exacte que ce front aura sur la fiche.

Défi du thème. Concevoir la rénovation de ta chambre !

1. Plan et échelle : Mesurer avec un mètre ruban les dimensions réelles de ta chambre. Dessiner son plan à l'échelle $1:50$ (à la main ou avec GeoGebra) et calculer le rapport entre la surface réelle et celle du dessin.

2. Budget et rendement : Chercher sur un site marchand le prix d'un pot de peinture. Sachant que $2$ pots couvrent $15,5\text{ m}^2$ en appliquant $2$ couches avec $4$ heures de travail, calculer à l'aide d'une règle de trois composée combien de pots et d'heures seraient nécessaires pour peindre le plafond de ta chambre (de même aire que le sol) avec $3$ couches. Appliquer au coût final une réduction de $10\%$ puis ajouter $21\%$ de TVA.

3. Partage et modélisation : Dans un tableur, faire un tableau de valeurs et représenter graphiquement la fonction de proportionnalité inverse $t = k/n$ (temps passé selon le nombre $n$ de personnes qui peignent). Enfin, simuler le financement de la dépense totale par un partage proportionnel à l'âge entre deux membres de la famille.

Présenter un court compte rendu avec le plan, le tableau accompagné du graphique et les calculs détaillés.

Seront évalués :

• La précision du calcul de l'échelle, du rapport et du tracé du plan.

• L'exactitude et la rigueur de la règle de trois composée et du traitement des pourcentages.

• La représentation correcte de la fonction inverse et la résolution du partage proportionnel.

• La clarté de l'exposé et la présentation des données dans le compte rendu.