Exercices: Proportionnalité

En mathématiques, on dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque, si l'on multiplie l'une par un nombre, l'autre est multipliée par ce même nombre. Analyser les situations quotidiennes suivantes et indiquer lesquelles relèvent de la proportionnalité :

1. a) Le nombre d'abonnés d'un streamer et le nombre de likes qu'il reçoit sur une vidéo (en supposant que tous ses abonnés mettent un « j'aime »).
2. b) L'âge d'une personne et sa taille en centimètres.
3. c) Le nombre de boîtes de pizza que vous commandez et le prix total que vous payez (si toutes les pizzas coûtent le même prix).
4. d) La vitesse d'une voiture et le temps qu'elle met pour arriver à destination.
5. e) Les kilogrammes de pommes que vous achetez et l'argent qu'elles coûtent.

Dans votre jeu vidéo préféré, vous pouvez acheter des « gemmes » pour obtenir de nouveaux looks pour votre personnage. On sait que les gemmes ont toujours le même prix unitaire. Compléter le tableau de proportionnalité suivant dans votre cahier pour savoir combien coûtent différentes quantités de gemmes :

Un paquet de cartes de la ligue de football contient $6$ cartes, et $3$ de ces paquets coûtent $3,60$ €. Si l'on veut compléter l'album et que l'on décide d'acheter $8$ paquets identiques, combien d'argent dépensera-t-on au total ? Utiliser la méthode de retour à l'unité (calculer d'abord le prix d'un seul paquet).

Observer l'image suivante, qui représente deux balances en équilibre. Sur la première balance, $3$ cubes bleus pèsent exactement $450$ grammes. Sur la seconde, on veut savoir combien pèsent $5$ cubes identiques aux précédents. Calculer la valeur de l'inconnue $x$.

Pour cuisiner des pancakes pour $4$ personnes, il faut exactement $200$ grammes de farine. Si ce week-end vos cousins viennent à la maison et que vous êtes $6$ personnes au total, quelle quantité de farine vous faudra-t-il pour que les pancakes soient parfaits ? Rappel : les quantités de la recette sont proportionnelles au nombre de convives.

Un skater parcourt une piste à vitesse constante. Dans la première partie du circuit, il a parcouru $150$ mètres en $30$ secondes. S'il garde le même rythme pendant tout le trajet :

1. a) Quelle distance parcourra-t-il en $1$ minute ($60$ secondes) ?
2. b) Quel est son coefficient de proportionnalité (combien de mètres parcourt-il par seconde) ?

Déterminer la valeur du terme inconnu $x$ dans les proportions suivantes pour que l'égalité entre les rapports soit vérifiée :

1. a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$

1. b) $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$

1. c) $\frac{7}{x} = \frac{14}{6}$

Dans les graphiques de proportionnalité, la relation entre les deux grandeurs est toujours représentée par une droite passant par le point $(0\,;\,0)$. Observer le graphique suivant, qui relie le nombre de stylos achetés et leur coût total. Si $4$ stylos coûtent $6$ €, repérer le point sur le graphique et calculer combien coûteraient $10$ stylos.

Mathis accompagne son père pour acheter des billets pour un festival de théâtre scolaire. Au guichet, ils lisent l'affiche : « $3$ billets coûtent $21\text{ €}$ ». Mathis doit calculer combien coûteront $5$ billets pour toute sa famille et raisonne ainsi : « Comme $5$ billets, c'est $2$ billets de plus que $3$, au prix de $21\text{ €}$ il me suffit d'ajouter $2\text{ €}$. Donc les $5$ billets coûteront $23\text{ €}$ ».

1. a) Expliquer en détail pourquoi le raisonnement additif de Mathis est faux et ce que signifie réellement le fait que le nombre de billets et le prix soient des grandeurs proportionnelles.
2. b) Corriger le calcul en utilisant la méthode du retour à l'unité : déterminer le prix d'un billet et calculer le prix réel que la famille doit payer pour les $5$ billets.

À la papeterie du quartier, il y a une offre sur le matériel scolaire : un paquet de $3$ cahiers identiques coûte $5,40\text{ €}$. Votre groupe de travail doit acheter $7$ de ces mêmes cahiers pour un projet du collège.

1. a) Avant de faire des calculs avec papier et crayon, estimer mentalement si le prix total des $7$ cahiers sera supérieur ou inférieur à $12\text{ €}$ et entre quels deux nombres entiers d'euros il devrait se situer. Expliquer comment vous êtes parvenu à cette estimation.
2. b) Calculer le coût exact des $7$ cahiers en appliquant le retour à l'unité (en déterminant d'abord le prix de $1$ cahier).
3. c) Comparer la valeur numérique obtenue avec votre estimation et justifier si votre résultat est cohérent avec le prix de départ.

Sur une carte du massif des Vosges, l'échelle indique que $2\text{ cm}$ sur le papier représentent $5\text{ km}$ dans la réalité. Si, pour réaliser une randonnée entre deux villages, la distance mesurée sur la carte est de $8,5\text{ cm}$, combien de kilomètres les randonneurs parcourront-ils dans la réalité ?

Pour fêter la fin du trimestre, un groupe d'amis veut acheter des « gemmes » pour son jeu vidéo préféré. Ils ont vu qu'un pack de $1200$ gemmes coûte $14,40\text{ €}$. Si un ami a exactement $21\text{ €}$ d'économies, combien de gemmes pourra-t-il acheter si la relation est proportionnelle ?

Recopier et compléter le tableau de proportionnalité suivant, qui relie la quantité de kilogrammes de peinture à la surface qu'on peut recouvrir. Calculer aussi le coefficient de proportionnalité $k$ exprimé en $m^2/kg$.

Une voiture hybride consomme en moyenne $4,5\text{ litres}$ de carburant pour $100\text{ km}$ parcourus. Si le réservoir a une capacité totale de $54\text{ litres}$ et qu'il est actuellement plein, quelle distance maximale le véhicule pourra-t-il parcourir avant de tomber en panne de carburant ?

Le graphique suivant montre la relation entre le temps pendant lequel une fontaine est allumée et les litres d'eau qu'elle rejette. Observer le point marqué et déterminer combien de litres la fontaine rejettera si elle reste ouverte pendant $15\text{ minutes}$.

Pour cuisiner une paella géante pour $12\text{ personnes}$, le chef utilise $1,5\text{ kg}$ de riz et $3\text{ litres}$ de bouillon. Si soudain plus de personnes s'inscrivent et qu'ils sont maintenant $18$ en tout, calculer par la méthode de réduction à l'unité quelle quantité de riz et de bouillon le chef aura besoin maintenant.

Un robinet qui goutte perd environ $1,2\text{ centilitres}$ d'eau toutes les $10\text{ secondes}$. Si on ne le répare pas, combien de litres d'eau aura-t-il gaspillés au bout d'une heure entière ? (Penser à convertir d'abord le résultat dans l'unité demandée.)

Trois agriculteurs ont travaillé à la récolte d'un verger d'orangers proportionnellement au temps que chacun y a consacré. S'ils ont touché $1500\text{ €}$ en tout et que les temps de travail ont été :

• Agriculteur A : $12\text{ heures}$

• Agriculteur B : $18\text{ heures}$

• Agriculteur C : $20\text{ heures}$

Combien d'argent revient à chacun d'eux ?

Pour $3$ places de cinéma, nous avons payé $25,50\ \text{€}$. Nous voulons acheter $7$ places pour toute la bande. Résoudre le problème des deux façons suivantes :

1. a) Par réduction à l'unité : calculer le prix d'une place, puis celui de $7$.
2. b) Avec un produit en croix : poser la proportion $\frac{3}{25,50} = \frac{7}{x}$ et isoler $x$.
3. c) Les deux résultats coïncident-ils ? Quelle méthode te semble la plus commode et pourquoi ?

Au laboratoire de SVT, vous étudiez la perte d'eau d'un robinet défectueux qui goutte à un rythme constant. À l'aide d'une éprouvette graduée, vous mesurez que toutes les $12\text{ minutes}$, on recueille exactement $0,36\text{ litres}$ d'eau.

1. a) Tu veux savoir quelle quantité d'eau sera recueillie au bout de $36\text{ minutes}$. Comparer deux démarches possibles : appliquer un produit en croix complet ou utiliser les propriétés de la proportionnalité (en observant la relation multiplicative directe entre $12$ et $36$). Justifier laquelle des deux méthodes est la plus rapide et calculer ce volume.
2. b) Tu dois maintenant calculer le volume recueilli sur un intervalle de $25\text{ minutes}$. Le calcul mental précédent est-il toujours pratique, ou vaut-il mieux calculer d'abord le coefficient de proportionnalité (litres par minute) ? Justifier ton choix et calculer combien de litres auront été perdus pendant ces $25\text{ minutes}$.

D'après des données techniques d'installations d'autoconsommation énergétique en France, une maison individuelle équipée de $4$ panneaux solaires identiques produit, par une journée ensoleillée de printemps, en moyenne $6,8\text{ kWh}$ d'énergie électrique. Une famille voisine souhaite installer des panneaux identiques pour couvrir un besoin énergétique quotidien de $15,3\text{ kWh}$ dans les mêmes conditions climatiques.

1. a) Justifier pourquoi le nombre de panneaux solaires et la quantité d'énergie électrique produite sont des grandeurs proportionnelles.
2. b) Déterminer le coefficient de proportionnalité $k$, en indiquant quelle grandeur il représente et dans quelles unités il s'exprime.
3. c) Écrire la formule qui modélise l'énergie produite ($E$, en $\text{kWh}$) en fonction du nombre de panneaux installés ($n$).
4. d) Utiliser ce modèle pour déterminer combien de panneaux solaires entiers la famille voisine doit installer pour assurer cette production quotidienne.

Dans un atelier de robotique, des élèves programment un drone pour inspecter un parc naturel. Le drone consomme de la batterie de façon proportionnelle à la distance parcourue. Si, pour parcourir $2,5\ km$, le drone consomme $15\%$ de sa batterie totale :

1. a) Quel est le coefficient de proportionnalité si l'on exprime la relation sous la forme « pourcentage de batterie par kilomètre » ?
2. b) Si le point de retour est à $7\,200\ m$ de la base, aura-t-il assez de batterie pour faire l'aller-retour s'il décolle avec la batterie pleine ? Justifier la réponse par des calculs.

Une marque de vêtements durables utilise des fibres recyclées pour fabriquer ses t-shirts. La relation entre la masse de bouteilles en plastique collectées et le fil obtenu est proportionnelle. On sait qu'avec $3,6\ kg$ de bouteilles, on peut fabriquer exactement $8$ t-shirts de taille L.

1. a) Si chaque t-shirt de taille L nécessite $225\ g$ de fil, combien de grammes de fil obtient-on par kilogramme de bouteilles en plastique ?
2. b) La mairie d'une ville a collecté $1,2\ tonnes$ de bouteilles. Combien de t-shirts pourrait-on fabriquer au total ?

Pour teindre des tissus avec des teintures naturelles, une artisane mélange de l'extrait de betterave et de l'eau. La quantité d'extrait est proportionnelle au volume d'eau. Dans son cahier, elle a noté que pour $1,5\ litres$ d'eau, il faut $120\ ml$ d'extrait. Elle souhaite toutefois préparer une cuve avec un volume total de mélange (eau + extrait) de $10,8\ litres$. Quelle quantité exacte d'eau et d'extrait doit-elle mélanger pour conserver la proportion ?

Le graphique suivant montre la relation entre le temps de charge d'un nouveau modèle de smartphone et le pourcentage de batterie récupéré. Le fabricant affirme que la charge est proportionnelle au temps pendant les $40$ premières minutes.

1. a) En observant le point mis en évidence, calculer en combien de minutes le téléphone charge $1\%$ de batterie.
2. b) Si le téléphone a actuellement $12\%$ de batterie et que tu dois partir de chez toi dans $18$ minutes, avec quel pourcentage de batterie partiras-tu ?

Sur une carte de haute montagne à l'échelle $1:25\,000$, la distance entre deux refuges est de $14,4\ cm$. Un groupe de randonneurs sait que sa vitesse moyenne de montée est constante et qu'il met $45$ minutes pour parcourir $1\,500\ m$ réels sur ce terrain.

1. a) Calculer la distance réelle entre les deux refuges en kilomètres.
2. b) À quelle heure arriveront-ils au second refuge s'ils partent du premier à 8 h 30 du matin ?

Un serveur de jeux vidéo distribue des données aux joueurs de manière proportionnelle au temps de connexion. Un joueur a téléchargé $1,8\ Go$ au cours des $12$ dernières minutes.

1. a) Calculer le débit de transfert en $Mo$ par minute (rappel : $1\ Go = 1\,024\ Mo$).
2. b) Si la mise à jour complète du jeu pèse $15\ Go$, combien d'heures et de minutes le téléchargement mettra-t-il à se terminer si la vitesse reste constante ?

Trois classes de 6e ont décidé d'organiser une collecte de denrées alimentaires. Le nombre de kilos collectés est proportionnel au nombre d'élèves de chaque classe. La classe A compte $24$ élèves et a collecté $36\ kg$.

1. a) Compléter le tableau suivant en justifiant les calculs :

1. b) Quel est le coefficient de proportionnalité qui relie les kilos par élève ? L'exprimer sous la forme d'une fraction irréductible.

Une entreprise de messagerie utilise des camionnettes électriques. Le coût de la consommation électrique est proportionnel aux kilomètres parcourus. Le mois dernier, une camionnette a parcouru $1\,250\ km$ pour un coût total de $37,50\ €$ d'électricité.

1. a) Ce mois-ci, le prix de l'électricité a augmenté de $20\%$. Quel sera le nouveau coefficient de proportionnalité (coût par kilomètre) ?
2. b) Avec le nouveau prix, combien coûtera un trajet de $420\ km$ ?

Une imprimante 3D met $4,5$ heures pour imprimer une pièce de $270$ grammes de filament. On veut savoir combien de temps elle mettra pour imprimer une autre pièce de $420$ grammes, en supposant le même rythme.

1. a) Expliquer pourquoi la masse de la pièce et le temps d'impression sont des grandeurs proportionnelles.
2. b) Poser le produit en croix et calculer le temps que mettra la pièce de $420$ grammes.
3. c) Combien de grammes la machine imprime-t-elle en une heure ? Vérifier le résultat de la question b) à l'aide de cette donnée.

Dans un moulin à huile de Provence, on vend de l'huile d'olive vierge extra. Le prix final est strictement proportionnel au volume d'huile acheté, sans frais fixes de conditionnement ni remise sur la quantité. Deux clients se trouvent dans la boutique :

• Le premier client achète un certain nombre de bidons de $5\text{ litres}$ et règle une facture de $135\text{ €}$.

• Le second client achète exactement $7\text{ litres}$ d'huile de plus que le premier et paie un total de $198\text{ €}$.

1. a) Déterminer le prix d'un seul litre d'huile (le coefficient de proportionnalité $k$) sans connaître au préalable combien de litres chacun a achetés. Justifier avec rigueur le raisonnement qui permet de le calculer à partir des différences de volume et de prix.
2. b) Construire l'expression mathématique qui relie le coût total $C$ (en euros) au volume total $V$ (en litres).
3. c) À partir du modèle, reconstituer les données de l'achat du premier client : calculer combien de litres d'huile il a emportés et combien de bidons entiers de $5\text{ litres}$ il a achetés.

Le service municipal de location de vélos d'une ville propose deux formules de paiement :

• Formule A (sans abonnement) : pas de frais fixes initiaux ; on paie $0,60\text{ €}$ par demi-heure d'utilisation entamée.

• Formule B (avec abonnement annuel) : on paie des frais fixes annuels de $24\text{ €}$, puis $0,20\text{ €}$ par demi-heure d'utilisation entamée.

1. a) Vérifier si le montant total payé dans l'année est proportionnel au temps d'utilisation dans chacune des deux formules. Pour le justifier, calculer le quotient (coût total / nombre de demi-heures) pour $1$, $2$ et $10$ demi-heures dans les deux options et analyser s'il reste constant.
2. b) Un cycliste abonné à la formule B affirme : « Si cette année j'utilise le vélo deux fois plus longtemps que l'an dernier, ma dépense annuelle sera exactement doublée. » Démontrer à l'aide d'un contre-exemple numérique que son affirmation est fausse et expliquer quel élément du tarif empêche la proportionnalité.
3. c) Une personne calcule qu'elle utilisera le service exactement $80$ demi-heures pendant l'année. Modéliser algébriquement le coût des deux tarifs pour cette valeur et déterminer lequel est le plus économique, en calculant la différence d'économie en euros.