Exercices: Système sexagésimal

Le système sexagésimal repose sur le nombre $60$. Effectuer les conversions de temps suivantes :

1. a) Combien de minutes font $3$ heures et $15$ minutes ?
2. b) Une vidéo TikTok dure $150$ secondes. L'exprimer en minutes et secondes (forme complexe).
3. c) Si une série télévisée dure $0,5$ heures, combien de minutes cela fait-il ?

Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut $90^\circ$. Calculer l'angle qui manque à chacun des angles suivants pour être complémentaire :

1. a) $\hat{A} = 35^\circ$
2. b) $\hat{B} = 52^\circ$ $30'$
3. c) $\hat{C} = 89^\circ$

Manon a commencé à étudier à $17:45$ et a terminé à $19:10$.

1. a) Combien de temps a-t-elle étudié au total ? (Exprimer le résultat en heures et minutes.)
2. b) Si elle a fait une pause de $15$ minutes au milieu de l'après-midi, combien de temps réel d'étude a-t-elle eu ?

L'entraîneur d'une équipe de natation note les durées des séances dans des unités différentes. Exprimer chaque durée dans l'unité demandée :

1. a) La séance du lundi a duré $1,5$ heures. Combien de minutes cela fait-il ?

1. b) Le meilleur relais de l'équipe a été réalisé en $210$ secondes. Combien de minutes et de secondes cela fait-il ?

1. c) Une nageuse a tenu $2$ minutes et $40$ secondes en apnée. Exprimer ce temps uniquement en secondes.

1. d) La séance du vendredi a duré $2,25$ heures. Combien de minutes cela fait-il ?

Lors du festival de musique du collège, le concert final se divise en trois parties : la prestation du groupe de sixième dure $25$ minutes, celle du groupe de cinquième $35$ minutes et celle du groupe de quatrième $45$ minutes.

1. a) Combien de minutes dure le concert au total ?

1. b) Exprimer cette durée en heures et minutes.

Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut $180^\circ$. Calculer l'angle supplémentaire de chacun des angles suivants :

1. a) $65^\circ$

1. b) $110^\circ$

1. c) $90^\circ$

1. d) $179^\circ$

1. e) $45,5^\circ$

Observer les quatre angles dessinés ci-dessous. Sans utiliser le rapporteur, les classer en aigu, droit, obtus ou plat. Puis les ranger du plus petit au plus grand.

Marc s'entraîne à l'athlétisme et enregistre ses performances avec une application mobile. À la fin d'une séance de course, l'écran de son téléphone indique un temps de $1,45\ h$. Marc note dans son carnet sportif : « Aujourd'hui, j'ai couru pendant 1 heure et 45 minutes ».\n\na) Expliquer en détail quelle erreur commet Marc en interprétant le nombre $1,45\ h$. Dans quel système de numération la partie décimale est-elle exprimée et dans quelle base mesure-t-on habituellement les minutes ?\n\nb) Corriger le calcul de Marc et déterminer la durée exacte de son entraînement sous forme complexe (heures et minutes).

En cours d'arts plastiques, on conçoit une équerre en assemblant deux pièces triangulaires par un de leurs sommets. Les pièces ont deux angles aigus qui mesurent $\alpha = 38^\circ\ 47'$ et $\beta = 51^\circ\ 24'$. Le professeur demande si, en plaçant ces deux angles côte à côte, ils formeront un angle droit ($90^\circ$, c'est-à-dire s'ils sont complémentaires).\n\na) Avant de faire l'addition avec des minutes sexagésimales, arrondir chaque angle au degré entier le plus proche et faire une estimation mentale : la somme semble-t-elle être exactement $90^\circ$, au-dessus ou en dessous ?\n\nb) Effectuer maintenant la somme exacte des deux angles dans le système sexagésimal.\n\nc) À partir du résultat exact, déterminer s'ils sont réellement complémentaires. Dans le cas contraire, calculer ce qui leur manque ou ce qu'ils ont en trop pour former un angle droit de $90^\circ$ et juger si votre estimation initiale était correcte.

Un tournoi d'e-sport comporte trois phases. La première phase a duré $2\text{ h } 45\text{ min } 15\text{ s}$, la deuxième phase a duré $1\text{ h } 58\text{ min } 50\text{ s}$ et la grande finale a duré $55\text{ min } 20\text{ s}$.

1. a) Quelle a été la durée totale du tournoi sous forme complexe ?
2. b) Si le tournoi a été enregistré en intégralité et que le fichier vidéo occupe $12\text{ MB}$ par minute d'enregistrement, combien de $GB$ occupe environ la vidéo totale ? (Donnée : $1\text{ GB} = 1\,024\text{ MB}$.)

Un graphiste trace le logo d'une nouvelle application. Le logo utilise un angle principal de $125^\circ \ 40' \ 12''$.

1. a) Le graphiste doit diviser cet angle en trois parties égales pour créer un effet d'éventail. Combien mesurera chacun des trois angles obtenus ?
2. b) Quel est l'angle supplémentaire de l'angle d'origine ?

Exprimer en secondes les durées suivantes, puis les ranger de la plus grande à la plus petite :

• $t_1 = 2,5\text{ heures}$

• $t_2 = 145\text{ minutes et } 30\text{ secondes}$

• $t_3 = 9\,200\text{ secondes}$

• $t_4 = 2\text{ h } 30\text{ min } 15\text{ s}$

Une famille fait un voyage en train avec une correspondance. Le premier trajet dure $1\text{ h } 45\text{ min } 30\text{ s}$, l'attente à la gare de correspondance est de $50\text{ min } 40\text{ s}$ et le second trajet dure $2\text{ h } 15\text{ min } 50\text{ s}$.

1. a) Combien de temps dure le voyage complet, depuis la montée dans le premier train jusqu'à la descente du second ?

1. b) S'ils sont partis de chez eux à $8:30$ du matin et ont mis $10$ minutes pour arriver à pied à la première gare, à quelle heure sont-ils arrivés à leur destination finale ?

Lors d'un contre-la-montre de cyclisme scolaire, le départ d'une coureuse est enregistré à $10\text{ h } 15\text{ min } 30\text{ s}$ et son arrivée à $11\text{ h } 2\text{ min } 15\text{ s}$.

1. a) Combien de temps a-t-elle mis pour effectuer le parcours ?

1. b) Si le vainqueur de l'épreuve a mis $42\text{ min } 10\text{ s}$, combien de temps sépare notre coureuse de la première place ?

Rappel : deux angles sont complémentaires lorsque leur somme vaut $90^\circ$. Dans l'atelier de technologie, un guide de coupe forme un angle de $67^\circ \ 25' \ 40''$ avec le bord de la table. Pour que la coupe soit perpendiculaire au bord, il faut placer une cale dont l'angle est le complémentaire.

1. a) Calculer l'angle de la cale en exprimant le résultat en degrés, minutes et secondes.

1. b) Si le guide est ensuite réglé à $45^\circ \ 30'$, quel serait alors l'angle de la cale ?

D'après les relevés de Météo-France pour le jour du solstice d'été, à Brest le Soleil se lève à $06:38$ et se couche à $21:57$. Le même jour, à Nice, le lever du soleil a lieu à $06:55$ et le coucher à $21:30$.\n\na) Modéliser la durée du jour de chaque ville par une soustraction de temps dans le système sexagésimal. Exprimer la durée du jour à Brest et à Nice en heures et minutes.\n\nb) Combien de temps de plus de lumière solaire directe Brest a-t-elle par rapport à Nice ce jour-là ? Effectuer l'opération sous forme complexe en indiquant étape par étape comment gérer les unités si l'on doit emprunter une heure.\n\nc) Exprimer la durée du jour à Brest sous forme décimale en heures avec deux décimales et expliquer quel avantage pratique présente l'utilisation de la forme complexe ($h$ et $min$) dans la vie quotidienne.

Dans un atelier de technologie, on doit diviser un angle de $50^\circ$ en trois secteurs égaux pour construire un gabarit de découpe. Deux élèves proposent des démarches différentes pour calculer la mesure exacte de chaque secteur :\n\n- Méthode de Serge (décimale) : il divise directement $50$ par $3$ avec la calculatrice en degrés décimaux, puis essaie de convertir les décimales en minutes.\n- Méthode d'Irène (sexagésimale) : elle effectue la division entière $50^\circ : 3$, convertit le reste de degrés en minutes en multipliant par $60$, puis répartit ces minutes entre $3$.\n\na) Appliquer la méthode de Serge en indiquant quel résultat décimal on obtient en calculant $50 : 3$ et quel inconvénient on rencontre en essayant d'exprimer la solution exacte.\n\nb) Appliquer la méthode d'Irène étape par étape et obtenir la mesure exacte de l'angle en degrés et minutes sexagésimaux.\n\nc) Comparer les deux démarches : laquelle est la plus commode et la plus précise dans ce cas ? Justifier votre réponse en la reliant à la raison historique du choix de la base 60 (le grand nombre de diviseurs de 60 par rapport à la base 10).

Un satellite de communication orbite autour de la Terre et effectue un tour exact toutes les $103\text{ minutes et } 24\text{ secondes}$. Si le satellite a commencé sa première orbite un lundi à $08:15:00$, à quelle heure exacte, exprimée en heures, minutes et secondes, aura-t-il achevé son quinzième tour ? Indiquer aussi si l'on sera toujours lundi ou si le jour aura changé.

Calculer la mesure de l'angle intérieur d'un polygone régulier à $9$ côtés (ennéagone). Exprimer le résultat sous forme complexe (degrés, minutes et secondes). Rappel : la somme des angles intérieurs d'un polygone à $n$ côtés se calcule avec la formule : $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

Un marathonien maintient une allure constante de $4\text{ minutes et } 15\text{ secondes}$ par kilomètre parcouru.

1. a) Combien de temps total mettra-t-il pour terminer une course de $15\text{ km}$ ? Exprimer le résultat en heures, minutes et secondes.
2. b) Si la course a commencé à $10:45\text{ h}$, à quelle heure franchira-t-il la ligne d'arrivée ?

Une horloge murale avance de $18\text{ secondes}$ toutes les $4\text{ heures}$. Si elle est mise à l'heure exacte le $1$ mars à $12:00$ de midi, quelle heure indiquera cette horloge quand l'heure réelle sera exactement $12:00$ de midi le $11$ mars ? Donner la réponse en heures, minutes et secondes.

Votre amie Aïcha est partie en échange à Tokyo. En été, il y a $7$ heures de plus à Tokyo qu'en Espagne péninsulaire (quand il est $12:00$ ici, il est $19:00$ là-bas).

1. a) S'il est $18:30$ en Espagne, quelle heure est-il à Tokyo ? Attention : on peut déjà être le lendemain.

1. b) Aïcha ne peut parler en visioconférence qu'avant de se coucher, à $22:15$ heure japonaise. À quelle heure espagnole devez-vous vous connecter ?

1. c) Une chaîne de musique diffuse un concert en direct depuis Tokyo qui commence à $9:00$ heure japonaise et dure $1\text{ h } 45\text{ min}$. À quelle heure espagnole se termine la diffusion ?

Une patineuse a terminé un marathon en roller de $42$ km en $2\text{ h } 20\text{ min}$ exactement.

1. a) Quelle a été son allure moyenne par kilomètre ? L'exprimer en minutes et secondes.

1. b) À la prochaine course, elle veut améliorer son record en maintenant une allure de $3\text{ min } 10\text{ s}$ par kilomètre. En combien de temps parcourrait-elle la même distance ? Exprimer le résultat en heures et minutes.

Dans le logo triangulaire d'un club de randonnée, deux des angles du triangle mesurent $45^\circ \ 30'$ et $72^\circ \ 45' \ 30''$.

1. a) Déterminer la mesure du troisième angle en exprimant le résultat en degrés, minutes et secondes.

1. b) Classer le triangle selon ses angles (acutangle, rectangle ou obtusangle) et justifier votre réponse.

Observer la figure du logo, où la valeur du troisième angle est manquante :

On cherche deux angles aigus, $\hat{A}$ et $\hat{B}$, exprimés sous forme complexe en degrés, minutes et secondes (c'est-à-dire de la forme $g^\circ\ m'\ s''$, où $m \neq 0$ et $s \neq 0$), qui vérifient simultanément ces trois conditions :\n\n1. Ils sont complémentaires (leur somme vaut exactement $90^\circ$).\n2. Les deux angles ont le même nombre de secondes ($s_{\hat{A}} = s_{\hat{B}}$).\n3. La mesure de l'angle $\hat{A}$ est supérieure au double de celle de l'angle $\hat{B}$ ($\hat{A} > 2 \cdot \hat{B}$).\n\na) Expliquer pourquoi, pour que la somme totale soit exactement $00''$ sans qu'aucun des deux angles n'ait $0''$, il est mathématiquement obligatoire que les secondes des deux angles soient exactement $30''$.\n\nb) Déduire ce que doit valoir la somme des minutes des deux angles ($m_{\hat{A}} + m_{\hat{B}}$) et celle de leurs degrés ($g_{\hat{A}} + g_{\hat{B}}$), en tenant compte des retenues entre ordres sexagésimaux.\n\nc) Proposer un couple d'angles $\hat{A}$ et $\hat{B}$ qui vérifie toutes les conditions et justifier en détail par des calculs que la complémentarité et la condition $\hat{A} > 2 \cdot \hat{B}$ sont bien vérifiées.

La Terre effectue un tour sur son axe de $360^\circ$ toutes les $24\text{ heures}$. Grâce à ce mouvement de rotation, il existe une relation directe entre les mesures angulaires de longitude géographique et les unités de temps du système sexagésimal.\n\na) Déduire à combien de degrés de rotation terrestre correspond $1\text{ heure}$ de temps et démontrer que la rotation d'un seul degré ($1^\circ$) correspond exactement à $4\text{ minutes}$ de temps. Calculer ensuite à combien de secondes de temps correspond la rotation d'une minute d'arc ($1'$).\n\nb) En Espagne péninsulaire, la ville de Castelló de la Plana se situe approximativement à une longitude de $0^\circ\ 04'\text{ E}$ (à l'est du méridien de Greenwich), tandis qu'A Coruña se trouve à $8^\circ\ 24'\text{ O}$ (à l'ouest du méridien de Greenwich). Calculer l'écart angulaire total entre les deux villes en additionnant leurs distances au méridien zéro.\n\nc) Avec les équivalences obtenues à la question a), calculer la différence exacte de temps solaire (en minutes et secondes) entre les deux villes. Si à Castelló de la Plana le midi solaire (l'instant où le Soleil est au point le plus haut dans le ciel) a lieu à $13:42:00$ à l'horloge, expliquer à quelle heure d'horloge solaire il aura lieu à A Coruña, sachant que la Terre tourne d'ouest en est.

Défi du thème. Concevoir un rapport d'« audit de la consommation d'eau domestique » pour optimiser la consommation d'eau de votre foyer.

1. Espace et temps : Mesurer avec un mètre ruban la longueur et la largeur de votre receveur de douche en $\text{cm}$ et calculer sa surface en $\text{m}^2$. Puis chronométrer une douche habituelle en notant la durée exacte en minutes et secondes avec le système sexagésimal (par exemple, $4\text{ min } 35\text{ s}$) et la convertir en secondes.

2. Capacité et masse : Placer une bouteille de $1,5\text{ l}$ sous le robinet ; si elle met $10\text{ s}$ à se remplir complètement, estimer le débit en $\text{l/s}$. Calculer les litres consommés pendant votre douche et la masse de cette eau en $\text{kg}$ sachant que $1\text{ l} = 1\text{ kg}$.

3. Monômes et tableur : Si chaque minute de douche consomme un débit fixe $c$, exprimer la consommation sous la forme du monôme $c \cdot t$. Modéliser la consommation quotidienne de la famille en additionnant les monômes semblables du temps de chaque membre (exemple : $3c + 5c + 4c = 12c$). Reporter les données dans un tableur pour projeter le volume mensuel en $\text{m}^3$ et sa masse en tonnes.

Rendre un rapport bref avec une proposition argumentée pour réduire la consommation familiale d'au moins $15\,\%$.

Seront évalués :

• La précision des changements d'unités de longueur, d'aire, de capacité et de masse.

• Le bon traitement du système sexagésimal dans la mesure du temps.

• L'écriture et l'addition correctes des monômes pour modéliser la consommation.

• La cohérence et la rigueur de la proposition finale à partir des données obtenues.