Exercices: Aires

Pour un projet d'arts plastiques, Lucas a besoin d'un carton qui mesure exactement $2\,400 \text{ cm}^2$. À la papeterie, le vendeur lui dit que les dimensions sont exprimées en décimètres carrés. Combien de $\text{dm}^2$ Lucas doit-il demander pour son projet ?

Calculer l'aire de la figure colorée suivante en comptant les carreaux du quadrillage. Chaque petit carreau représente une aire de $1 \text{ m}^2$. Exprimer le résultat final en décamètres carrés ($\text{dam}^2$).

Dans le monde de l'agriculture, on utilise des unités spéciales. Relier chaque mesure du Système international à son unité agraire correspondante :

1. a) $1 \text{ hm}^2$
2. b) $1 \text{ dam}^2$
3. c) $1 \text{ m}^2$

I. Are ($a$)

II. Hectare ($ha$)

III. Centiare ($ca$)

Une mairie a décidé de créer un parc central de $5 \text{ hectares}$. Si elle veut installer une aire de jeux qui occupe $1\,500 \text{ m}^2$, combien de mètres carrés resteront disponibles pour les arbres et les allées dans le reste du parc ?

Choisir l'unité de mesure la plus adaptée pour exprimer l'aire des objets suivants :

1. a) L'écran d'un smartphone.
2. b) Un terrain de football de Ligue 1.
3. c) La superficie de l'Espagne.
4. d) Le sol de ta chambre.

(Options : $km^2$, $hm^2$, $m^2$, $cm^2$)

Un agriculteur possède trois parcelles dont les aires sont les suivantes :

• Parcelle A : $0,45 \text{ hm}^2$

• Parcelle B : $5\,200 \text{ m}^2$

• Parcelle C : $48 \text{ dam}^2$

Ranger les parcelles de la plus petite à la plus grande aire en comparant leurs mesures en $\text{m}^2$.

Exprimer en mètres carrés, avec une seule unité, la mesure d'aire suivante donnée avec plusieurs unités :

$3 \text{ dam}^2$, $25 \text{ m}^2$ et $75 \text{ dm}^2$

Dans une résidence, on va paver une zone commune carrée de $10 \text{ mètres}$ de côté. On utilisera des dalles carrées d'aire $1 \text{ dm}^2$ chacune. Combien de dalles faudra-t-il pour recouvrir toute la zone ?

Mathis veut changer le sol de sa chambre et doit trouver combien de décimètres carrés mesure un tapis de $3,5\text{ m}^2$. Dans son cahier, il écrit la résolution suivante : « Comme pour passer des mètres aux décimètres on descend d'un rang dans le tableau, on multiplie par $10$ ; donc $3,5\text{ m}^2 = 35\text{ dm}^2$ ».\na) Identifier l'erreur commise par Mathis et expliquer avec tes mots (en t'appuyant sur le carré de $1\text{ m}$ de côté) pourquoi, pour les unités d'aire, on ne multiplie ni ne divise par $10$.\nb) Corriger le calcul et trouver la mesure réelle du tapis en décimètres carrés.

La mairie d'une commune va rénover le sol d'une salle d'exposition de $60\text{ m}^2$ en utilisant des dalles carrées de $50\text{ cm}$ de côté.\na) Avant de calculer avec des formules, faire une estimation justifiée : si chaque dalle mesure un demi-mètre de côté, combien de dalles faut-il pour couvrir un seul mètre carré ($1\text{ m}^2$) ? À partir de cette donnée, estimer mentalement combien de dalles seront nécessaires au total pour la salle.\nb) Calculer l'aire d'une dalle en mètres carrés ($m^2$) et obtenir le nombre exact de dalles nécessaires.\nc) Comparer le résultat exact avec l'estimation initiale et justifier si l'estimation était cohérente et utile.

Une mairie planifie la création d'un nouveau parc périurbain. Elle a acheté trois parcelles contiguës dont les aires sont exprimées dans différentes unités :

• Parcelle A : $0,052\text{ km}^2$

• Parcelle B : $140\text{ dam}^2$

• Parcelle C : $8\,500\text{ m}^2$

Exprimer l'aire totale du futur parc en hectares ($ha$).

L'écran d'un nouveau modèle de tablette a pour dimensions $250\text{ mm}$ de haut sur $160\text{ mm}$ de large. Le fabricant affirme que l'aire utile de l'écran est exactement de $4\text{ dm}^2$. L'affirmation du fabricant est-elle exacte ? Justifier la réponse en effectuant les calculs nécessaires en $\text{cm}^2$.

Un incendie de forêt a touché une zone de montagne. Les informations indiquent que $12\text{ km}^2$ et $45\text{ hm}^2$ de forêt ont brûlé. Pour organiser le reboisement, les techniciens forestiers ont besoin de connaître la surface touchée en ares ($a$) et en centiares ($ca$). Effectuer la conversion dans ces deux unités.

On veut changer le sol d'une cuisine rectangulaire qui mesure $420\text{ cm}$ de long sur $3\text{ m}$ de large. On utilisera des carreaux carrés d'aire $20\text{ dm}^2$ chacun :

1. a) Calculer l'aire totale de la cuisine en $\text{m}^2$.
2. b) Combien de carreaux faudra-t-il pour recouvrir tout le sol ?

Ranger de la plus grande à la plus petite les aires suivantes de parcs naturels espagnols, en les convertissant d'abord toutes dans une même unité (celle de ton choix) :

• Parc A : $12\,400\,000\text{ m}^2$

• Parc B : $1\,350\text{ ha}$

• Parc C : $128\text{ km}^2$

• Parc D : $1\,250\,000\text{ dam}^2$

Un agriculteur possède un terrain de $3\text{ ha}$, $5\text{ a}$ et $25\text{ ca}$. Il décide de vendre une partie de son terrain pour la construction d'une route. La partie vendue mesure exactement $4\,200\text{ m}^2$. Quelle surface de terrain, exprimée avec plusieurs unités (hectares, ares et centiares), reste-t-il à l'agriculteur ?

Sur le plan à l'échelle d'un centre commercial, l'allée centrale est représentée par un rectangle d'aire $450\text{ cm}^2$. Sachant que dans la réalité cette allée occupe $0,18\text{ dam}^2$ :

1. a) Exprimer les deux quantités en $\text{dm}^2$.
2. b) Combien de fois l'aire réelle est-elle plus grande que l'aire sur le plan ?

Calculer l'aire de la figure irrégulière suivante en la décomposant en carrés et en rectangles. Chaque carreau du quadrillage de fond représente une aire de $100\text{ cm}^2$. Exprimer le résultat final en décimètres carrés ($\text{dm}^2$).

Dans les rapports d'urgence sur les feux de forêt en Espagne, les données de surface brûlée sont souvent notées en combinant le système métrique et les unités agraires. Après un début d'incendie dans une comarque de Castille-et-León, les techniciens de l'environnement ont émis le bilan suivant avec deux foyers détectés :\n- Foyer A : il a touché une surface de $0,045\text{ km}^2$.\n- Foyer B : il a touché une aire de $380\text{ ares}$.\na) Convertir la surface de chaque foyer en mètres carrés ($m^2$) et calculer la surface totale brûlée exprimée en hectares ($ha$).\nb) Dans les journaux télévisés, on traduit souvent ces catastrophes en « terrains de football réglementaires » (dont l'aire moyenne standard est d'environ $0,7\text{ ha}$). À combien de terrains de football entiers correspond approximativement l'aire totale dévastée ? Évaluer de façon critique si cette comparaison aide la population à mesurer l'ampleur des dégâts environnementaux.

Une coopérative agricole dispose d'une parcelle rectangulaire d'aire totale $1,2\text{ ha}$ et de largeur $80\text{ m}$. Les associés décident d'organiser la parcelle en trois secteurs :\n- Le secteur de l'oliveraie occupera exactement $50\,\%$ du terrain.\n- Le secteur du potager occupera $45\text{ ares}$.\n- L'espace restant sera destiné à un bassin d'irrigation et à un hangar à outils.\na) Calculer la longueur totale de la parcelle en mètres.\nb) Déterminer l'aire qu'occuperont le bassin et le hangar, en exprimant le résultat en mètres carrés ($m^2$) et en centiares ($ca$).\nc) Si le secteur du potager est conçu sur toute la largeur de la parcelle ($80\text{ m}$), quelle doit être la longueur de cette zone en mètres ?

La mairie a aménagé un terrain de jardins potagers scolaires d'une étendue de $0,12 \text{ km}^2$ et $5,4 \text{ hm}^2$. Pour mieux l'exploiter, elle le divise en parcelles de $60 \text{ ares}$ chacune. Si chacune de ces parcelles produit en moyenne $850 \text{ kg}$ de légumes par an et que le prix moyen des légumes sur le marché est de $0,75 \text{ €/kg}$, calculer la valeur totale de la production de l'ensemble du terrain pour une récolte.

Pour la construction d'un nouveau centre commercial, on a clôturé un terrain rectangulaire de $2,4 \text{ hm}$ de long et $150 \text{ m}$ de large. La mairie impose de consacrer $25 \%$ de la surface totale aux espaces verts et un autre $15 \%$ aux parkings. Si le reste est divisé en locaux commerciaux de $120 \text{ m}^2$ de surface moyenne, combien de locaux pourra-t-on construire au total ?

Un artiste veut recouvrir la façade latérale d'un immeuble de panneaux solaires carrés de $50 \text{ cm}$ de côté. La façade est un rectangle de $12 \text{ m}$ de haut et $3,5 \text{ dam}$ de long, mais il faut retirer 8 fenêtres identiques qui mesurent $150 \text{ dm}^2$ chacune. Calculer le nombre total de panneaux solaires à acheter pour recouvrir toute la surface disponible de la façade.

Dans un plan de reboisement après un incendie, on va travailler sur une surface de $14 \text{ ha}, 5 \text{ a}$ et $20 \text{ ca}$. Les ingénieurs forestiers ont décidé de planter un arbre pour chaque $12 \text{ m}^2$ de terrain. Si le coût de chaque plant est de $4,80 \text{ €}$ et que la main-d'œuvre coûte $250 \text{ €}$ par décamètre carré travaillé, quel sera le budget total nécessaire pour le reboisement ?

Un graphiste crée un logo sur une plaque métallique. Le logo est constitué d'un carré central d'aire $4 \text{ dm}^2$. Autour de ce carré, il ajoute quatre carrés plus petits dont les côtés mesurent la moitié du côté du carré central. Exprimer l'aire totale du logo en millimètres carrés et en décimètres carrés en utilisant uniquement l'écriture avec une seule unité.

La carte d'un parc naturel a une échelle telle que $1 \text{ cm}^2$ sur le papier représente $2\,500 \text{ m}^2$ dans la réalité. Si le parc a une forme irrégulière qui occupe $480 \text{ cm}^2$ sur la carte, calculer son aire réelle en hectares, ares et centiares (écriture avec plusieurs unités). Si un incendie détruit $0,4 \text{ km}^2$ du parc, quel pourcentage de la surface totale a été épargné ?

Le sol d'un gymnase de $12,5 \text{ dam}^2$ de surface va être rénové. On a acheté des cartons de carreaux très résistants, chaque carton contenant de quoi couvrir $2,5 \text{ m}^2$ et coûtant $45 \text{ €}$. En plus du coût du matériel, l'entreprise d'installation facture $18 \text{ €}$ par mètre carré posé. À combien s'élève la facture totale si l'on achète $5 \%$ de matériel en plus du nécessaire pour compenser les pertes dues aux coupes et à la casse ?

Calculer l'aire totale de la figure suivante, composée de pièces métalliques. La pièce principale est un rectangle de $0,8 \text{ m}$ sur $15 \text{ cm}$, sur lequel on a soudé à chacun de ses quatre sommets une patte carrée de $25 \text{ mm}$ de côté. De plus, un trou circulaire d'aire $450 \text{ mm}^2$ a été percé au centre. Exprimer le résultat final en centimètres carrés en arrondissant à l'unité.

Pour paver une placette en forme de « L », le service des travaux dispose d'un croquis aux angles droits avec les mesures suivantes : une base totale de $60\text{ m}$, une hauteur totale de $40\text{ m}$, et un angle rentrant vide qui mesure $25\text{ m}$ de large sur $15\text{ m}$ de profondeur.\nDeux techniciens de la mairie débattent sur la façon de calculer son aire en hectares ($ha$) :\n- Méthode de Laura (additive) : Décomposer la figure en deux rectangles intérieurs qui ne se chevauchent pas, calculer l'aire de chacun en $\text{m}^2$, les additionner et convertir le total en hectares.\n- Méthode de Charles (soustractive) : Calculer l'aire du rectangle complet qui envelopperait toute la figure ($60\text{ m} \times 40\text{ m}$), soustraire l'aire du rectangle vide qui ne fait pas partie de la place et convertir le résultat final en hectares.\na) Appliquer en détail les deux méthodes et vérifier si elles conduisent exactement au même résultat.\nb) Analyser et justifier laquelle des deux méthodes demande le moins d'opérations et présente le moins de risque d'erreur dans l'interprétation des mesures manquantes.\nc) Un troisième technicien propose de convertir toutes les longueurs en hectomètres ($hm$) avant de multiplier pour obtenir directement des hectares. Justifier si cette troisième voie est plus ou moins avantageuse pour effectuer les opérations avec des nombres décimaux.

Une entreprise projette d'installer une centrale solaire photovoltaïque en Andalousie. La réglementation environnementale régionale exige que, pour protéger la faune des steppes, au moins un tiers ($1/3$) de la surface totale du terrain reste intact comme corridor écologique, sans aucune construction.\nLe dossier technique du projet indique que les panneaux solaires occuperont $180\text{ dam}^2$, tandis que les voies d'accès, les onduleurs et le poste de transformation occuperont une surface de $60\text{ ares}$.\na) Modéliser mathématiquement la situation et calculer la surface totale minimale que doit avoir le terrain (exprimée en hectares, $ha$) pour que le projet respecte strictement la législation environnementale.\nb) Si le prix du marché du terrain agricole dans cette zone est de $12\,500\text{ €}$ par hectare, quelle sera la dépense minimale que devra engager l'entreprise pour acquérir le terrain ?\nc) Si un agriculteur de la zone leur propose à la vente un terrain voisin de $0,032\text{ km}^2$, déterminer en justifiant si ce terrain suffit pour réaliser le projet ou s'il doit être refusé.