Exercices: Lieux géométriques

Un jeune entraîne son chien sur un terrain vague. Le chien est attaché à une laisse extensible de $5$ mètres de longueur maximale, fixée à un piquet planté dans le sol. Dessiner et décrire le lieu géométrique formé par les positions que peut occuper le chien s'il garde la laisse toujours tendue (c'est-à-dire étirée au maximum). Choisir une échelle adaptée, par exemple $1$ cm sur le dessin pour $1$ m dans la réalité, et indiquer sur le dessin le piquet et la position du chien.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Deux villages, village A et village B, sont distants de $8$ km, comme le montre la figure. Les autorités veulent construire un arrêt de bus situé exactement à la même distance des deux villages. Sur quelle ligne ou quel lieu géométrique doit-on placer l'arrêt ? Le représenter graphiquement sur votre cahier.

Dans un musée, deux murs forment un angle de $70^\circ$. On souhaite installer une vitrine toujours à égale distance des deux murs. Dessiner l'angle et tracer le lieu géométrique où l'on pourrait placer les objets de la vitrine. Comment s'appelle précisément cette ligne ?

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Identifier le point remarquable du triangle décrit dans chaque cas :

1. a) C'est le point équidistant des trois sommets du triangle.
2. b) C'est le point où se coupent les trois hauteurs d'un triangle.
3. c) C'est le centre du cercle inscrit dans le triangle (celui qui touche ses trois côtés).
4. d) C'est le centre de gravité du triangle et le point où se coupent les médianes.

Dessiner sur votre cahier un triangle dont les côtés mesurent $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm (la figure donne un schéma du triangle). Tracer ses trois médiatrices et marquer leur point d'intersection. Vérifier, à l'aide du compas, que ce point est le centre d'un cercle passant par les trois sommets. Comment s'appelle ce point ?

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Un parc a une forme triangulaire, comme le montre la figure. On veut installer une fontaine à l'intérieur du parc de sorte que sa distance à chacun des trois chemins (côtés du parc) soit la même.

1. a) Quelles droites remarquables du triangle faudrait-il tracer pour trouver l'emplacement ?

1. b) Comment s'appelle le point obtenu ?

Une nouvelle piste cyclable rectiligne a été conçue au centre d'une ville. Pour des raisons de sécurité, aucune construction n'est autorisée à moins de $15$ mètres de cette piste. Décrire le lieu géométrique qui délimite la zone interdite de part et d'autre de la piste cyclable et dessiner un schéma simple.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Est-il possible que, dans un triangle, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit, le centre de gravité et l'orthocentre soient confondus en un même point ? Si oui, indiquer de quel type de triangle il doit s'agir et le dessiner en marquant ce point.

En classe de 3e, le professeur demande de définir et de tracer le lieu géométrique des points situés à la même distance de deux poteaux, $A$ et $B$, distants de $6\text{ m}$. Sergio écrit dans son cahier :\n\n« Le lieu géométrique est le segment de longueur $6\text{ m}$ qui passe exactement par le milieu de $A$ et $B$ et est perpendiculaire à la droite qui les relie ; si l'on sort de ces $6\text{ m}$, les points ne peuvent plus être à la même distance de $A$ et de $B$ car ils seraient trop loin ».\n\na) Identifier les deux erreurs conceptuelles que commet Sergio dans son raisonnement.\nb) Expliquer pourquoi l'éloignement d'un point ne l'empêche pas d'appartenir à ce lieu géométrique et rédiger la définition correcte du lieu géométrique en question.

Sur un terrain multisport, deux balises d'entraînement sont placées aux points $A$ et $B$, distantes d'exactement $8\text{ m}$. On veut placer un ballon en une position vérifiant deux conditions à la fois : être à la même distance de $A$ que de $B$, et se trouver exactement à $5\text{ m}$ de la balise $A$.\n\na) Estimer : avant tout calcul ou tracé précis, estimer en justifiant combien de positions possibles existent sur le terrain pour placer le ballon (aucune, une, deux ou une infinité ?). Appuyer la prévision sur la comparaison intuitive entre le rayon de recherche et la distance entre les balises.\nb) Vérifier : identifier précisément quels lieux géométriques correspondent à chaque condition. Calculer ensuite la distance exacte du ballon à la droite passant par $A$ et $B$ en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle approprié, et conclure si l'estimation initiale était correcte.

Dans la cour d'un collège, deux bornes Wi-Fi sont situées aux points $A$ et $B$, distants de $12$ mètres (la figure ne montre que les bornes). Un élève cherche un endroit où s'asseoir pour recevoir la même intensité de signal des deux bornes.

1. a) Décrire quel lieu géométrique forment tous les points situés à la même distance de $A$ et de $B$.

1. b) Si l'élève veut en plus se trouver exactement à $10$ mètres de la borne $A$, en combien de points de la cour pourrait-il se placer ? Expliquer quelles figures géométriques il faudrait tracer pour les trouver.

Une mairie veut installer un lampadaire sur une petite place triangulaire dont les sommets sont situés aux points $P$, $Q$ et $R$ (voir la figure). Elle a décidé que le lampadaire doit être à la même distance des trois coins (sommets) de la place pour que l'éclairage soit équilibré.

1. a) Comment s'appelle le point remarquable du triangle où le lampadaire doit être installé ?

1. b) Quelles droites remarquables du triangle faut-il tracer pour localiser ce point ? Faire un schéma.

Deux rues rectilignes d'un quartier, la rue Principale et la rue Secondaire, se croisent en un point $O$ en formant un angle de $60^\circ$, comme on le voit sur la figure. On veut placer une poubelle qui remplisse deux conditions : qu'elle soit à la même distance des deux rues et qu'elle soit exactement à $5$ mètres du point d'intersection $O$. Considérer les rues comme des droites qui se prolongent indéfiniment dans les deux sens.

1. a) Définir le lieu géométrique qui vérifie la première condition (être à la même distance des deux rues).

1. b) Utiliser la notion de lieu géométrique pour expliquer comment déterminer la position exacte de la poubelle. Combien de solutions possibles existe-t-il au total ?

Lors d'un entraînement de football, un ballon est placé en un point équidistant des deux lignes de touche (parallèles entre elles). Si la largeur du terrain est de $60$ mètres :

1. a) Décrire le lieu géométrique où peut se trouver le ballon.
2. b) Si l'entraîneur ajoute une contrainte et précise que le ballon doit être à $20$ mètres d'un piquet de corner donné, faire le schéma de la situation et identifier les points qui vérifient les deux conditions.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un graphiste crée un logo basé sur un triangle scalène. Il veut inscrire un cercle à l'intérieur du triangle de façon qu'il soit tangent aux trois côtés.

1. a) Quel point remarquable du triangle doit être le centre de ce cercle ?
2. b) Si la distance de ce centre à l'un des côtés est de $3$ cm, quelle sera la distance aux deux autres côtés ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la définition de ce lieu géométrique.

Trois amis, Alice, Bruno et Camille, se trouvent dans un parc et forment un triangle. Alice et Bruno sont à $10$ mètres l'un de l'autre. Camille remarque qu'elle se trouve en un point tel que l'angle formé par les lignes de visée vers Alice et Bruno est toujours de $90^\circ$. La figure montre l'une des positions possibles de Camille.

1. a) Comment s'appelle le lieu géométrique où se trouve Camille ?
2. b) Si Camille se déplace en gardant toujours cet angle de $90^\circ$ par rapport à ses amis, quelle figure géométrique sa trajectoire décrirait-elle ? Indiquer où se trouve son centre et combien mesure son rayon.

Un jeu de société a été conçu : un pion doit être placé au « centre de gravité » d'une pièce triangulaire en carton pour qu'elle reste en équilibre sur la pointe d'un crayon. Les côtés du triangle mesurent $15$ cm, $20$ cm et $25$ cm. Sur la figure, vous pouvez voir la pièce $ABC$ (avec l'angle droit en $A$), ses trois médianes et le point $P$ où l'on place le pion.

1. a) Comment s'appelle ce point d'équilibre en géométrie ?
2. b) Si l'on trace l'une des médianes de ce triangle, dans quelle proportion le point d'équilibre divise-t-il cette médiane ? Exprimer le rapport entre la distance du point au sommet et la distance du point au côté opposé.

Une entreprise de logistique veut implanter un entrepôt central desservant trois magasins situés aux points $A(2 ; 6)$, $B(2 ; 0)$ et $C(10 ; 0)$ (unités en km). Pour minimiser les coûts de transport, l'entrepôt doit être à égale distance des trois magasins.

1. a) Déterminer les coordonnées du point où doit se situer l'entrepôt en étudiant les médiatrices.

1. b) Comment s'appelle le lieu géométrique des points situés à une distance de $5$ km du point $B$ ? Le magasin $C$ serait-il dans cette zone ?

Les services d'urgence de Castille-et-León étudient l'implantation d'une base d'ambulances intercommunale qui desservirait avec le même temps d'intervention les centres-villes de trois communes : Arévalo ($A$), Medina del Campo ($M$) et Olmedo ($O$). Les distances à vol d'oiseau entre leurs centres sont approximativement : $AM = 34\text{ km}$, $AO = 22\text{ km}$ et $MO = 20\text{ km}$. On décide de placer la base en un point situé exactement à la même distance des trois communes.\n\na) Modéliser la situation : définir quel lieu géométrique détermine les points équidistants de deux communes quelconques et quel point remarquable du triangle $A$, $M$, $O$ représente l'emplacement de la base.\nb) Appliquer la relation entre les côtés d'un triangle (comparaison de $c^2$ et de $a^2 + b^2$) pour déterminer si le triangle $AMO$ est acutangle, rectangle ou obtusangle.\nc) À partir de la classification précédente, expliquer si la base se trouvera à l'intérieur du triangle délimité par les trois villages ou à l'extérieur. Expliquer quelle conséquence pratique cette propriété des lieux géométriques a pour l'aménagement du territoire.

Dans un repère d'un plan d'urbanisme, on souhaite que la frontière de desserte entre deux relais, $A$ et $B$ (c'est-à-dire la médiatrice du segment $AB$), soit exactement la droite bissectrice des premier et troisième quadrants, d'équation $y = x$.\n\na) Si le relais $A$ est installé au point de coordonnées $(0 ; 8)$, déduire par un raisonnement les coordonnées où doit obligatoirement se situer le relais $B$. Vérifier la déduction en montrant que le milieu du segment $AB$ appartient à la droite $y = x$ et que le segment $AB$ lui est perpendiculaire.\nb) Généraliser : formuler quelle relation algébrique doit exister entre les coordonnées $(x_A ; y_A)$ et $(x_B ; y_B)$ de deux points quelconques pour que leur médiatrice soit toujours la droite $y = x$. Proposer deux autres couples de points distincts ayant cette même médiatrice.

Une équipe de secours en montagne reçoit les signaux de deux randonneurs perdus, situés aux points $A$ et $B$. Le centre de commandement sait que la zone de recherche est formée des points situés exactement à la même distance de $A$ et de $B$. L'hélicoptère de secours doit suivre une trajectoire rectiligne représentée par une route secondaire $r$. Sur une carte munie d'un repère, les points sont $A(1 ; 6)$ et $B(5 ; 2)$, et la route suit la direction de la droite passant par $(0 ; 0)$ et $(4 ; 8)$.

Déterminer, par des raisonnements sur les lieux géométriques, le point exact où l'hélicoptère croisera la ligne sur laquelle pourraient se trouver les randonneurs.

On souhaite installer une antenne de téléphonie desservant trois villages situés aux sommets d'un triangle dont les côtés mesurent $13\text{ km}$, $14\text{ km}$ et $15\text{ km}$. L'ingénieur en chef décide que l'antenne doit être placée au centre du cercle circonscrit du triangle pour que la distance aux trois villages soit la même. Si l'aire du triangle est de $84\text{ km}^2$, calculer le rayon de couverture de l'antenne (la distance du centre du cercle circonscrit à n'importe quel sommet), sachant que, dans tout triangle, le rayon du cercle circonscrit vérifie la relation $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{Aire}}$.

Dans un parc d'attractions, une nouvelle attraction de « vol suspendu » se déplace de manière à rester toujours à la même distance de deux tours de contrôle fixes, $T_1$ et $T_2$, distantes de $30$ mètres.

1. Identifier de quel lieu géométrique il s'agit et le décrire.

2. Si l'on place les tours aux points $T_1(-15 ; 0)$ et $T_2(15 ; 0)$ d'un plan (unités en mètres), quelle droite décrit la trajectoire de l'attraction ? Donner son équation.

3. L'attraction passe exactement au-dessus d'un local de maintenance situé au point $P(0 ; 20)$. Vérifier que le local est à égale distance des deux tours en calculant les deux distances.

Un architecte conçoit une place triangulaire dont les côtés mesurent $30$, $40$ et $50$ mètres. À l'intérieur, il veut placer une fontaine à égale distance des trois rues (les trois côtés du triangle).

1. Comment s'appelle le point qui détermine la position de la fontaine ?

2. Calculer la distance de la fontaine à chacune des rues. (Aide : l'aire d'un triangle peut aussi se calculer comme le produit du demi-périmètre par le rayon du cercle inscrit, $A = s \cdot r$.)

Considérer deux droites sécantes $r$ et $s$ qui se coupent en un point $V$ en formant un angle de $60^\circ$. On veut tracer un cercle de rayon $10\text{ cm}$ tangent aux deux droites et situé à l'intérieur de l'angle de $60^\circ$ représenté sur la figure.

1. a) Expliquer sur quelle ligne doit se trouver le centre $O$ de ce cercle.

1. b) Calculer à quelle distance du point d'intersection $V$ des deux droites doit se situer le centre du cercle. (Aide : en joignant le centre au point de tangence, on obtient un triangle rectangle ; utiliser les propriétés des triangles ayant des angles de $30^\circ$ et $60^\circ$.)

Deux bouées de sauvetage, $A$ et $B$, flottent en mer, séparées par une distance de $8$ km. Les services de secours veulent installer une plateforme qui remplisse deux conditions à la fois : qu'elle soit à égale distance des deux bouées et qu'elle soit exactement à $5$ km de la bouée $A$.

Sur la carte de la figure, avec des unités en km, les bouées sont en $A(0\,;\,0)$ et $B(8\,;\,0)$.

1. a) Quel lieu géométrique forment les points équidistants de $A$ et de $B$ ? Et les points situés à $5$ km de $A$ ?

1. b) En combien de points distincts la plateforme peut-elle être installée ? Justifier en raisonnant sur la position relative des deux lieux géométriques précédents.

1. c) Calculer les coordonnées de tous les points où la plateforme peut être installée. (Aide : utiliser le théorème de Pythagore.)

Un phare émet un signal qui n'est reçu qu'à une distance inférieure à $10\text{ km}$. Une embarcation se déplace le long d'une côte rectiligne $c$ située à $8\text{ km}$ du phare en son point le plus proche.

1. Décrire le lieu géométrique des points de la côte qui reçoivent le signal du phare.

2. Calculer la longueur du tronçon de côte sur lequel l'embarcation sera dans la zone de portée du phare.

Dans un triangle isocèle $ABC$, avec $AB = AC$, on sait que le centre de gravité (point d'intersection des médianes), l'orthocentre (point d'intersection des hauteurs) et le centre du cercle circonscrit (point d'intersection des médiatrices) sont tous alignés sur une même droite.

1. Cette droite est confondue avec la médiane, la hauteur, la médiatrice et la bissectrice issues du sommet $A$. Quelle relation a-t-elle avec l'axe de symétrie du triangle ? Justifier la réponse.

2. Si la base $BC$ mesure $12\text{ cm}$ et que la hauteur relative à cette base mesure $9\text{ cm}$, déterminer à quelle distance de la base se trouve le centre de gravité, sachant que le centre de gravité partage chaque médiane en deux segments, celui qui aboutit au sommet étant le double de l'autre.

Une coopérative agricole achète une parcelle triangulaire dont les sommets sont situés aux croisements de trois routes départementales rectilignes. Les routes forment un triangle rectangle dont les côtés mesurent $60\text{ m}$, $80\text{ m}$ et $100\text{ m}$. Il faut construire un puits commun à l'intérieur de la parcelle et deux méthodes géométriques fondées sur les lieux géométriques sont débattues :\n\n- Méthode 1 : placer le puits au centre du cercle circonscrit de la parcelle (intersection des médiatrices), au motif qu'il doit être à la même distance des trois sommets (croisements de routes).\n- Méthode 2 : placer le puits au centre du cercle inscrit de la parcelle (intersection des bissectrices intérieures), au motif qu'il doit être à la même distance des trois routes (côtés de la parcelle).\n\nPour garantir la sécurité des engins et éviter les écoulements, la réglementation agricole exige que le puits soit situé strictement à l'intérieur du terrain et le plus loin possible du bord de toute route.\n\na) Analyser la faisabilité des deux méthodes en calculant à quelle distance exacte se situerait le puits de chacune des trois routes dans la Méthode 1 et dans la Méthode 2 (on peut calculer le rayon du cercle inscrit en égalant l'aire du triangle, $A = \frac{b \cdot h}{2}$, à la somme des aires des trois triangles formés à partir du centre du cercle inscrit, $A = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$).\nb) Justifier de manière critique laquelle des deux méthodes doit être retenue et pourquoi l'autre est totalement inadmissible au regard de la réglementation exigée.

Les secours en mer détectent un signal de détresse près du détroit de Gibraltar. Deux stations côtières situées à Tarifa ($T$) et à Algésiras ($A$), distantes de $20\text{ km}$ en ligne droite, coordonnent les recherches à partir de trois données techniques :\n\n1. L'intensité du signal reçu est identique dans les deux stations côtières.\n2. L'autonomie du bateau de secours basé à Tarifa lui permet de couvrir un rayon de recherche maximal de $15\text{ km}$ depuis cette station.\n3. Pour éviter les récifs et le dense chenal de navigation côtier, on écarte toute position dont la distance à la droite joignant Tarifa et Algésiras est inférieure ou égale à $6\text{ km}$.\n\na) Modéliser mathématiquement le problème en traduisant chacune des trois conditions dans le langage des lieux géométriques (médiatrice, cercle/disque ou bandes parallèles de distance à une droite).\nb) Déduire avec rigueur la forme géométrique de la zone où peut se trouver l'embarcation : déterminer s'il s'agit d'une région du plan ou d'un ensemble de segments, et calculer la distance minimale et maximale à la droite $TA$ des points qui forment cette zone.\nc) Si une bouée sonar confirme que la distance exacte entre l'embarcation et Tarifa est de $12,5\text{ km}$, calculer combien de positions possibles il reste pour l'embarcation et à quelle distance exacte de la droite $TA$ se trouve chacune d'elles.