Exercices: Polygones

Imaginer que vous concevez les icônes d'une nouvelle application mobile. Pour que le design soit propre, le programmeur vous demande d'identifier lesquelles de ces figures sont des polygones et lesquelles n'en sont pas. Justifier brièvement en indiquant quelle caractéristique n'est pas respectée dans les figures qui ne sont pas des polygones.

Dans le polygone suivant, qui représente le plan d'un petit débarras, identifier et compter les éléments suivants :

• Nombre de sommets.

• Nombre de côtés.

• Nombre d'angles intérieurs.

• Tracer une diagonale joignant le sommet $A$ au sommet $C$ (recopier d'abord le polygone dans votre cahier).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Classer les polygones suivants selon leur nombre de côtés en utilisant les noms appropriés (triangle, quadrilatère, pentagone, etc.) :

Un polygone est convexe si tous ses angles intérieurs sont inférieurs à $180^\circ$ et non convexe s'il en a au moins un supérieur à $180^\circ$. Observer ces deux flèches de signalisation et indiquer laquelle est non convexe et laquelle est convexe.

Pour qu'un polygone soit régulier, tous ses côtés doivent avoir la même longueur et tous ses angles doivent être égaux. Observer les figures suivantes d'un jeu vidéo et déterminer laquelle remplit les conditions pour être un polygone régulier.

Calculer le périmètre de la parcelle de jardin suivante sachant que ses côtés mesurent les valeurs indiquées sur le dessin. Rappel : le périmètre est la somme des longueurs de tous ses côtés.

On sait que la somme des angles d'un triangle quelconque vaut toujours $180^\circ$. Dans le quadrilatère $ABCD$ de la figure, on a tracé la diagonale $AC$ (en pointillés), qui le partage en deux triangles : $ABC$ (en orange) et $ACD$ (en bleu). En vous appuyant sur cela, que pensez-vous que vaut la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère quelconque ? Justifier la réponse.

Une diagonale est un segment qui joint deux sommets non consécutifs d'un polygone. Observer le pentagone (5 côtés) du dessin et tracer toutes les diagonales possibles issues du sommet marqué en orange. Combien de diagonales au total pensez-vous qu'un pentagone possède si on les trace toutes ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Lucie veut calculer la mesure de chaque angle intérieur d'un pentagone régulier pour un travail manuel scolaire et note dans son cahier :

« Comme c'est un pentagone, il a $5$ côtés. La somme de ses angles intérieurs est $180^\circ \cdot 5 = 900^\circ$. Comme il est régulier, je divise $900^\circ$ par $5$ et j'obtiens que chaque angle intérieur mesure $180^\circ$ ».

1. a) Trouver les deux erreurs de raisonnement géométrique commises par Lucie. Expliquer pourquoi il est impossible qu'un angle intérieur d'un polygone fermé mesure $180^\circ$.
2. b) Corriger la démarche et calculer la valeur correcte de la somme des angles intérieurs et la mesure de chaque angle intérieur du pentagone régulier.

Vous allez construire une maquette d'un panneau de signalisation « STOP », qui a la forme d'un octogone régulier.

1. a) Estimer sans utiliser de formules : penser à la comparaison entre un coin droit ($90^\circ$) et une ligne droite ou angle plat ($180^\circ$). Dans un octogone régulier, les angles intérieurs seront-ils aigus, droits ou obtus ? Seront-ils plus proches de $90^\circ$ ou de $180^\circ$ ? Justifier cette estimation qualitative.
2. b) Vérifier : appliquer la formule de l'angle intérieur d'un polygone régulier pour calculer la valeur exacte de chacun de ses angles : $\dfrac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$.
3. c) Comparer l'estimation avec le résultat obtenu et expliquer si la valeur numérique est cohérente avec l'aspect visuel d'un panneau STOP.

Un groupe d'ingénieurs conçoit une nouvelle antenne de communication en forme d'heptagone convexe. Pour renforcer la structure, ils doivent placer des câbles de renfort reliant tous les sommets entre eux, mais qui ne soient pas les côtés de l'antenne. Combien de câbles de renfort (diagonales) devront-ils installer au total ? Dessiner le polygone et tracer toutes les diagonales issues d'un seul sommet pour vous aider à raisonner.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans un jeu vidéo de construction, un joueur a conçu une parcelle en forme de quadrilatère irrégulier pour y placer un potager. En mesurant les angles intérieurs avec un outil du jeu, il obtient les valeurs suivantes : $115^\circ$, $82^\circ$ et $96^\circ$. Le quatrième angle est masqué par un bug de l'interface. Calculer la valeur de cet angle sachant que la somme des angles intérieurs de n'importe quel quadrilatère est toujours la même.

Une piste de skate a le profil latéral représenté sur le dessin suivant. Observer la figure et répondre en justifiant aux questions suivantes :

• S'agit-il d'un polygone concave ou convexe ? Pourquoi ?

• Indiquer le nombre de côtés, de sommets et de diagonales au total de ce polygone.

Le diaphragme d'un appareil photo professionnel est formé de lamelles qui, en se refermant, laissent une ouverture en forme d'octogone régulier.

• Calculer la mesure de l'angle au centre de cet octogone.

• Calculer la mesure de chacun de ses angles intérieurs.

• Si l'appareil avait un diaphragme à 10 côtés (décagone régulier), l'angle au centre serait-il plus grand ou plus petit ? Justifier la réponse.

Un décorateur conçoit une mosaïque moderne avec des pièces en forme de pentagone régulier. En essayant de joindre trois pièces en un même point (sommet commun), il s'aperçoit qu'il reste un petit espace vide.

• Calculer la mesure de l'angle intérieur d'un pentagone régulier.

• Sachant qu'un tour complet autour d'un point mesure $360^\circ$, combien de degrés mesure l'espace laissé libre lorsqu'on joint trois pentagones ?

Pour un projet de robotique, une plaque métallique doit avoir la forme d'un hexagone. Le fabricant affirme que la plaque est « équiangle » (tous ses angles intérieurs sont égaux), mais qu'elle n'est pas « équilatérale » (ses côtés n'ont pas tous la même longueur).

• Cet hexagone est-il un polygone régulier ? Justifier la réponse à partir de la définition.

• Si la plaque a 6 côtés, quelle doit être la somme des mesures de tous ses angles intérieurs ?

• Quelle est la valeur de chacun de ses angles intérieurs ?

Huit amis s'assoient autour d'une table ronde pour jouer à un jeu de rôle. Chaque joueur doit avoir un « lien magique » (une corde de couleur) avec tous les autres joueurs de la table, sauf avec ceux qui sont assis juste à sa gauche et à sa droite. Si l'on considère que les joueurs sont les sommets d'un octogone :

1. a) Quel élément du polygone les cordes des « liens magiques » représentent-elles ?

1. b) Calculer le nombre total de cordes qu'il y aura sur la table.

Sur la figure, on a dessiné, pour le joueur P₁, ses deux voisins (points rouges, avec lesquels il n'a pas de lien) et ses liens magiques (lignes orange).

Calculer le périmètre d'un pentagone irrégulier sachant qu'il a deux côtés de $8\text{ cm}$ chacun, deux autres côtés qui mesurent le double des précédents, et un dernier côté qui mesure la moitié de la somme des quatre autres. Ce pentagone pourrait-il être régulier ? Expliquer pourquoi.

Une équipe de graphistes crée un nouveau carreau en forme de quadrilatère non convexe (en forme de pointe de flèche) pour décorer le mur d'un gymnase.

1. a) Combien doivent valoir exactement, au total, les quatre angles intérieurs d'un quadrilatère quelconque ? Le justifier à partir du nombre de triangles en lesquels il se découpe depuis l'un de ses sommets.
2. b) Le designer a décidé que l'angle intérieur non convexe (« l'angle rentrant ») mesure $210^\circ$ et que les trois autres angles intérieurs aient exactement la même mesure. Mettre le problème en équation et calculer la mesure de chacun de ces trois angles.
3. c) Raisonner pour savoir s'il serait possible de construire un quadrilatère ayant deux angles intérieurs rentrants (c'est-à-dire supérieurs chacun à $180^\circ$). S'appuyer sur la somme totale des angles pour justifier la réponse.

Le service des espaces verts d'une mairie conçoit une zone de pelouse en forme de polygone convexe. Pour planifier l'installation des arroseurs, un technicien remarque que, depuis l'un des coins (un seul sommet), on peut tracer exactement $4$ segments vers d'autres sommets sans que ce soient des côtés de l'enclos (c'est-à-dire exactement $4$ diagonales).

1. a) Modéliser la situation et en déduire le nombre total de côtés de la parcelle. Expliquer en détail le lien entre le nombre de diagonales issues d'un sommet et le nombre total de côtés $n$.
2. b) Le périmètre total de la parcelle est de $49\text{ m}$ et les ouvriers ont mesuré que tous ses côtés ont la même longueur. Peut-on affirmer avec une certitude mathématique totale que la zone de pelouse est un polygone régulier ? Justifier la réponse et donner un exemple de quadrilatère dont tous les côtés sont égaux mais qui n'est pas régulier.
3. c) Si la parcelle était effectivement un polygone régulier, quelle serait la longueur de chaque côté et quelle serait la somme de tous ses angles intérieurs ?

Un architecte conçoit une verrière en forme de polygone régulier. On sait que la somme de tous ses angles intérieurs est exactement de $1080^\circ$. Cependant, à cause d'une erreur de fabrication, l'un des angles intérieurs est $5^\circ$ plus grand qu'il ne devrait l'être.

1. Combien de côtés la verrière d'origine possède-t-elle ?

2. Si les autres angles restent identiques, combien mesure l'angle défectueux ?

3. Est-ce encore un polygone régulier ? Justifier la réponse à partir de la définition d'un polygone régulier.

Dans un atelier de joaillerie, on conçoit un pendentif en assemblant deux types de pièces : un hexagone régulier et six triangles équilatéraux. Si le périmètre de l'hexagone central est de $24 \text{ cm}$ :

1. Quel est le périmètre total de la figure en étoile obtenue ?

2. Calculer la valeur de l'angle intérieur des pointes de l'étoile (les angles qui ne touchent pas l'hexagone).

3. Si l'on double le côté de l'hexagone, que devient le périmètre total de l'étoile ? Est-il doublé, triplé ou multiplié dans une autre proportion ?

Vous disposez de trois baguettes rigides pour construire un triangle. La première mesure $15 \text{ cm}$ et la deuxième $8 \text{ cm}$. La longueur de la troisième est $x$.

1. a) Quelle est la mesure minimale (en nombre entier de centimètres) que doit avoir la troisième baguette pour pouvoir former le triangle ?

1. b) Quelle est la mesure maximale (en nombre entier de centimètres) qu'elle pourrait avoir ?

1. c) Si la troisième baguette mesurait exactement $17 \text{ cm}$, quel type de triangle obtiendriez-vous d'après ses angles ? (Indice : vérifier si la relation $a^2 = b^2 + c^2$ est satisfaite.)

Observer la figure suivante, qui représente un logo formé d'un carré de côté $10 \text{ cm}$ dont on a « découpé » deux triangles dans les coins supérieurs.

1. Classer le polygone obtenu (la partie colorée) d'après son nombre de côtés et son type (concave ou convexe).

2. Si les découpes ont été faites exactement aux milieux des côtés du carré, calculer le périmètre du nouveau polygone.

3. Quelle est la somme des angles intérieurs de ce nouveau polygone ?

Un parc pour enfants a la forme d'un pentagone irrégulier. Ses angles intérieurs sont $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ et $90^\circ$.

1. Calculer la mesure du cinquième angle.

2. Ce parc peut-il être un pentagone convexe ? Justifier la réponse.

3. Si l'angle de $90^\circ$ se trouve entre deux côtés de $12 \text{ m}$ et $16 \text{ m}$, quelle serait la longueur du segment qui relie les extrémités de ces deux côtés ? (Utiliser le théorème de Pythagore.)

Dans un quadrilatère quelconque, on sait que les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur, mais qu'elles ne se coupent pas en leur milieu.

1. De quelle figure s'agit-il ? Dessiner un exemple approximatif.

2. Si les diagonales mesurent $14 \text{ cm}$, peut-on calculer l'aire du quadrilatère même s'il n'est ni un losange ni un carré ? Si oui, la calculer.

3. Faire une recherche : quel nom porte le quadrilatère qui a deux paires de côtés consécutifs égaux (en forme de cerf-volant) ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une équipe de design graphique veut créer un carreau en forme d'hexagone régulier de côté $L$. À l'intérieur de l'hexagone, elle trace toutes les diagonales issues d'un même sommet.

1. En combien de triangles l'hexagone est-il partagé ?

2. Ces triangles sont-ils égaux entre eux ? Les classer d'après leurs côtés.

3. Si l'angle intérieur de l'hexagone est de $120^\circ$, combien mesurent les angles de chacun des triangles formés ?

Imaginer un polygone régulier dont l'angle au centre vaut le quart de son angle intérieur.

1. Poser une équation reliant l'angle au centre ($360/n$) et l'angle intérieur ($180 \cdot (n-2) / n$) pour déterminer le nombre de côtés $n$.

2. Comment s'appelle ce polygone ?

3. Quelle est la somme de ses angles extérieurs ? (Rappel : cette propriété est commune à tous les polygones convexes.)

Pour déduire la somme des angles intérieurs d'un heptagone convexe ($7$ côtés) sans utiliser la formule apprise par cœur, deux élèves proposent deux stratégies différentes :

• Méthode de Sergio : il choisit un seul sommet de l'heptagone et trace toutes les diagonales possibles issues de ce sommet, ce qui partage le polygone en plusieurs triangles.

• Méthode d'Alba : elle place un point auxiliaire à l'intérieur de l'heptagone et le relie aux $7$ sommets, formant $7$ triangles qui ont ce point central en commun.

1. a) Appliquer la méthode de Sergio : indiquer combien de triangles on obtient, calculer la somme totale de leurs angles et justifier pourquoi cette somme coïncide exactement avec la somme des angles intérieurs de l'heptagone.
2. b) Appliquer la méthode d'Alba : calculer la somme des angles des $7$ triangles formés et expliquer quelle opération supplémentaire il faut effectuer avec les angles autour du point intérieur pour obtenir la somme des angles de l'heptagone.
3. c) Choisir la méthode : si vous deviez expliquer à un camarade comment trouver la somme des angles intérieurs d'un polygone à $100$ côtés, laquelle des deux méthodes choisiriez-vous ? Comparer la simplicité des deux raisonnements et justifier votre choix en analysant les erreurs d'inattention possibles de chaque démarche.

Dans l'aménagement des trottoirs et des allées piétonnes de plusieurs villes, on utilise des dalles en forme de polygones réguliers. Pour qu'un pavage recouvre complètement le sol, sans trou ni chevauchement, lorsque les dalles se rejoignent en un même sommet, la somme des angles intérieurs qui se rencontrent en ce sommet doit être exactement égale à $360^\circ$.

Un bureau d'études en urbanisme veut daller une place et analyse trois propositions de dalles régulières :

1. a) Proposition A (pentagones réguliers) : calculer la mesure de l'angle intérieur d'un pentagone régulier et démontrer numériquement pourquoi il est impossible de daller la place avec ce seul type de dalle.
2. b) Proposition B (hexagones réguliers) : calculer la mesure de l'angle intérieur d'un hexagone régulier et déterminer s'il permet de daller la place sans trou. Si oui, combien de dalles se rejoindront exactement en chaque sommet commun ?
3. c) Proposition C (octogones réguliers) : un fabricant affirme que l'on peut daller la place en combinant des octogones réguliers avec une autre figure régulière plus petite pour combler les trous restants. Calculer l'angle intérieur d'un octogone régulier, démontrer que deux octogones ensemble ne complètent pas le tour et que trois ne peuvent pas tenir en un sommet, puis en déduire quel polygone régulier connu s'ajuste exactement dans le trou pour obtenir une somme de $360^\circ$.