Exercices: Cercle et disque

Sur le dessin suivant d'un cercle de centre $O$, identifier les éléments désignés par des lettres. Indiquer lequel correspond au rayon, lequel au diamètre et lequel à la corde.

Une joueuse de basket s'entraîne aux lancers francs. Le disque peint dans la raquette a un diamètre de $3,6$ mètres. Quelle est la mesure du rayon de ce disque ?

Alex veut poser une bande de LED autour du bord de son miroir circulaire. Si le rayon du miroir est de $40$ cm, combien de centimètres de bande LED devra-t-il acheter au minimum ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Une pizzeria propose une pizza individuelle de $20$ cm de diamètre. Calculer la surface (l'aire) de la pizza pour savoir quelle place elle occupera dans la boîte. (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Observer la position des droites $r$, $s$ et $t$ par rapport au cercle de centre $C$. Classer chaque droite comme tangente, sécante ou extérieure.

Identifier le nom des régions colorées suivantes, situées à l'intérieur ou autour du disque :

• A : région comprise entre deux rayons.

• B : région comprise entre deux cercles concentriques (comme un donut).

• C : la moitié d'un disque.

Si une pièce de $2$ euros a un rayon de $12,875$ mm, quel est son diamètre ? Exprimer le résultat en millimètres.

Étant donné un cercle de centre le point $C$ et de rayon $5$ cm, indiquer si les points suivants sont à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le cercle :

• Point $P$ : il est à $3$ cm de $C$.

• Point $Q$ : il est à $5$ cm de $C$.

• Point $R$ : il est à $7$ cm de $C$.

Pour une fête au collège, Marcos veut calculer la surface d'une nappe circulaire qui recouvre entièrement une table ronde dont le diamètre mesure $120\text{ cm}$. Marcos fait le calcul suivant dans son cahier :

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marcos en appliquant la formule de l'aire.
2. b) Expliquer la relation entre le diamètre et le rayon, et justifier pourquoi le résultat obtenu par Marcos est exactement quatre fois trop grand.
3. c) Corriger le calcul et déterminer l'aire réelle de la nappe (en $\text{cm}^2$, en utilisant $\pi \approx 3,14$).

Le service des espaces verts d'une commune dispose d'une clôture flexible d'exactement $31,4\text{ mètres}$ de longueur pour entourer complètement un massif de fleurs circulaire, sans qu'il en reste ni qu'il en manque.

1. a) Écrire la relation mathématique correspondante et calculer la mesure du rayon et du diamètre du massif (utiliser $\pi \approx 3,14$).
2. b) Si un arroseur est placé exactement au centre du massif, à quelle distance maximale de l'arroseur peut se trouver une fleur à l'intérieur de l'enclos ?
3. c) Raisonner géométriquement pour savoir s'il serait possible de tracer à l'intérieur du massif une corde joignant deux points du bord et mesurant $11\text{ mètres}$.

Le logo d'une nouvelle marque de vêtements de sport est constitué d'un cercle de rayon $r = 5\text{ cm}$ traversé par une droite. Si la droite passe à une distance de $3\text{ cm}$ du centre du cercle, faire un schéma et répondre :

1. a) Quelle est la position relative de la droite par rapport au cercle ?
2. b) Si l'on trace une autre droite passant à exactement $5\text{ cm}$ du centre, comment s'appellerait cette droite ?
3. c) Comment s'appelle le segment de la première droite qui se trouve à l'intérieur du cercle ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Une pizzeria propose deux offres pour ses pizzas artisanales :

• Offre A : une pizza familiale de $40\text{ cm}$ de diamètre.

• Offre B : deux pizzas moyennes de $20\text{ cm}$ de diamètre chacune.

Si les deux offres coûtent le même prix, calculer l'aire de pizza dans chaque cas (en utilisant $\pi \approx 3,14$) et déterminer, en justifiant, laquelle des deux offres est la plus avantageuse pour le client.

Un arroseur de jardin tourne en décrivant un secteur circulaire de $120^\circ$. Si le jet d'eau porte à une distance de $6\text{ mètres}$, calculer :

1. a) La longueur de l'arc de pelouse mouillé sur le bord extérieur.
2. b) L'aire totale de pelouse arrosée par l'arroseur.

(Utiliser $\pi \approx 3,14$ et arrondir à deux décimales.)

Dans la conception d'une fenêtre circulaire (rosace), on a inscrit un carré de diagonale $8\text{ décimètres}$, comme le montre la figure. Calculer l'aire de la surface de verre (disque) située à l'extérieur du carré (les zones colorées sur le dessin).

La roue d'un VTT a un rayon total de $35\text{ cm}$. Si le cycliste parcourt une distance de $1,1\text{ kilomètres}$ en ligne droite :

1. a) Combien de mètres la bicyclette parcourt-elle en un seul tour de roue ?
2. b) Combien de tours complets la roue aura-t-elle effectués à la fin du parcours ?

(Donnée : $1\text{ km} = 1000\text{ m}$ ; prendre $\pi \approx 3,14$.)

Observer la figure suivante qui représente un « spinner » circulaire avec un roulement central et un anneau extérieur. Le rayon du cercle intérieur est de $2\text{ cm}$ et le rayon du cercle extérieur est de $5\text{ cm}$. Calculer l'aire de la couronne circulaire (la zone bleutée) comprise entre les deux.

Sur une place circulaire, on a installé une structure avec des câbles. L'un des câbles forme un angle inscrit de $35^\circ$ interceptant un arc de la place.

1. a) Calculer la mesure de l'angle au centre qui intercepte ce même arc.
2. b) Si l'angle au centre était de $110^\circ$, quelle serait la mesure de tout angle inscrit interceptant le même arc ?

Un panneau de signalisation « Sens interdit » a la forme d'un disque de diamètre $60\text{ cm}$. À l'intérieur se trouve une bande rectangulaire blanche de $50\text{ cm}$ de long et $10\text{ cm}$ de large. Calculer l'aire de la partie rouge du panneau (la zone du disque qui n'est pas occupée par le rectangle blanc).

Sur une place, on va construire une fontaine circulaire de $8\text{ mètres}$ de diamètre. Une bordure en pierre sera posée sur tout son contour et le sol (toute la surface circulaire) sera imperméabilisé.

1. a) Avant de calculer avec des décimales, faire une estimation mentale de la longueur de la bordure en approchant $\pi \approx 3$. Expliquer si la mesure réelle sera supérieure ou inférieure à cette estimation.
2. b) Imaginer un carré circonscrit à la fontaine (dont les quatre côtés touchent le cercle par l'extérieur). Quelle est la longueur du côté de ce carré ? Quel est son périmètre ? Justifier pourquoi le périmètre de ce carré est un majorant de la longueur du cercle.
3. c) Calculer avec précision la longueur de la bordure et l'aire du fond de la fontaine en utilisant $\pi \approx 3,14$, et vérifier si les deux valeurs sont cohérentes avec les déductions faites aux questions précédentes.

Dans le service public de vélos d'une ville, les roues des vélos ont un rayon de $30\text{ cm}$. Un usager effectue un trajet en ligne droite sur la piste cyclable d'une station à une autre, en parcourant une distance totale de $1\,130,4\text{ mètres}$.

1. a) Modéliser la situation en calculant combien de mètres le vélo avance chaque fois que la roue fait un tour complet sur la chaussée (utiliser $\pi \approx 3,14$).
2. b) Déterminer combien de tours complets chaque roue aura effectués à la fin du trajet.
3. c) Lors d'une révision, un technicien note qu'il a changé un rayon de la roue de $30\text{ cm}$ et un renfort métallique rectiligne (corde) qui joint deux points du bord extérieur de la jante et mesure $65\text{ cm}$. En s'appuyant sur la définition de la corde et du diamètre, expliquer pourquoi la mesure de ce renfort est physiquement impossible sur cette roue.

Dans la conception d'un nouveau logo pour une entreprise de technologie, on a dessiné un carré de côté $L = 10 \text{ cm}$. En chacun de ses sommets, on a tracé un arc de cercle de rayon égal à la moitié du côté du carré ($5 \text{ cm}$), de sorte que les quatre arcs se touchent aux milieux des côtés. Calculer l'aire de la région colorée au centre du carré (la zone qui n'appartient à aucun des quatre secteurs circulaires).

Un ingénieur conçoit une pièce mécanique constituée d'un disque métallique de rayon $R = 12 \text{ cm}$. Pour alléger la pièce, il doit effectuer une découpe rectiligne (une corde) située à une distance exacte de $7,2 \text{ cm}$ du centre du disque. À l'aide du théorème de Pythagore, déterminer la longueur totale de cette découpe (la corde) afin de programmer la machine de découpe.

Dans un parc d'attractions, une grande roue a un rayon de $15 \text{ mètres}$. Un capteur détecte qu'une des cabines a parcouru un arc de cercle de longueur $23,55 \text{ mètres}$. De quel angle, exprimé en degrés, la grande roue a-t-elle tourné depuis que la cabine était au point le plus bas ? Prendre la valeur $\pi \approx 3,14$.

Un bracelet circulaire en argent a un diamètre extérieur de $8 \text{ cm}$ et un diamètre intérieur de $7 \text{ cm}$. Si l'on veut plaquer à l'or uniquement la partie supérieure du bracelet (un secteur de couronne circulaire d'angle $120^\circ$), quelle est l'aire de la surface qui sera plaquée à l'or ? Arrondir le résultat à deux décimales.

Observer une horloge murale à $10:00$ du matin. Les aiguilles (des minutes et des heures) forment un angle au centre. Si l'on trace une corde joignant les extrémités des deux aiguilles, en supposant que toutes deux mesurent $10 \text{ cm}$, quelle est la mesure de cette corde ? (Indice : analyser le type de triangle formé par le centre de l'horloge et les nombres 10 et 12.)

Au centre d'un rond-point circulaire de rayon $R = 10\text{ mètres}$ se trouve un bassin lui aussi circulaire de rayon $r = 6\text{ mètres}$. La bande restante entre le bassin et le bord du rond-point (une couronne circulaire) va être recouverte de gazon synthétique. Pour calculer la surface de gazon, trois membres de l'équipe technique proposent des méthodes différentes :

• Méthode de Clara : elle calcule l'aire de tout le rond-point ($A_1 = 3,14 \cdot 10^2$), l'aire du bassin ($A_2 = 3,14 \cdot 6^2$) et soustrait les deux résultats : $A_1 - A_2$.

• Méthode de Bruno : il soustrait directement les rayons ($10 - 6 = 4\text{ mètres}$) et calcule l'aire d'un disque ayant ce rayon : $A = 3,14 \cdot 4^2$.

• Méthode de Sara : elle met $\pi$ en facteur en appliquant la distributivité : $A = \pi \cdot (10^2 - 6^2) = 3,14 \cdot (100 - 36)$.

1. a) Expliquer laquelle des méthodes est erronée et démontrer géométriquement pourquoi soustraire les rayons avant de calculer l'aire conduit à un résultat faux.
2. b) Comparer les deux méthodes valides et justifier laquelle est la plus recommandée pour commettre moins d'erreurs d'arrondi et économiser des étapes de calcul.
3. c) Si le bassin était agrandi à un rayon de $8\text{ mètres}$ en gardant le rayon extérieur du rond-point à $10\text{ mètres}$, appliquer la méthode choisie comme optimale pour calculer la nouvelle aire de gazon nécessaire.

Une régie publique des eaux doit remplacer deux canalisations d'évacuation identiques, chacune de section circulaire de diamètre $20\text{ cm}$, par une unique nouvelle canalisation circulaire ayant exactement la même capacité d'évacuation (c'est-à-dire dont l'aire de la section est égale à la somme des aires des deux anciennes canalisations réunies).

1. a) Un technicien affirme : « Comme nous remplaçons deux canalisations de $20\text{ cm}$, la nouvelle doit avoir un diamètre de $40\text{ cm}$ pour évacuer la même quantité ». Démontrer, en calculant les aires des sections, si l'affirmation du technicien est correcte ou incorrecte.
2. b) Raisonner de façon algébrique à partir de la formule $A = \pi \cdot r^2$ pour expliquer pourquoi, lorsqu'on double le diamètre d'un disque quelconque, son aire est multipliée par $4$ et non par $2$.
3. c) Écrire l'équation qui relie l'aire de la nouvelle canalisation à la somme des deux anciennes et calculer la valeur approchée du diamètre réel de la canalisation de remplacement (arrondir le résultat à un chiffre après la virgule).