Exercices: Multiples, diviseurs et critères de divisibilité

Une sauterelle s'entraîne pour une compétition. À chaque saut, elle avance d'exactement $6$ décimètres.

Écrire la distance totale parcourue après $1, 2, 3, 4, 5$ et $10$ sauts. Comment appelle-t-on ces nombres par rapport à $6$ ?

Sachant que l'égalité $15 \cdot 4 = 60$ est vraie, compléter les phrases suivantes avec les mots multiple ou diviseur :

1. a) Le nombre $60$ est ____ de $15$.
2. b) Le nombre $4$ est ____ de $60$.
3. c) Le nombre $60$ est ____ de $4$.
4. d) Le nombre $15$ est ____ de $60$.

Identifier lesquels des nombres suivants sont des diviseurs de $24$ en effectuant les divisions nécessaires :

À retenir : un nombre est un diviseur d'un autre si, lorsqu'on les divise, le reste est égal à $0$.

Manon veut répartir $28$ autocollants entre ses $4$ amis à parts égales.

1. a) Combien d'autocollants chacun recevra-t-il ? En reste-t-il ?
2. b) $28$ est-il divisible par $4$ ?
3. c) $4$ est-il un diviseur de $28$ ?

Un bibliothécaire doit ranger des livres sur des étagères où il y a exactement $3$ livres par emplacement. Pour savoir rapidement s'il peut remplir les étagères sans qu'il reste de livres, il utilise le critère de divisibilité par $3$.

Calculer la somme des chiffres des nombres suivants et dire lesquels sont divisibles par $3$ :

1. a) $123$
2. b) $401$
3. c) $516$
4. d) $802$

Recopier et compléter le tableau suivant dans le cahier en écrivant OUI ou NON dans chaque case, en appliquant les critères de divisibilité appris :

Un nombre est divisible par $4$ si ses deux derniers chiffres sont des zéros ou forment un multiple de $4$.

Observer les années suivantes et dire lesquelles seraient des « années spéciales » parce qu'elles sont divisibles par $4$ :

$1996, 2000, 2010, 2022, 2024, 2030$

Remplacer la lettre $A$ par un chiffre pour que le nombre obtenu soit un multiple de $9$. Rappel : la somme de ses chiffres doit être un multiple de $9$.

1. a) $2A5$
2. b) $71A$
3. c) $A08$

Lors d'un contrôle de mathématiques de 6e, Marcos doit classer plusieurs nombres selon les critères de divisibilité et écrit les trois affirmations suivantes sur sa copie :

1. « Le nombre $253$ est divisible par $3$ parce que son dernier chiffre est $3$ ».

2. « Le nombre $410$ est divisible par $4$ parce qu'il se termine par $0$, et comme $10$ est pair, on peut le diviser deux fois par $2$ ».

3. « Le nombre $837$ est divisible par $9$ parce que la somme de ses chiffres est $8 + 3 + 7 = 18$, et $18$ est un multiple de $9$ ».

À vous de jouer :

1. a) Indiquer en justifiant lesquelles des trois affirmations de Marcos sont incorrectes. Expliquer l'erreur de raisonnement commise dans chacune d'elles et la règle correcte qu'il aurait dû appliquer d'après le cours.
2. b) Appliquer les critères adaptés aux nombres $253$ et $410$ et indiquer s'ils sont ou non divisibles par $3$ et par $4$, respectivement.

Pour ouvrir le cadenas numérique de son casier de gymnase, Sarah doit saisir un code à quatre chiffres de la forme $5\,2A4$, où $A$ est un chiffre inconnu (de $0$ à $9$). Sarah se souvient de deux conditions que vérifie son code :

• Le nombre est divisible par $3$.

• Le nombre n'est pas divisible par $9$.

1. a) Écrire la somme des chiffres du nombre en fonction de $A$ et trouver toutes les valeurs possibles du chiffre $A$ pour que le nombre soit un multiple de $3$.
2. b) Parmi les valeurs obtenues, écarter en justifiant celles pour lesquelles le nombre est divisible par $9$. Quels nombres à quatre chiffres valides reste-t-il ?
3. c) Vérifier si l'un des nombres valides obtenus est aussi divisible par $4$ en appliquant le critère des deux derniers chiffres, sans effectuer la division complète.

Un graphiste organise une galerie de $30$ icônes carrées identiques pour un site web. Il souhaite les disposer en formant un rectangle complet (sans qu'il reste d'icônes).

1. a) Trouver toutes les façons possibles d'organiser les icônes (par exemple : $1$ ligne de $30$).
2. b) Quelle relation mathématique y a-t-il entre les dimensions de ces rectangles et le nombre $30$ ?
3. c) Si la mise en page impose que le plus petit côté du rectangle compte au moins $3$ icônes, combien d'options reste-t-il ?

Observer le schéma de « saut de nombres » ci-dessous et compléter les phrases avec les mots multiple, diviseur ou divisible :

1. a) $60$ est .................... de $12$.
2. b) $12$ est .................... de $180$.
3. c) $180$ est .................... par $60$.
4. d) Si l'on ajoute le nombre $5$ au schéma, quelle relation aurait-il avec $60$ ?

Un refuge pour animaux a reçu un don de $48$ boîtes de nourriture pour chats. Il souhaite les ranger dans de petits cartons, de sorte que tous les cartons contiennent le même nombre de boîtes et qu'il n'en reste aucune.

1. a) Écrire tous les diviseurs de $48$.
2. b) Si le responsable veut que chaque carton contienne plus de $5$ boîtes mais moins de $15$, quelles options de rangement a-t-il ? Indiquer le nombre de boîtes par carton et le nombre de cartons nécessaires dans chaque cas.

En arts plastiques, nous créons des motifs avec des tesselles carrées. Pour réaliser un « supercarré », le nombre total de tesselles doit être un carré parfait.

1. a) Si nous avons un pot contenant $80$ tesselles, combien de tesselles restent-il si nous voulons former le plus grand carré possible ?

1. b) Combien de tesselles nous manquerait-il, au minimum, pour pouvoir former le carré suivant, de taille supérieure ?

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en donnant un exemple ou un contre-exemple dans chaque cas :

1. a) Si un nombre est un diviseur de $10$, il est aussi un diviseur de tous les multiples de $10$ (comme $20, 30, 40...$).
2. b) L'ensemble des diviseurs d'un nombre est infini.
3. c) Si un nombre $a$ est un multiple de $b$, alors $b$ est un diviseur de $a$.
4. d) Tout nombre entier naturel est au moins divisible par lui-même et par 1.

Trouver la valeur du chiffre manquant, représenté par la lettre $A$, dans chacun de ces nombres pour que la condition indiquée soit vérifiée :

1. a) $24A$ est divisible à la fois par $4$ et par $3$.
2. b) $51A$ est divisible par $11$.
3. c) $A72$ est divisible par $9$ mais pas par $10$.

Un pâtissier a fait cuire une plaque de biscuits. Il sait qu'il y a plus de $70$ biscuits mais moins de $85$. S'il les répartit dans des boîtes de $6$, il n'en reste aucun. S'il les répartit dans des boîtes de $9$, il n'en reste aucun non plus.

1. a) Combien de biscuits a-t-il fait cuire exactement ?
2. b) Justifier la réponse en utilisant les critères de divisibilité par $2$ et par $3$ pour expliquer pourquoi le nombre est divisible par $6$.

Appliquer le critère de divisibilité par $11$ pour déterminer lesquels des nombres suivants sont des multiples de $11$. Pour ceux qui n'en sont pas, indiquer ce qu'il faudrait leur ajouter pour qu'ils le deviennent :

1. a) $1\,232$
2. b) $5\,049$
3. c) $8\,175$

Le département d'éducation physique d'un collège organise une journée de randonnée pour les $198$ élèves de 6e. Il veut les répartir en groupes égaux, avec un minimum de $10$ et un maximum de $25$ élèves par groupe, de sorte qu'aucun élève ne soit sans groupe et que tous les groupes aient exactement la même taille.

1. a) Estimer : Avant de chercher les diviseurs, arrondir $198$ à $200$ et calculer mentalement combien de groupes on obtiendrait environ avec des groupes de $10$, $15$ ou $20$ élèves. À partir de cette estimation et en utilisant les critères de divisibilité, expliquer pourquoi il est impossible que les groupes soient exactement de $10$ ou de $20$ élèves.
2. b) Calculer : En utilisant les critères de divisibilité (par $2$, par $3$, par $5$, par $9$ et par $11$) et la décomposition de $198$ en produit de facteurs premiers qui en découle, déterminer quels nombres compris entre $10$ et $25$ sont des diviseurs exacts de $198$. En déduire toutes les façons possibles d'organiser l'activité (en indiquant combien de groupes sont formés et combien d'élèves ils comptent chacun).
3. c) Vérifier : Réfléchir à ces résultats : pourquoi n'est-il pas possible de former des groupes de $15$ élèves alors que $198$ est divisible par $3$ ?

Une coopérative oléicole de Jaén conditionne un lot spécial de $2\,772\text{ litres}$ d'huile d'olive vierge extra. Elle souhaite commercialiser tout le lot dans des bidons identiques de contenance entière (sans décimales), sans qu'il reste ni manque d'huile. La coopérative dispose de contenants standards du commerce de contenances suivantes : $2\text{ L}$, $3\text{ L}$, $4\text{ L}$, $5\text{ L}$, $9\text{ L}$, $10\text{ L}$ et $11\text{ L}$.

1. a) Appliquer en détail les critères de divisibilité étudiés dans ce chapitre pour déterminer lesquels de ces contenants peuvent servir à conditionner exactement les $2\,772\text{ litres}$, sans effectuer de divisions posées.
2. b) Si la coopérative décide d'utiliser les plus grands bidons possibles parmi ceux de la liste qui conviennent, afin d'économiser des contenants, lequel doit-elle choisir ? Combien de bidons remplira-t-elle au total ?
3. c) Un distributeur demande à conditionner une partie du lot dans des bidons de $6\text{ litres}$. Sans effectuer la division $2\,772 : 6$, justifier s'il est possible de le faire à partir des propriétés de divisibilité que vous avez déjà vérifiées à la question a).

Une entreprise d'événementiel veut organiser un concert dans une salle rectangulaire. Elle a acheté un total de $150$ chaises. L'organisateur veut les disposer de façon que toutes les rangées aient le même nombre de chaises, avec les contraintes suivantes :

• Il doit y avoir plus de $5$ rangées.

• Dans chaque rangée, il doit y avoir plus de $10$ chaises.

• Le nombre de chaises par rangée doit être un diviseur de $450$ mais ne doit pas être un multiple de $4$.

Déterminer toutes les façons possibles d'organiser les chaises (rangées et chaises par rangée) qui vérifient ces conditions.

On considère un nombre entier naturel $n$ qui vérifie les deux propriétés suivantes :

1. $n$ est un multiple commun de $12$ et $15$.

2. $n$ est un diviseur de $360$.

Écrire toutes les valeurs possibles de $n$. Pour chaque valeur trouvée, indiquer le plus petit diviseur (différent de $1$) et le plus petit multiple de $n$ qui soit supérieur à $1\,000$.

Trouver la valeur des chiffres inconnus $A$ et $B$ dans le nombre $5A1B$ sachant que :

• Le nombre est divisible à la fois par $2$ et par $3$.

• Le nombre est un multiple de $11$.

• Le chiffre $A$ est un diviseur de $16$ et le chiffre $B$ est un multiple de $4$ (différent de zéro).

Expliquer pas à pas comment vous écartez les possibilités jusqu'à trouver le bon nombre.

Un pirate informatique a laissé un indice pour déchiffrer le mot de passe d'un serveur. Le mot de passe est le plus petit nombre à quatre chiffres, $2A3B$, qui vérifie simultanément ces trois conditions :

• Il est divisible par $2$ mais pas par $4$.

• Il est divisible par $9$.

• Il est divisible par $5$.

Quel est le mot de passe du serveur ? Justifier la réponse en appliquant les critères pas à pas.

Lors d'une convention de jeux vidéo, le nombre de participants est une valeur comprise entre $700$ et $750$. Sachant que ce nombre est divisible à la fois par $3$, par $11$ et par $2$, combien de personnes ont exactement assisté à la convention ? Expliquer comment vous avez écarté les autres possibilités.

Déterminer toutes les valeurs possibles des chiffres $X$ et $Y$ de façon que le nombre à cinq chiffres $4X12Y$ soit divisible à la fois par $4$ et par $9$. Attention : il peut y avoir plusieurs combinaisons gagnantes.

Un palindrome à trois chiffres est un nombre qui se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche (par exemple, $525$). Trouver un palindrome à trois chiffres qui soit divisible par $11$ et dont la somme des chiffres soit un multiple de $3$. Est-ce la seule solution possible ?

Déterminer, sans effectuer de division posée, si le nombre $N = 10^5 + 8$ est divisible par $2, 3, 4, 9$ et $11$. Justifier chaque réponse en énonçant la propriété ou le critère de divisibilité correspondant. (Indice : écrire d'abord le nombre avec tous ses chiffres.)

Pour vérifier si le nombre $43\,956$ est divisible par $4$, par $9$ et par $11$, trois élèves de 6e proposent des démarches différentes :

• Béatrice (méthode 1 – division classique) : Elle préfère effectuer les trois divisions posées ($43\,956 : 4$, $43\,956 : 9$ et $43\,956 : 11$) et vérifier si le reste est $0$.

• Clara (méthode 2 – critères de divisibilité) : Elle applique les règles du cours : elle observe les deux derniers chiffres pour le $4$, additionne les chiffres pour le $9$, et soustrait la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair pour le $11$.

• Diane (méthode 3 – décomposition astucieuse) : Elle remarque que $43\,956 = 44\,000 - 44$. Comme $44\,000$ et $44$ sont des multiples évidents de $4$ et de $11$, elle en déduit que leur différence l'est aussi.

Votre tâche :

1. a) Appliquer la méthode de Clara pas à pas pour vérifier la divisibilité de $43\,956$ par $4$, $9$ et $11$.
2. b) Développer la méthode de Diane pour étudier la divisibilité par $4$ et par $11$. Ensuite, essayer d'utiliser sa décomposition pour décider si le nombre est divisible par $9$ : $44\,000$ ou $44$ sont-ils des multiples de $9$ ? Que se passe-t-il dans ce cas ?
3. c) Comparer les trois méthodes : laquelle est la plus rapide pour ce nombre précis ? Si vous deviez étudier le nombre $43\,951$, la méthode de Diane resterait-elle avantageuse par rapport à celle de Clara ? Justifier laquelle vous choisiriez comme règle générale.

Une banque française génère des codes de sécurité à quatre chiffres de la forme $C = \overline{A32B}$ (où $A$ représente le chiffre des milliers et $B$ celui des unités). Pour que le système accepte le code, les trois conditions suivantes doivent être remplies simultanément :

1. Le nombre est divisible à la fois par $4$ et par $5$.

2. Le nombre est divisible par $11$.

3. Le nombre est divisible par $3$, mais n'est pas divisible par $9$.

1. a) Déduire de manière ordonnée, en appliquant les critères de divisibilité, la valeur obligatoire que doit prendre le chiffre $B$. Ensuite, démontrer qu'il n'existe qu'une seule valeur possible pour le chiffre $A$. Quel est le code définitif $C$ ?
2. b) L'informaticien de la banque affirme : « Tout nombre à quatre chiffres qui se termine par les deux mêmes chiffres que $C$ est divisible par $4$, quels que soient les chiffres placés aux milliers et aux centaines ». En vous appuyant sur l'explication du cours sur le nombre $100$ ($100 = 4 \cdot 25$), justifier si cette affirmation est vraie ou fausse.
3. c) Sans effectuer de divisions posées, justifier par un raisonnement si le code obtenu $C$ est divisible par $33$ et s'il est divisible par $60$, en utilisant les propriétés des multiples et des diviseurs.