Exercices: Concept

Dans un magasin de sport, les prix de trois articles ont été écrits en lettres. Écrire dans votre cahier le nombre décimal correspondant à chacun, en utilisant des chiffres :

1. a) Des lunettes de natation qui coûtent huit euros quinze centimes.
2. b) Une balle de tennis qui coûte deux euros huit centimes.
3. c) Un short de course qui coûte douze euros cinquante centimes.

Indiquer la valeur de position (unités, dixièmes, centièmes ou millièmes) du chiffre $7$ dans chacun des nombres suivants :

1. a) $15,72$
2. b) $0,007$
3. c) $7,431$
4. d) $2,075$

Décomposer les nombres décimaux suivants selon leurs ordres d'unités, comme dans l'exemple :

Exemple : $4,25 = 4$ unités + $2$ dixièmes + $5$ centièmes.

1. a) $8,39$
2. b) $12,045$
3. c) $0,614$

Observer la droite graduée suivante et écrire le nombre décimal correspondant à chacune des lettres marquées par un point orange :

Recopier dans votre cahier et utiliser les signes $<$ ou $>$ pour comparer ces couples de nombres décimaux :

1. a) $5,4$ ____ $5,39$
2. b) $0,25$ ____ $0,3$
3. c) $12,07$ ____ $12,071$
4. d) $6,1$ ____ $6,099$

Associer chaque nombre décimal à sa fraction décimale correspondante :

• Nombres : $0,7$ | $0,07$ | $7,7$ | $0,77$

• Fractions : $\frac{77}{100}$ | $\frac{7}{10}$ | $\frac{7}{100}$ | $\frac{77}{10}$

Si l'on partage un carré en $100$ parts égales, chaque part est un centième ($0,01$). Observer l'image suivante et écrire le nombre décimal que représente la zone colorée en orange :

Compléter ces équivalences entre ordres d'unités :

1. a) $4$ unités = ____ dixièmes.
2. b) $70$ centièmes = ____ dixièmes.
3. c) $5$ dixièmes = ____ millièmes.
4. d) $300$ millièmes = ____ centièmes.

Lucie range des mesures pour un TP de laboratoire au collège et affirme avec assurance : « Le nombre $3,125$ est plus grand que $3,8$ parce que $125$ est bien plus grand que $8$ ».

1. a) Expliquer quelle erreur conceptuelle commet Lucie concernant la valeur de position des chiffres après la virgule.
2. b) Montrer comment comparer correctement les deux nombres en égalisant leur nombre de décimales à l'aide de zéros.
3. c) Écrire la relation d'ordre correcte entre les deux nombres en utilisant le symbole adapté ($<$ ou $>$).

Lors d'une épreuve des championnats de France d'athlétisme des moins de 14 ans, le chronométrage électronique a enregistré les temps de trois athlètes en finale du $80\text{ m}$ plat : Darío a mis $10,18\text{ s}$, Lucas a réalisé $10,2\text{ s}$ et Mateo a arrêté le chrono à $10,105\text{ s}$.

1. a) Écrire les trois temps avec la même précision (au millième de seconde) en ajoutant les zéros nécessaires pour qu'ils aient le même nombre de décimales.
2. b) Classer les athlètes du plus petit au plus grand temps (du plus rapide au plus lent) pour déterminer les places du podium.
3. c) Combien de centièmes de seconde séparent le vainqueur de la course du deuxième ? Justifier votre réponse à partir de la valeur de position de chaque chiffre.

Dans un laboratoire de sciences, un groupe d'élèves a mesuré la masse d'un échantillon de minéral avec une balance de précision. Le résultat obtenu est de $42,308$ grammes.

Indiquer quelle valeur représente chaque chiffre dans ce nombre :

• Le chiffre $4$ représente les ............................

• Le chiffre $2$ représente les ............................

• Le chiffre $3$ représente les ............................

• Le chiffre $0$ représente les ............................

• Le chiffre $8$ représente les ............................

Écrire aussi sa décomposition en utilisant des unités et des fractions décimales.

Aux olympiades scolaires, les temps enregistrés lors de la finale du $100$ mètres ont été très serrés. Les juges ont noté les résultats suivants, en secondes :

$12,45$ — $12,408$ — $12,5$ — $12,099$ — $12,41$

Ranger les coureurs du plus rapide (temps le plus petit) au plus lent (temps le plus grand) en utilisant le symbole $<$ et écrire comment se lit le nombre décimal correspondant au vainqueur de la médaille d'or.

Observer la droite graduée suivante où plusieurs points ont été représentés. Identifier quel nombre décimal exact correspond à chacune des lettres marquées ($A$, $B$ et $C$).

Classer les nombres suivants en indiquant s'il s'agit de décimaux exacts, de périodiques purs ou de périodiques mixtes. Pour les périodiques, indiquer clairement quelle est la période et, s'il y en a une, la partie non périodique :

1. a) $5,08$
2. b) $2,333...$
3. c) $14,252525...$
4. d) $0,1666...$
5. e) $3,141592...$ (ce dernier est-il un nombre décimal périodique ?)

Parfois les fractions nous aident à mieux comprendre le type de nombre décimal que nous avons. Sans effectuer la division posée, classer l'écriture décimale des fractions suivantes comme exacte ou périodique :

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{4}{9}$
3. c) $\frac{13}{6}$
4. d) $\frac{1}{25}$

Lucie prépare son sac à dos pour une sortie. Elle a acheté une bouteille d'eau pour $1,25$ €, un sachet de fruits secs pour $3,050$ € et une casquette pour $9,9$ €.

1. a) Écrire tous les prix de façon qu'ils aient le même nombre de chiffres après la virgule (en ajoutant des zéros si nécessaire).
2. b) Transformer le prix de la casquette en fraction irréductible.
3. c) Combien de centimes d'euro coûte le sachet de fruits secs ?

L'une des propriétés les plus curieuses des nombres décimaux est que l'on peut toujours trouver un autre nombre entre deux nombres donnés, aussi proches soient-ils.

Représenter graphiquement sur une droite l'intervalle compris entre $0,56$ et $0,57$ et y placer trois nombres décimaux situés entre les deux.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Pour savoir si la fraction $\frac{18}{150}$ donne un nombre décimal exact, périodique pur ou périodique mixte, deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Méthode A (Marcos) : Effectuer directement la division $18 : 150$ avec l'algorithme traditionnel posé sur papier, jusqu'à constater que le reste est nul ou que les chiffres commencent à se répéter.

• Méthode B (Sarah) : Simplifier d'abord la fraction pour obtenir sa forme irréductible, puis décomposer le nouveau dénominateur en produit de facteurs premiers afin d'appliquer le critère des 2 et des 5.

1. a) Appliquer les deux méthodes pas à pas et classer le nombre décimal obtenu.
2. b) Si l'on vous demandait plutôt de classer $\frac{21}{8\,750}$, laquelle des deux méthodes choisiriez-vous et pourquoi ? Justifier votre choix en expliquant le lien entre les facteurs premiers du dénominateur et les puissances de $10$.

On vous propose d'étudier la valeur décimale de la fraction $\frac{13}{32}$ en combinant estimation et analyse théorique :

1. a) Estimer : Sans effectuer la division, expliquer entre quels deux dixièmes consécutifs ($0,1$ ; $0,2$ ; $0,3$ ; $0,4$ ; $0,5$...) se situe ce nombre. Pour vous aider, la comparer à des fractions de référence plus simples ayant le même dénominateur, comme $\frac{8}{32}$ et $\frac{16}{32}$.
2. b) Vérifier : Effectuer la division jusqu'à obtenir les trois premières décimales et vérifier si votre estimation était correcte.
3. c) Raisonner : En observant la décomposition en facteurs premiers du dénominateur de $\frac{13}{32}$, justifier si le développement décimal sera fini (exact) ou illimité périodique. S'il est exact, en déduire combien de décimales il comportera au total sans poursuivre la division.

Un nombre décimal est composé de $4$ unités, $15$ dixièmes, $27$ centièmes et $105$ millièmes. Effectuer les regroupements nécessaires (par exemple, $10$ millièmes forment $1$ centième, $10$ centièmes forment $1$ dixième et $10$ dixièmes forment $1$ unité) pour écrire correctement le nombre sous sa forme décimale usuelle, puis indiquer combien de millièmes au total contient ce nombre.

Trouver un nombre décimal $x$ situé exactement à la même distance de $3,14$ et de $3,15$. L'exprimer sous forme décimale et sous forme de fraction irréductible. De quel type de nombre décimal s'agit-il ?

Classer les fractions suivantes selon le type d'écriture décimale qu'elles donnent (décimale exacte, périodique pure ou périodique mixte) sans effectuer la division, en se basant uniquement sur la décomposition en produit de facteurs premiers de leurs dénominateurs :

1. a) $\frac{7}{40}$
2. b) $\frac{5}{18}$
3. c) $\frac{11}{21}$
4. d) $\frac{9}{250}$

Écrire la fraction irréductible égale à chacun des nombres décimaux périodiques suivants, en montrant la démarche pas à pas :

1. a) $2,1\widehat{36}$
2. b) $0,00\widehat{5}$

Ranger par ordre croissant les nombres suivants, mêlant décimaux et fractions. Pour les comparer, transformer tous les éléments en écriture décimale avec au moins quatre chiffres après la virgule :

$1,2\widehat{5}$ ; $\frac{5}{4}$ ; $1,2525...$ ; $1,25$ ; $\frac{11}{9}$

Trouver de quel nombre il s'agit sachant qu'il vérifie les conditions suivantes :

1. Sa partie entière est le plus petit nombre premier pair.

2. Il a quatre chiffres après la virgule.

3. Le chiffre des millièmes est le triple de celui des dixièmes.

4. La somme de tous ses chiffres est $15$.

5. Le chiffre des dix-millièmes est la moitié de celui des centièmes.

Un nanomètre ($nm$) équivaut à $0,000000001$ mètre. Si l'épaisseur d'un cheveu humain est d'environ $0,08$ millimètre, exprimer cette épaisseur en mètres à l'aide de puissances de $10$ et déterminer combien de nanomètres mesure le cheveu.

Représenter sur une droite graduée l'intervalle compris entre $5,67$ et $5,68$. Diviser cet intervalle en dix parties égales (chaque partie mesure $0,001$) et placer exactement les nombres $5,674$ et $5,679$.

1. a) Tracer la droite avec l'intervalle divisé en dix parties égales et écrire sous les graduations les nombres correspondants.

1. b) Placer sur votre droite les nombres $5,674$ et $5,679$.

1. c) Trouver un nombre décimal qui a exactement cinq chiffres après la virgule (le dernier chiffre étant différent de $0$) et qui est situé entre $5,674$ et $5,679$.

On vous propose le défi inverse de construire deux fractions irréductibles distinctes, $\frac{A}{B}$ et $\frac{C}{D}$, qui vérifient simultanément ces trois conditions :

1. La valeur décimale des deux fractions doit être strictement comprise entre $0,65$ et $0,75$.

2. Les dénominateurs $B$ et $D$ doivent être des nombres entiers à deux chiffres inférieurs à $30$.

3. La fraction $\frac{A}{B}$ doit être un nombre décimal, tandis que la fraction $\frac{C}{D}$ doit avoir un développement décimal périodique mixte.

1. a) Déduire quels facteurs premiers peuvent (et lesquels ne peuvent pas) intervenir dans les dénominateurs $B$ et $D$ pour garantir le type d'écriture décimale demandé dans chaque cas.
2. b) Trouver un couple de fractions $\frac{A}{B}$ et $\frac{C}{D}$ qui vérifie toutes les conditions.
3. c) Vérifier votre réponse en déterminant l'écriture décimale des deux fractions et en identifiant, dans le cas du périodique mixte, sa partie non périodique et sa période.

Lors d'un débat sur les nombres décimaux, Hugo défend la règle suivante : « Pour savoir si une fraction irréductible donne un nombre décimal, il suffit de regarder le dernier chiffre du dénominateur : s'il se termine par $5$ ou par $0$, c'est toujours un nombre décimal, car les nombres qui se terminent par $5$ ou par $0$ sont divisibles par $5$ ou par $10$. En revanche, s'il se termine par un autre chiffre, ce n'est jamais un nombre décimal. »

1. a) Démontrer que l'affirmation de Hugo est fausse en trouvant :

• Un contre-exemple de fraction irréductible dont le dénominateur se termine par $5$ et qui N'EST PAS un nombre décimal.

• Un contre-exemple de fraction irréductible dont le dénominateur se termine par $0$ et qui N'EST PAS un nombre décimal.

• Un contre-exemple de fraction irréductible dont le dénominateur ne se termine NI par $5$ NI par $0$ et qui EST un nombre décimal.

1. b) Classer le type de développement décimal que donne chacun de vos trois contre-exemples.
2. c) Expliquer l'erreur conceptuelle de Hugo : pourquoi ne suffit-il pas de regarder le dernier chiffre, et quel lien y a-t-il entre les facteurs premiers du dénominateur simplifié et la possibilité de transformer la fraction en une fraction de dénominateur une puissance de $10$ ($10$, $100$, $1\,000$…) ?