Symétrie centrale et demi-tour
Dans un manège, une nacelle placée à gauche du centre $O$ se retrouve, après un demi-tour autour de $O$, à droite de $O$, exactement à la même distance. Comment décrire ce « demi-tour » en mathématiques, et que devient une figure qui le subit ? À la fin de la page, tu pourras répondre.
Symétrique d'un point par rapport à un point
Fais tourner une figure d'un demi-tour (180°) autour d'un point $O$ : chaque point $A$ arrive en un point $A'$ situé « de l'autre côté » de $O$. C'est la symétrie centrale de centre $O$.
Donc $A$, $O$ et $A'$ sont alignés, et $OA' = OA$. On a aussi $AA' = 2 \times OA$.
Soit $O$ le milieu du segment $[AA']$. Que représente $A'$ pour $A$ dans la symétrie centrale de centre $O$ ? Si $OA = 3,5$ cm, calculer $AA'$.
Soit $O$ le milieu du segment $[AA']$. Que représente $A'$ pour $A$ dans la symétrie centrale de centre $O$ ?
Si $OA = 3,5$ cm, calculer $AA'$.
Décrire la construction, à la règle et au compas, du symétrique d'un triangle $ABC$ par rapport à un point $O$ extérieur au triangle.
Décrire la construction, à la règle et au compas, du symétrique d'un triangle $ABC$ par rapport à un point $O$ extérieur au triangle.
Coordonnées du symétrique
Dans un repère, le milieu d'un segment se calcule avec les coordonnées de ses extrémités. Quand $O$ est l'origine, c'est très simple : on passe aux opposés.
Pourquoi ? Pour aller de $A$ à $O$, on parcourt $x$ unités horizontalement et $y$ verticalement. Pour aller de $O$ à $A'$, on fait le même trajet : les coordonnées de $A'$ sont les opposés de celles de $A$.
Si $O$ n'est pas l'origine, on part de $A$, on compte le déplacement jusqu'à $O$, et on répète ce déplacement à partir de $O$.
Dans un repère, on donne $O(0\,;0)$ et $A(3\,;2)$. Donner les coordonnées du symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $O$.
Dans un repère, on donne $O(0\,;0)$ et $A(3\,;2)$.
Donner les coordonnées du symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $O$.
Dans un repère, on donne $O(1\,;1)$, $A(4\,;3)$ et $B(1\,;-1)$. a) Déterminer les coordonnées de $A'$ et $B'$, symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$. b) Sachant…
Dans un repère, on donne $O(1\,;1)$, $A(4\,;3)$ et $B(1\,;-1)$.
- a) Déterminer les coordonnées de $A'$ et $B'$, symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$.
- b) Sachant que $AB = 5$ unités, donner la longueur $A'B'$ en justifiant.
Dans un repère, on donne $A(-2\,;1)$, $B(3\,;4)$ et $O(1\,;-1)$. a) Calculer les coordonnées de $A'$ et $B'$, symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$. b) Montrer que…
Dans un repère, on donne $A(-2\,;1)$, $B(3\,;4)$ et $O(1\,;-1)$.
- a) Calculer les coordonnées de $A'$ et $B'$, symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$.
- b) Montrer que $ABA'B'$ est un parallélogramme.
Symétrique d'une figure et conservation
Pour construire le symétrique d'une figure, on construit le symétrique de chacun de ses points remarquables (sommets), puis on relie.
Une droite et sa symétrique sont parallèles. Si la droite passe par $O$, elle est sa propre symétrique.
Un segment $[AB]$ mesure $5$ cm. Quelle est la longueur de son symétrique $[A'B']$ par symétrie centrale ? Quelle est la mesure du symétrique d'un angle de $40^\circ$ ?
Un segment $[AB]$ mesure $5$ cm. Quelle est la longueur de son symétrique $[A'B']$ par symétrie centrale ? Quelle est la mesure du symétrique d'un angle de $40^\circ$ ?
Le point $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ et la droite $(d)$ passe par $A$. a) Quelle est la position de la droite symétrique $(d')$ par rapport à $(d)$ ?…
Le point $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ et la droite $(d)$ passe par $A$.
- a) Quelle est la position de la droite symétrique $(d')$ par rapport à $(d)$ ?
- b) Si $(d)$ passe par $O$, que peut-on dire de $(d')$ ?
Soit $[AB]$ un segment et $M$ un point de $[AB]$. Les points $A'$, $B'$ et $M'$ sont les symétriques de $A$, $B$ et $M$ par rapport à un point $O$. a) Montrer que $M'$…
Soit $[AB]$ un segment et $M$ un point de $[AB]$. Les points $A'$, $B'$ et $M'$ sont les symétriques de $A$, $B$ et $M$ par rapport à un point $O$.
- a) Montrer que $M'$ appartient à $[A'B']$.
- b) Montrer que $A'M' = AM$.
- c) Que peut-on en déduire pour l'image d'un segment ?
Centre de symétrie et parallélogramme
Une figure a un centre de symétrie $O$ si son symétrique par rapport à $O$ est la figure elle-même. Un demi-tour autour de $O$ la laisse inchangée.
Dans $ABCD$ de centre $O$ : $A$ a pour symétrique $C$, $B$ a pour symétrique $D$. Le symétrique de $[AB]$ est donc $[CD]$, et la symétrie conservant les longueurs, $AB = CD$. De même $AD = BC$. Les côtés opposés sont aussi parallèles (une droite et sa symétrique sont parallèles).
Réciproquement, un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$. a) Montrer que $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$. b) Déterminer le symétrique de $A$, de $B$ et du triangle $ABC$…
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$.
- a) Montrer que $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$.
- b) Déterminer le symétrique de $A$, de $B$ et du triangle $ABC$ par rapport à $O$.
- c) En déduire que $AB = CD$.
Retour au début : la nacelle de gauche et celle de droite sont symétriques par rapport au centre $O$ du manège (demi-tour de centre $O$) ; elles sont à la même distance de $O$ et alignées avec lui.
L'essentiel
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Le symétrique de $A$ par rapport à $O$ est le point $A'$ tel que $O$ est le milieu de $[AA']$.
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Construction : droite $(AO)$, puis on reporte $OA$ au compas de l'autre côté de $O$.
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Si $O$ est l'origine : $A(x\ ;\ y)$ devient $A'(-x\ ;\ -y)$.
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La symétrie centrale conserve longueurs, angles, aires, alignement et parallélisme.
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Une droite et sa symétrique sont parallèles.
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Le parallélogramme a pour centre de symétrie le milieu de ses diagonales.