Inégalité triangulaire et constructions de triangles
Lucas veut aller de Lyon à Valence. Il se dit : « Passer par un autre village ne peut pas raccourcir le trajet. » A-t-il raison ? Et peut-on toujours construire un triangle avec trois longueurs choisies au hasard ? Nous allons répondre à ces deux questions.
L'inégalité triangulaire
Prends trois baguettes de longueurs $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm : tu peux former un triangle. Avec $2$ cm, $3$ cm et $7$ cm, les deux petites baguettes ne se rejoignent jamais : impossible.
Pourquoi ? Le chemin le plus court entre deux points est la ligne droite. Passer par un troisième point $C$ ne peut qu'allonger le trajet, sauf si $C$ est sur le segment $[AB]$ : dans ce cas le triangle est aplati et $AB = AC + CB$.
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm ? Justifier.
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm ? Justifier.
Peut-on construire un triangle $ABC$ avec $AB = 6$ cm, $BC = 2$ cm et $AC = 3$ cm ? Justifier.
Peut-on construire un triangle $ABC$ avec $AB = 6$ cm, $BC = 2$ cm et $AC = 3$ cm ? Justifier.
Encadrer une longueur
Si on connaît deux côtés d'un triangle, le troisième ne peut pas prendre n'importe quelle valeur. Avec $AB = 7$ et $BC = 3$ :
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$AC < 7 + 3$, soit $AC < 10$ ;
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$7 < AC + 3$, soit $AC > 4$.
Un triangle isocèle a deux côtés de longueur $4$ cm et un troisième côté de longueur $x$ cm. a) Écrire les inégalités que doit vérifier $x$. b) Donner l'encadrement de…
Un triangle isocèle a deux côtés de longueur $4$ cm et un troisième côté de longueur $x$ cm.
- a) Écrire les inégalités que doit vérifier $x$.
- b) Donner l'encadrement de $x$ pour que le triangle existe.
Trois randonneurs partent des villages $A$, $B$ et $C$. On sait que $AB = 7$ km et $BC = 3$ km. a) Dans quel intervalle peut se trouver la distance $AC$ si $A$, $B$, $C$…
Trois randonneurs partent des villages $A$, $B$ et $C$. On sait que $AB = 7$ km et $BC = 3$ km.
- a) Dans quel intervalle peut se trouver la distance $AC$ si $A$, $B$, $C$ forment un triangle non aplati ?
- b) Que peut-on dire des points $A$, $B$, $C$ si $AC = 10$ km ?
On veut construire un triangle de périmètre $20$ cm dont un côté mesure $8$ cm. a) Montrer que la somme des deux autres côtés vaut $12$ cm. b) Montrer que chacun des…
On veut construire un triangle de périmètre $20$ cm dont un côté mesure $8$ cm.
- a) Montrer que la somme des deux autres côtés vaut $12$ cm.
- b) Montrer que chacun des deux autres côtés est strictement compris entre $2$ cm et $10$ cm.
- c) Donner un exemple de triangle isocèle vérifiant ces conditions.
Construire un triangle
Avec les trois côtés
Si l'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée, les deux arcs ne se coupent pas : c'est la même condition vue autrement.
Avec un côté et deux angles
Pourquoi $180^\circ$ ? Voici la démonstration.
Décrire les étapes de construction à la règle et au compas d'un triangle $ABC$ tel que $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 6$ cm.
Décrire les étapes de construction à la règle et au compas d'un triangle $ABC$ tel que $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 6$ cm.
Construire (en décrivant le programme de construction) un triangle $EFG$ tel que $EF = 6$ cm, $\widehat{E} = 50^\circ$ et $\widehat{F} = 60^\circ$. Calculer ensuite…
Construire (en décrivant le programme de construction) un triangle $EFG$ tel que $EF = 6$ cm, $\widehat{E} = 50^\circ$ et $\widehat{F} = 60^\circ$. Calculer ensuite l'angle $\widehat{G}$.
Démontrer une inégalité
Revenons à Lucas. Si $M$ est un point du trajet $[AB]$, alors $AM + MB = AB$ : passer par $M$ ne rallonge rien. Mais si $P$ n'est pas sur $(AB)$, le détour par $P$ est strictement plus long.
Soit $M$ un point du segment $[AB]$ distinct de $A$ et $P$ un point n'appartenant pas à $(AB)$. a) Montrer que $PA < PM + MA$. b) Montrer que si $P$ n'est pas sur…
Soit $M$ un point du segment $[AB]$ distinct de $A$ et $P$ un point n'appartenant pas à $(AB)$.
- a) Montrer que $PA < PM + MA$.
- b) Montrer que si $P$ n'est pas sur $(AB)$, alors $PA + PB > AB$.
Un triangle a des côtés de longueurs entières $a$, $b$ et $7$ cm avec $a \le b \le 7$ et $a + b > 7$. a) Lister tous les triangles possibles pour $a = 3$. b) Combien de…
Un triangle a des côtés de longueurs entières $a$, $b$ et $7$ cm avec $a \le b \le 7$ et $a + b > 7$.
- a) Lister tous les triangles possibles pour $a = 3$.
- b) Combien de triangles possibles existe-t-il pour $a = 4$ ?
- c) Existe-t-il un triangle de ce type avec $a = 1$ ? Justifier.
Compter les triangles possibles
Quand les côtés sont des nombres entiers, on peut lister tous les triangles possibles. Pour des côtés $a \leqslant b \leqslant 7$, la seule condition utile est $a + b > 7$.
L'essentiel
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Dans un triangle, chaque côté est strictement plus petit que la somme des deux autres : $AB < AC + CB$.
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Pour tester l'existence, on compare le plus grand côté à la somme des deux autres. Égalité : triangle aplati (points alignés).
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Si deux côtés mesurent $a \geqslant b$, le troisième $x$ vérifie $a - b < x < a + b$ (bornes exclues).
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Avec trois côtés : segment, puis deux arcs de cercle au compas. Avec un côté et deux angles : rapporteur, la somme des angles doit être inférieure à $180^\circ$.
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Vers $G$ : $\widehat{G} = 180^\circ - \widehat{E} - \widehat{F}$.
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Retour au début : le détour par un point hors du segment est toujours plus long que le trajet direct.