Les nombres entiers relatifs

Dans la vie quotidienne, nous utilisons les nombres entiers relatifs pour exprimer des situations opposées. Associer un nombre entier relatif (positif ou négatif) à chacune des situations suivantes :

1. a) Le thermomètre dans la rue indique $4$ degrés en dessous de zéro.
2. b) Vous avez une dette de $15$ € envers un ami.
3. c) Un plongeur se trouve à $20$ mètres de profondeur.
4. d) Un avion vole à une altitude de $8\,500$ mètres.
5. e) Vous avez gagné $50$ points à un niveau de votre jeu vidéo préféré.
6. f) Le parking du centre commercial est au troisième sous-sol.

Dans la liste de nombres suivante, indiquer lesquels appartiennent à l'ensemble des entiers naturels ($\mathbb{N}$) et lesquels sont des entiers relatifs ($\mathbb{Z}$) mais non naturels :

$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$

Un archéologue trouve une pièce de monnaie sur un site. En faisant des recherches, il découvre qu'elle a été frappée en $45$ av. J.-C. Si l'archéologue vit en $2024$ apr. J.-C., répondre :

1. a) Quel nombre entier relatif attribueriez-vous à chaque date ?

1. b) Quel est l'opposé de l'année de frappe de la pièce ?

1. c) Représenter de façon approximative, sur une frise chronologique que vous tracerez dans votre cahier, l'année de frappe de la pièce et l'année où vit l'archéologue. Marquer l'année $0$ et indiquer quel côté correspond aux années av. J.-C. et lequel aux années apr. J.-C.

La valeur absolue représente la distance d'un nombre à zéro. Calculer les valeurs absolues suivantes :

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

L'opposé d'un nombre entier relatif est celui qui a la même valeur absolue mais un signe différent. Écrire l'opposé des nombres suivants :

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Ranger du plus petit au plus grand les éléments mathématiques suivants, en calculant au préalable leur valeur numérique (on note $op(a)$ l'opposé du nombre $a$) :

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Ranger les nombres entiers relatifs suivants du plus petit au plus grand, en utilisant le symbole $<$ entre eux :

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

Dans une station de ski, on a relevé les températures minimales suivantes pendant quatre jours. Les ranger de la plus basse à la plus haute en utilisant le symbole $<$ :

• Lundi : $-6$ $^\circ C$

• Mardi : $+2$ $^\circ C$

• Mercredi : $-9$ $^\circ C$

• Jeudi : $0$ $^\circ C$

Au laboratoire de physique, on analyse les températures de congélation de plusieurs liquides. Les résultats sont :

• Liquide P : $-8$ °C

• Liquide Q : $-15$ °C

• Liquide R : $-3$ °C

• Liquide S : $-12$ °C

Ranger les liquides de la plus petite à la plus grande température à l'aide du symbole $<$ et expliquer lequel d'entre eux a la plus grande valeur absolue.

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en donnant un exemple ou un contre-exemple dans chaque cas :

1. a) Si $a$ et $b$ sont deux nombres entiers relatifs négatifs et $|a| < |b|$, alors $a > b$.
2. b) La valeur absolue d'un nombre entier relatif est toujours supérieure au nombre lui-même.
3. c) La distance entre un nombre entier relatif quelconque et son opposé est toujours un nombre pair.
4. d) Si à l'opposé d'un nombre on ajoute sa valeur absolue, le résultat est toujours zéro.

On considère les nombres entiers relatifs $m = -14$ et $n = +6$ représentés sur une droite graduée.

1. a) Avant de faire un calcul exact, estimer de façon raisonnée : le milieu exact entre $m$ et $n$ sera-t-il situé à gauche ou à droite de zéro ? La distance totale entre les deux sera-t-elle supérieure ou inférieure à $|m|$ ? Expliquer sur quoi vous vous appuyez pour le deviner.
2. b) Calculer maintenant la valeur exacte de la distance qui sépare $m$ de $n$ sur la droite, en vous appuyant sur la signification de leurs valeurs absolues.
3. c) Déterminer quel nombre entier représente le milieu entre $m$ et $n$. Vérifier si votre estimation initiale de la question a) était juste et expliquer pourquoi le signe du milieu est le même que celui du nombre ayant la plus grande valeur absolue.

Sur une droite graduée, on a marqué deux points, $A$ et $B$. Sachant que la distance entre le point $A$ et le point $B$ est de $15$ unités et que le point $A$ correspond au nombre entier relatif $-6$ :

1. a) Déterminer quel nombre entier relatif représente le point $B$ s'il se trouve à droite de $A$.
2. b) Calculer la valeur de $|A| + |B|$.
3. c) Si l'on place un nouveau point $C$ exactement au milieu du segment qui joint $A$ et $B$, quel nombre représenterait $C$ ?

Imaginer deux nombres entiers relatifs, $a$ et $b$. On sait que :

1. La distance entre $a$ et $0$ est de $7$ unités.

2. La distance entre $a$ et $b$ est de $3$ unités.

3. $b$ est inférieur à $a$.

Déterminer toutes les valeurs possibles pour $a$ et pour $b$. Pour chaque cas, écrire la valeur absolue de la somme $|a + b|$.

Lire les coordonnées $(x\,;\,y)$ des points $P$ et $Q$ représentés dans le quadrillage suivant. Rappel : le premier nombre correspond à l'axe horizontal (abscisse) et le second à l'axe vertical (ordonnée).

Dans un jeu de stratégie, un bateau pirate se déplace sur une carte graduée en coordonnées. Sa position de départ est le point $P(-3 ; 2)$.

1. a) Si le bateau se déplace de $5$ unités vers la droite, quelle est sa nouvelle abscisse ($x$) ?

1. b) Si, depuis cette nouvelle position, il descend de $4$ unités, quelle est son ordonnée ($y$) ?

1. c) Représenter dans votre cahier le point de départ et le point d'arrivée (celui du bateau après les deux déplacements) dans un repère.

Dans le repère suivant, un robot part du point $P(-2\ ;\ 3)$. Il effectue trois déplacements consécutifs :

1. Il se déplace de $5$ unités vers la droite.

2. Il se déplace de $7$ unités vers le bas.

3. Il se déplace de $4$ unités vers la gauche.

Dans quel cadran le robot termine-t-il ? Le faire sur votre cahier. Indiquer les coordonnées finales du point et calculer la valeur absolue de la somme de sa nouvelle abscisse ($x$) et de sa nouvelle ordonnée ($y$).